Преобразование и расчет характеристик математических моделей объекта управления

Министерство образования и науки РФ Пензенский государственный университет Кафедра «Автоматика и телемеханика»

Преобразование и расчет характеристик математических моделей объекта управления Пояснительная записка к курсовой работе по дисциплине

«Моделирование систем управления»

Выполнил: ст. гр. 05УА1

Байрамов Р.Р.

Проверил: д.т.н., профессор Семёнов А.Д.

Пенза, 2008

Задание на курсовую работу

Дано:

——————-;

(s+10) (s+0.2)

Где

Рассчитать параметры:

1) непрерывной SS-модели

2) дискретной tf и zpk-модели

3) дискретной SS-модели

4) составить программу расчёта

Реферат

Пояснительная записка содержит 33 листов формата А4, 8 рисунков, 5 источников.

НЕПРЕРЫВНЫЕ СТРУКТУРИРОВАННЫЕ МОДЕЛИ, НЕПРЕРЫВНЫЕ МОДЕЛИ ПРОСТРАНСТВА СОСТОЯНИЯ, ДИСКРЕТНЫЕ СТРУКТУРИРОВАННЫЕ МОДЕЛИ, ДИСКРЕТНЫЕ МОДЕЛИ ПРОСТРАНСТВА СОСТОЯНИЯ.

В процессе работы производятся расчеты параметров непрерывной SS-модели, дискретной tf и zpk-модели, дискретной SS-модели.

1.Непрерывные структурированные модели

2.Непрерывные модели пространства состояния

3.Дискретные структурированные модели

4.Дискретные модели пространства состояния

5.Расчет

5.1 Расчет непрерывной SS-модели

5.2 Расчет дискретной tf и zpk-модели

5.3 Расчет дискретной SS-модели

5.4 Расчет составить программу расчёта Список использованных источники

Реальные объекты управления представляют собой совокупность отдельных элементов и блоков соединенных между собой посредством связей. Поэтому в практике гораздо удобнее бывает представлять математическую модель всей системы, как совокупность относительно простых математических моделей отдельных элементов и блоков объекта, т. е. структурированную модель. Такая форма математического описания отражает не только физические, но и технические принципы построения системы управления и позволяет исследовать процессы происходящие не только в системе в целом, но и процессы в отдельных ее элементах.

Математическая модель (образ) представляет собой абстрактное отражение реального объекта (оригинала, прообраза). В зависимости от типа объекта и целей, ради которых строится и используется модель, формальное описание может быть различным. Для моделирования объектов могут быть использованы структурные схемы, операторные уравнения, алгебраические уравнения, дифференциальные, интегральные и интегро-дифференциальные уравнения, Марковские цепи, передаточные функции, частотные характеристики, весовые функции, графы и т. д. Наиболее полно объект описывается в терминах пространства состояний. Под состоянием объекта понимается совокупность величин x_i, полностью определяющих его положение в данный момент времени.

1. Непрерывные структурированные модели

Структурированные модели, учитывающие техническую организацию систем управления, создаются на основе следующих допущений:

1. Все элементы системы являются простейшими звеньями, т. е. имеют один вход и один выход. Если звено характеризуется несколькими обобщенными координатами, то в качестве выходной величины выбирается та координата, которая является выходной или регулируемой величиной звена.

2. Все звенья, из которых состоит система, является детектирующими. В детектирующем звене выходная величина зависит только от входной. Если выходная величина звена оказывает влияние на входную, то звено называется недетектирующим.

Допущения о том, что в состав системы управления должны входить только детектирующие звенья не сужает область применения структурированных моделей, так как недетектирующее звено может рассматривать как совокупность детектирующих звеньев охватываемых обратной связью.

Таким образом, структурированная модель системы управления разбивается на ряд взаимосвязанных математических моделей отдельных звеньев. Тогда, последовательно, исключая из рассмотрения все внутренние переменные, являющиеся входными или выходными сигналами внутренних звеньев, можно найти дифференциальное уравнение описывающее взаимосвязь входной и выходной величины системы в виде.

(1.1)

где — постоянные коэффициенты; n — порядок системы.

