Виды условных уравнений в триангуляции

Задачи уравновешивания тригонометрической сети состоит в отыскании поправок в измеренные углы, которые наилучшим образом удовлетворили бы теоретические условия сети, а измеренные величины после введения в них поправок получили бы вероятнейшее значение. Треугольники триангуляции образуют центральные системы, которые должны удовлетворять теоретические условия геометрии.

1. Условия уравнивания фигур.

Условное уравнение фигур.

б. 1+(1)+2+(2)+3+(3)-180=0.

После вычитания формулы а. из формулы б. получим условное уравнение поправок треугольников.

(1)+(2)+(3)+=0.

Предельная невязка углов треугольников определяется формулой:

пред=2.5m3.

где mbсредняя квадратическая ошибка углов.

Таких уравнений в сети возникает столько сколько треугольников с измеряемыми углами.

Условие уравнивания горизонта Сущность: в центральной системе при точке ТО сумма углов должна быть равна 360. Но практически будет невязка:

а. 1+2+3+4+5−360=.

поправка будет равна: /5.

б. 1+(1)+2+(2)+3+(3)+4+(4)+5+(5)-360 =0.

Уравнение горизонта мы получим после вычитания формулы а. из б.

(1)+(2)+(3)+(4)+(5)+=0.

Предельная невязка углов определяется формулой:

пред=2.5mn.

где n — количество углов при цетре.

Условное уравнение полюса:

Сущность: в каждом треугольнике должно быть выполнено условие пропорциональности сторон и противолежащих углов.

bca/abc=1 это условие полюса в точке O для центральной системы.

Заменяя отношение сторон синусом противоположных углов, исправленных поправками. После логарифмирования и разложения функции в ряд мы получим:

W=lg (sin1sin3sin5/sin2sin4sin6).

Окончотельный вид полюсного условного уравнения будет выглядеть так:

1(1)+3(3)+5(5)-2(2)-4(4)-6(6)+W=0.

Величина невязки зависит от ошибок в связующих углах.

Wпред=2.5*m*().

Условное уравнивание сторон.

Условие сторон возникает в цепи треугольников расположенной между двумя сторонами исходной цепи. Геометрический смысл состоит в том, что при последовательном решении треугольников от начальной стороны должна быть получена конечная сторона.

1(x1)+2(x2)+3(x3)+4(x4)-1(y1)-2(y2)-3(y3)-4(y4)+WD=0.

Wdпред=2.5*m*2m+m2(2+2).

Условное уравнение координат Условие координат возникает в сети, если в ней может быть выделен ход, заключенный между двумя твердыми точками.

Это условие заключается в том, чтобы сумма приращений по каждой координатной оси была равна разности координат конечной и начальной точек.

Невязки вычисляются по формуле:

x=x-(xк-xн); y=y-(yк-yн) сумма поправок приращений должна равнятся нулю.

xBC+xCD+XDE+x=0.

yBC+yCD+yDE+=0.

3. Упрощенное уравнивание центральной системы.

В центральной системе возникает условное уравнение фигур, горизонта и полюса. Математически эти условия выражаются уравнениями поправок. Число условных уравнений фигур равно числу треугольников:

• (x1)+(y1)+f1=0
• (x2)+(y2)+f2=0
• (x3)+(y3)+f3=0

(x4)+(y4)+f4=0.

(x5)+(y5)+f5=0.

Одно условное уравнение горизонта имеет вид:

(1)+(2)+(3)+(4)+(5)=f=0.

Условное уравнение полюса согласно формуле имеет вид:

1(x1)+2(x2)+3(x3)+4(x4)+5(x5) — 1(y1)-2(y2)-3(y3)-4(y4)-5(y5)+W=0.

Таким образом, в этой центральной системе возникает семь условных уравнений. При этом распределение невязок и отыскание поправок по способу наименьших квадратов все уравнения надо решать совместно — это требует больших вычислений, поэтому в сетях сгущения уравновешивание выполняется упрощенным способом. Упрощение состоит в том, что система всех уравнений разделяется на однотипные группы. Для наиболее простого способа уравновешивания к первой группе относят условные уравнения фигур и решают их по способу наименьших квадратов. В этой группе уравнений каждоя неизвестная искомая поправка в уравнения входит один раз, т. е. каждое уравнение имеет три искомых неизвестных, не входящих в другие уравнения. Следовательно, каждое уравнение можна решать отдельно по способу наименьших квадратов. Решение такого уравнения с коэффициентами при неизвестных, равными единици, было описано.

