Если х0 есть точка экстремума функции f (x) и в этой точке производная существует, то она равна нулю: f '(x0)=0.
Эта теорема не является достаточным условием существования экстремума дифференцируемой функции: если в некоторой точке х0 производная обращается в нуль, то из этого еще не следует, что в точке х0 функция имеет экстремум.
Замечание: теорема не верна, если функцию рассматривать на отрезке.
Определение критических точек функции. Внутренние точки области определения функции, в которых ее производная равна нулю или не существует, называют критическими точками функции.
Достаточные условия существования экстремума.
Теорема 1. Если функция f (x) непрерывна в точке х0, f`(x) > 0 на интервале [a, x0] и f`(x) < 0 на интервале [x0, b], то х0 является точкой максимума функции f (x).
Теорема 2. Если функция f (x) непрерывна в точке х0, f`(x) 0 на интервале [x0, b], то х0 является точкой минимума функции f (x).
Для отыскания экстремальных точек функции нужно найти ее критические точки и для каждой из них проверить выполнение достаточных условий экстремума.
Наибольшие и наименьшие значения функции
Правила отыскания наибольшего и наименьшего значений функций в промежутке. Для отыскания наибольшего и наименьшего значений функции, дифференцируемой в некотором промежутке, нужно найти все критические точки, лежащие внутри промежутка, вычислить значения функции в этих точках и на концах промежутка и из всех полученных таким образом значений функции выбрать наибольшее и наименьшее.