Для реальных физически реализуемых систем управления m < n .

Подвергая (1.1) преобразованию Лапласа при нулевых начальных условиях получим алгебраическое уравнение, связывающее изображения по Лапласу от входной X(p) и выходной Y(p) величины объекта

(1.2)

где p — оператор Лапласа Последнее уравнение можно представить в виде:

. (1.3)

Это отношение называется передаточной функцией объекта и обозначается символом W (p).

Передаточной функцией системы называется отношение выходной величины к входной, преобразованных по Лапласу при нулевых начальных условиях и возмущениях.

Зная передаточную функцию системы или звена можно легко получить дифференциальное уравнение в форме (1.1), справедливо также и обратное утверждение.

Введение

векторных переменных при рассмотрении многомерных объектов позволяет для линейных систем использовать привычный аппарат передаточных функций и структурных схем, однако понятие передаточной функции значительно расширяется.

Пусть имеется многомерный объект управления. По аналогии с одномерными системами (1.2) можно записать:

(1.4)

где Q(p)-квадратная матрица операторных коэффициентов размера

R(p) — прямоугольная матрица операторных коэффициентов размера

S(p) — прямоугольная матрица операторных коэффициентов размера

.

Для получения системы дифференциальных уравнений необходимо перемножить прямоугольную или квадратную матрицы на матрицы — столбцы соответствующих переменных объекта.

Взаимосвязь уравнений состояния с уравнениями системы в виде (1.4) определяется из следующих соотношений. Выразим переменную через

(1.5)

и подставим это выражение

. (1.6)

Преобразовывая по Лапласу (1.6) и группируя подобные члены, получим выражение аналогичное (1.4).

(1.7)

где — единичная матрица.

Полагая, а найдем взаимосвязь параметров структурированной модели и модели в пространстве состояний

,. (1.8)

По аналогии с одномерными системами, используя основные правила теории матриц, можно ввести понятие матрицы передаточной функции.

Если умножить (1.4) на обратную матрицу, то получим:

(1.9)

Отсюда можно получить выражение для матриц передаточных функций системы по управлению

(1.10)

и возмущению

(1.11)

Как для одномерных, так и для многомерных систем одной и той же матрице передаточной функции может соответствовать несколько вариантов структурных схем и уравнений состояния.

Т.е. по уравнениям состояния матрица передаточной функции может быть получена однозначно, обратное утверждение будет неверным. Это связано с тем, что при получении выражения передаточной функции исключаются из рассмотрения все внутренние переменные структурированной модели, которые нельзя уже восстановить по выражению передаточной функции.

Пример 1. Пусть имеется передаточная функция звена, записанная в виде:

. (1.12)

Запишем ее через отрицательные степени оператора р.

. (1.13)

Введем вспомогательную переменную Е (р) равную

(1.14)

Или, (1.15)

откуда нетрудно составить и структурную схему (рис. 1.1).

Рис. 1.1

Дифференциальные уравнения для переменных состояния могут быть легко найдены из рассмотрения структурной схемы системы.

. (1.16)

Разложим (1.12) на простейшие дроби, предполагая, что характеристическое уравнение звена имеет действительные корни p₁ и p₂ . Согласно теореме Виетта

.

Тогда выражение передаточной функции примет следующий вид:

(1.17)

где ,.

Структурная схема следует из выражения передаточной функции непосредственно (рис. 1.2).

Рис. 1.2

Система дифференциальных уравнений теперь выглядит

. (1.18)

Если теперь записать (1.12) в виде произведения дробей, то получим следующее выражение

(1.19)

Введем переменные состояния

тогда

.

Отсюда можно получить структурную схему (рис. 1.3) и уравнения в переменных состояния

(1.20)

Рис. 1.3.

Сравнивая уравнения состояния (1.16), (1.18) и (1.20) и структурные схемы рис. 1.1 — 1.3, можно сделать вывод о том, что одной передаточной функции (1.12) могут соответствовать различные структуры и уравнения состояния. Такое многообразие структурных схем обусловлено выбором различных систем отсчета (базисов) для переменных состояния. Выбирая переменные состояния в различных координатных системах (базисах) можно получать и различные структурные схемы.