Согласно формуле искомые поправки равны между собой и равны f/n, где fневязки, а nчисло углов.

Поэтому в условном уравнении фигуры треугольника n=3 поправки в углы треугольников выражаются формулами:

• (x1)'=(y1)'=(1)'=-f1 /3
• (x2)'=(y2)'=(2)'=-f2 /3
• (x3)'=(y3)'=(3)'=-f3 /3
• (x4)'=(y4)'=(4)'=-f4 /3
• (x5)'=(y5)'=(5)'=-f5 /3

Решение первой группы уравнений дает первичные поправки, обозначенные одним штрихом. Затем приступают к решению второй группы условных уравнений, т. е. уравнение горизонта. При упрощенном уравновешивании получают вторые поправки к углам.

Условное уравнение примет вид:

(1)"+ (2)"+ (3)"+ (4)"+(5)"+f=0.

Здесь невязка вычисляется по первично исправленным углам, т. е.

f=[1+(1)']+ [2+(2)']+ [3+(3)']+ [4+(4)']+ [5+(5)']-360.

Условное уравнение горизонта имеет коэффициенты при неизвестном, равные единице, поэтому решение уравнения по способу наименьших квадратов выполняются так же, как и условие фигур, невязка распределяется поровну на все углы и поправка равнаf /n, следовательно, вторичные поправки к углу будут:

(1)"= (2)"= (3)"= (4)"= (5)"-f" /n.

Чтобы не нарушать условие фигур, выполненные введением первых поправок, надо и в связующие углы x, y каждого треугольника ввести вторичные поправки, которые должны быть равны половине второй поправки к углу с обратным знаком:

• (x1)"=(y1)"=-(1)"/2
• (x2)"=(y2)"=-(2)"/2

Результаты этих поправок записаны в таблице. После решения условных уравнений фигур и горизонта приступают к решению полюсного условного уравнения, что дает третьи поправки к углам, но при условии, чтобы условия фигур и горизонта не были нарушены. Условное уравнение полюса примет вид:

1(x1)"'+2(x2)"'+3(x3)"'+4(x4)"'+5(x5)"'-1(x1)"'- 1(x1)"'-1(x1)"'-1(x1)"' —1(x1)"'+W=0.

здесь 1, 2, …5 — перемена логарифмов синусов углов x, входящие в числитель свободного члена W, а 1, 2…5 — перемены логарифмов синусов углов y, входящие в знаменатель свободного члена. Невязка, т. е. свободный член уравнения, выражается формулой:

Здесь связующие углы x, y каждого треугольника представляют углы, исправленные предыдущими двумя поправками. Чтобы решением полюсного уравнения не нарушить условие фигур и горизонта, надо ввести дополнительное условие, согласно которому в каждом треугольнике связующие углы должны иметь равные поправки, но с разными знаками, т. е. (xi)"'=-(yi)"'. Тогда полюсное уравнения примет вид.

a1(x1)"'+ a2(x2)"'+ a3(x3)"'+ a4(x4)"'+ a5(x5)"'+W=0.

a1=(1+1), …

для решения этого уравнения по способу наименьших квадратов надо добавить условие:

(x1)"'2+(x2)"'2+(x3)"'2+(x4)"'2+(x5)"'2=min.

для нахождения минимума функции возьмем производные и прировняем их к нулю.

f’x1=2(x1)"'-2ka1=0.

f’x2=2(x2)"'-2ka2=0.

…

f’xi=2(xi)"'-2kai=0.

откуда поправки:

• (x1)"'=a1k
• (x2)"'=a2k

…

(xi)"'=aik.

подставляем полученные (x) в формулу.

a1a1k+ a2a2k+ a3a3k+ a4a4k+ a5a5k+W=0.

или.

[aa]k+W=0.

откуда.

k=-W/[aa].

после обработанной замены коэффициента ai=I+i формула кореллатты k примет вид:

k=-W/ (+)2.

Значение k начисляют по записям. После подстановки значения k в формулу поправок получим:

Эти поправки записывают в таблицу. После исправления углов третьими поправками решают треугольники на основе исходной стороны, т. е. находят длины сторон, затем вычисляют дирекционные углы сторон от дирекционного угла начальной линии. После вычисления дирекционных углов и длин линий вычислений приращения. В сомкнутом полигоне центральной системы будут невязки приращений fx, fy, которые распределяют пропорционально длинам линий. Так как в треугольниках сети сгущения длины сторон не очень отличаются между собой, то невязки приращений можно распределять поровну. После исправления приращений вычисляют координаты пунктов.