2. Непрерывные модели пространства состояния

Математическая модель (образ) представляет собой абстрактное отражение реального объекта (оригинала, прообраза). В зависимости от типа объекта и целей, ради которых строится и используется модель, формальное описание может быть различным. Для моделирования объектов могут быть использованы структурные схемы, операторные уравнения, алгебраические уравнения, дифференциальные, интегральные и интегро-дифференциальные уравнения, Марковские цепи, передаточные функции, частотные характеристики, весовые функции, графы и т. д. Все эти методы функционально связывают входные и выходные сигналы объекта. По количеству входов и выходов объекты и соответствующие им модели разделяют на одномерные и многомерные. Одномерными называют объекты, имеющие один вход и один выход, многомерными — объекты, имеющие несколько входов и выходов, причем число входов не обязательно равно числу выходов. Блок-схемы одномерного и многомерного объектов изображены соответственно на рис. 2.1,а и рис. 2.1,б. Причем число входов не обязательно равно числу выходов.

Рис. 2.1.

Наиболее полно объект описывается в терминах пространства состояний. Под состоянием объекта понимается совокупность величин x_i, полностью определяющих его положение в данный момент времени.

Наиболее употребительной моделью динамических объектов являются дифференциальные уравнения. Будем рассматривать только объекты с сосредоточенными параметрами, которые описываются обыкновенными дифференциальными уравнениями. Порядок системы дифференциальных уравнений, описывающей модель объекта, непосредственно не определяется количеством входов и выходов, а зависит от операторов, преобразующих входные сигналы в выходные.

Для динамических систем, в которых физические процессы протекают непрерывно во времени, скорости изменения переменной состояния объекта можно также задать вектором

(2.1)

где, - скорости изменения компонент многомерной переменной состояния.

В свою очередь эти скорости определяются текущими значениями переменной состояния, управлениями и возмущениями, действующими на объект

(2.2)

где g = (g1, …, gn) T — вектор функция; x₁₀, x₂₀. ., x_n0 — начальные условия.

Если g() — нелинейная функция, то решение уравнения (2.2) усложняется, так как сводится к интегрированию системы нелинейных ДУ. Так как методы интегрирования систем ДУ хорошо разработаны только для линейных систем, то перед работой с ними необходимо линеаризовать g() в окрестности рабочей точки, которой соответствует установившейся режим работы объекта.

Для линеаризованной функции g() ДУ вида (2.2) с учетом воздействия среды можно представить в векторной форме:

(2.3)

где A(t); B(t); E(t) — матрицы преобразования, элементы которых в общем случае являются функциями времени.

Элементы x_i в уравнении (2.3) называются переменными состояния объекта или фазовыми координатами. Переменные состояния (фазовые координаты) образуют вектор состояния, переменные управления и возмущения образуют векторы управления и возмущения. Множество этих векторов составляет пространство состояний (фазовое пространство) X, пространство управлений U и возмущений F.

Во многих физических объектах регулируются, измеряются и передаются по информационным каналам не значения вектора состояния, а другие значения — функции составляющих вектора фазовых координат, называемые управляемыми или выходными величинами. Обозначим измеряемые величины через y₁(t), y₂(t),…, y_s(t), причем обычно s n. Тогда уравнение измерения, связывающее регулируемые, регулирующие и фазовые координаты объекта примет вид

. (2.4)

Для линейного объекта это соотношение линейное:

. (2.5)

Матрица С(t) называется матрицей измерения, матрица D(t) — форсирующая матрица. Ненулевая матрица D(t) свидетельствует о наличии в структуре объекта форсирующих звеньев. При измерениях, описываемых выражениями (2.4) и (2.5), вектором выходных сигналов (или просто вектором выхода) является вектор. Отметим, что между векторами входа, выхода и состояния существует принципиальное различие. Если все составляющие вектора входа и вектора выхода являются вполне конкретными физическими величинами, то элементами вектора состояния могут быть некоторые абстрактные переменные, физическая природа которых не всегда определена.

Векторно-матричная запись модели линейного динамического объекта с учетом уравнения измерения (2.5) принимает вид:

. (2.6)

Индексы матриц показывают их размерность. Если матрицы A(t), B(t), C(t) и D(t) не зависят от времени, то объект называется объектом с постоянными коэффициентами, или стационарным, объектом. В противном случае объект будет нестационарным.

При наличии погрешностей при измерении, выходные (регулируемые) сигналы задаются линеаризованным матричным уравнением:

(2.7)

где — вектор регулируемых (измеряемых) величин; C(t) — матрица связи вектора измерений с вектором состояний; v(t) — вектор ошибок измерений (помехи).

Структура линейной непрерывной системы, реализующая уравнения (2.6) и (2.7) приведена на рис. 2.2.

Рис. 2.2.

Данная структура соответствует математической модели объекта построенной в пространстве состояний его входных u(t), выходных y(t) и внутренних, или фазовых координат x(t).

Пример 2. Рассмотрим математическую модель двигателя постоянного тока с независимым возбуждением от постоянных магнитов.

Система уравнений электрической и механической частей двигателя для рассматриваемого случая будет выглядеть:

. (2.8)

Первое уравнение отражает взаимосвязь между переменными в цепи якоря, второе — условия механического равновесия. В качестве обобщенных координат выберем тока якоря I и частоту вращения якоря. Управлением являются напряжение на якоре U, возмущением момент сопротивления нагрузки M_c. Параметрами модели являются активное сопротивление и индуктивность цепи и якоря, обозначенные соответственно R_я, и L_я, а также приведенный момент инерции J и конструктивные постоянные с_е и с_м. В системе СИ с_е = с_м.

Разрешая исходную систему относительно первых производных, получим уравнения двигателя в пространстве состояний.

. (2.9)

В матричном виде уравнения (2.9) примут вид (2.6)

(2.10)

где вектор обобщенных координат, вектор управлений (в рассматриваемом случае он является скаляром), вектор (скаляр) возмущений. Матрицы модели

(2.10)

Если в качестве регулируемой величины выбрать частоту вращения, то уравнение измерения запишется в виде, а матрицы C и D примут вид

.

3. Дискретные структурированные модели

Структурная схема, приведенная на рис. 3.1, содержит как дискретные, таки непрерывные элементы, соединенные между собой благодаря наличию АЦП и ЦАП. Однако провести расчет такой системы с помощью математического аппарата непрерывных линейных систем управления, рассмотренного в предыдущих разделах, невозможно из-за наличия дискретных элементов.

Рис. 3.1 Структурная схема СУ с учетом запаздывания в ЭВМ.

Для математического описания дискретных систем, по аналогии с непрерывными системами введем понятие решетчатой функции, являющейся аналогом непрерывной функции.

Решетчатая функция это импульсная функция, состоящая из периодически следующих друг за другом д — импульсов, площадь которых равна значениям непрерывного сигнала в те же моменты времени.

Графически преобразование непрерывного сигнала в импульсный сигнал с помощью решетчатой функции можно изобразить таки образом Рис. 3.2. Формирование импульсного сигнала с помощью решетчатой функции.

На схеме рис. 3.2 АЦП заменен идеальным импульсным элементом (ИИЭ) и формирующим элементом (ФЭ). Идеальный импульсный элемент формирует на выходе д — импульсы, площадь которых модулирована уровнем входного сигнала, т. е. идеальный импульсный элемент формирует на своем выходе решетчатую функцию от входного сигнала.

k=0, 1, 2,… (3.1)

Формирующий элемент является непрерывным с функцией веса равной выходному сигналу ФЭ. Это следует из определения функции веса, которая есть реакция элемента на д — импульс. Именно такие импульсы и действуют на входе ФЭ. Зная функцию веса нетрудно вычислить и передаточную функцию ФЭ.

. (3.2)

Передаточная функция ФЭ вычисляется от одиночного импульса y_d .

Введение

понятия идеального импульсного элемента и решетчатой функции является математической абстракцией, позволяющей установить аналитическую связь между непрерывным и импульсным сигналом.

Вычислим передаточную функцию ФЭ — который генерирует на выходе прямоугольные импульсы с амплитудой А и длительностью t_и.

. (3.3)

Если теперь в (3.3) положить, то мы получим передаточную функцию экстраполятора нулевого порядка, поскольку на интервале времени в отсутствии импульсов на выходе ФЭ на его выходе сигнал будет сохранять постоянное значение равное площади входного д — импульса.

Найдем теперь выражение для дискретной передаточной функции дискретного элемента, у которого входной и выходной сигналы соответственно равны

(3.4)

Вычислим y(t) используя теорему о свертке или интеграл Дюамеля.

В дискретной форме этот интеграл заменится бесконечной суммой

. (3.5)

Если квантование входного и выходного сигналов осуществляется синхронно, то выходное время и (3.5) запишется так

. (3.6)

Найдем теперь дискретное изображение по Лапласу от y(t). Для этого в преобразовании Лапласа также заменим интеграл суммой

. (3.7)

Подставим в (3.7) (3.6) получим

. (3.8)

Сделаем замену m=n-k и изменим очередность суммирования членов

(3.9)

В (3.9) первая сумма есть ничто иное, как дискретное преобразование Лапласа от функции веса, или дискретная передаточная функция, второе слагаемое представляет собой дискретное преобразование Лапласа от входного сигнала. Следовательно, можно записать

. (3.10)

Откуда (3.11)

Дискретная передаточная функция есть отношение дискретных изображений по Лапласу выходной к входной величине при нулевых начальных условиях.

В теории дискретных систем более широко применяется z— преобразование, введенное в рассмотрение Джури. По сути дела z— преобразование есть модифицированное преобразование Лапласа, получаемое путем замены оператора

. (3.12)

Тогда дискретная передаточная функция по переменной z запишется в виде

. (3.13)

Дискретная передаточная функция по переменной z есть отношение z -преобразований выходной величины к входной при нулевых начальных условиях.

4. Дискретные модели пространства состояния

.В том случае если объект управления многомерный и имеет математическую модель, заданную в пространстве состояний, то последняя сводится к дискретной модели вида

(4.1)

где параметры (матрицы) дискретной системы связаны с параметрами (матрицами) исходной непрерывной выражениями [78]

(4.2)

где Т₀ — интервал квантования.

Докажем это утверждение. Известно [36, 65], что решение матричного дифференциального уравнения,

(4.3)

заданного в пространстве состояний при начальных условиях x(0) описывается выражением

(4.4)

Матрица Ф(t)

(4.5)

которую определяют как переходную, определяется как ряд

. (4.6)

Дискретная форма записи решения (3.45) при условии, что входной сигнал остается постоянным во время такта квантования, запишется так

. (4.7)

Вводя новую переменную и подставляя ее в (4.7) получим

. (4.8)

Откуда с учетом (4.5) непосредственно следует (4.2)

Пример 4.1. Найдем дискретную модель в пространстве состояний исполнительного механизма, уравнения состояния которого имеют вид:

. (4.9)

Для вычисления матричной экспоненты (4.5) найдем ее преобразование Лапласа, которое будет равно.

(4.10)

I — единичная матрица.

После подстановки в него матрицы А получим

. (4.11)

Вычислим обратную матрицу

. (4.12)

Откуда, осуществляя z — преобразование последней матрицы, найдем матрицу перехода дискретной системы A_d

. (4.13)

где Т₀ — интервал дискретизации по времени.

Матрица B_d будет равна

. (4.14)

Тогда дискретный аналог модели исполнительного механизма будет выглядеть

.

Переход в пространство состояний дискретной модели можно осуществить из структурированной непрерывной или дискретной модели, заданной соответствующей передаточной функцией.

В первом случае, когда имеется передаточная функция непрерывной модели возможно два варианта перехода. В первом варианте получают непрерывную модель в пространстве состояний, как это рассмотрено в примере 1, а затем по выражениям (4.2) получают дискретную модель. Во втором варианте перехода сначала из непрерывной передаточной функции получают дискретную передаточную функцию. Полученную дискретную передаточную функцию разлагают на простые дроби по переменной z, а затем для каждой полученной простой дроби находят ее АРСС — модель первого порядка. Система таких АРСС — моделей для каждой простейшей дроби и образует дискретную модель в пространстве состояний.

Пример 4.2 Перейдем от дискретной передаточной функции вида

(4.15)

к дискретной модели в пространстве состояний.

Введем вспомогательную переменную x₁(z) и запишем (4.14) в виде

(4.16)

По уравнениям (4.16) получим АРССмодель

(4.17)

Введем еще одну переменную

. (4.18)

Подставляя ее в (4.17) получим дискретную модель в пространстве состояний

(4.19)

как в примере 1 можно использовать другие формы разложения передаточной функции (4.15), получая соответственно и другие виды эквивалентных ей уравнений состояния дискретной системы.

Для дискретной системы также справедливы линейные преобразования в пространстве состояний задаваемые с помощью матрицы перехода.

. (4.20)

5. Расчет

5.1. Расчёт параметров МПС

Придется исходную функцию привести в виде произведения 2-х передаточных функций где

Запишем дифференциальные уравнения звеньев системы:

Полученную систему приведём к нормальному виду:

По полученному уравнению найдём параметры матрицы системы:

, , .

, ,

5.2 Расчёт параметров модели дискретной передаточной функции

Разложим исходную передаточную функцию на дроби:

Вычислим от

 — период дискретизации Зная дискретную передаточную функцию апериодического звена найдём передаточную функцию исходной системы:

Приведём к нормальному виду:

— 0.7192,

0,3 615,

2.4783,

0.2615.

5.3 Расчёт параметров дискретной МПС модели

Для расчетов параметров МПС воспользуемся дискретной передаточной функцией, записав её в следующем виде:

.

Дискретная модель так же состоит из 2-х простых моделей представленном на рисунке 5.1

Рисунок 5.1

.

Запишем разности уравнения полученной модели

.

От уравнения записанного в символьной форме переходим к реальному разностному уравнению. Запишем:

.

В последнем уравнении заменим его выражением:

Полученные разностные уравнения приведём к нормальному виду:

Найдём матрицы этого уравнения:

, , .

, , .

5.4 Текст программы

k=2;t1=1;t2=10;t0=1

wtf=tf (k,[t1*t2 (t1+t2) 1])

wzpk=zpk (wtf)

ps=ss (wtf)

wtfd=c2d (wtf, t0)

wzpk=zpk (wtfd)

psd=c2d (ps, t0)

An=[-1/t1 0;1/t2 -1/t2]

Bn=[k/t1;0];

C=[0 1]

D=0

psr=ss (An, Bn, C, D)

wtfr=tf (psr)

d1=exp (-t0/t1)

d2=exp (-t0/t2)

b0=k*(t2*(1-d2)-t1*(1-d1))/(t2-t1)

b1=k*(-t2*(1-d2)*d1+t1*(1-d1)*d2)/(t2-t1)

a1=-(d1+d2)

a2=d1*d2

wtfdr=tf ([b0 b1],[1 a1 a2])

d3=b1/b0;k1=b0;

Ad=[d1 0;d1+d3 d2]

Bd=[k1;k1]

psdr=ss (Ad, Bd, C, D)

tfdr=tf (psdr)

Список использованных источников

1. Амосов А. А, Дубинский Ю. А., Копченова Н. В. Вычислительные методы для инженеров. — М.: Высш. шк., 1994. -55с.

2. Арсенин В. Я. Методы математической физики и специальные функции. — М.: Наука, 1984. — 382 с.

3. Артамонов Д. В., Семенов А. Д. Основы теории линейных систем автоматического управления. — Пенза: Изд-во Пензенского гос. ун-та, 2004. — 130 с.

4. Ван дер Варден Б. Л. Математическая статстика. -М.: Изд-во Иностр. лит., 1960. 434 с.

5. Вентцель Е. С. Овчаров Л.А. Теория вероятностей и ее инженерные приложения. — М.: Нака, 1988. — 408 с.