Коэффициент корреляции. 
Корреляционный анализ

Перейдем к оценке тесноты корреляционной зависимости. Рассмотрим наиболее важный для практики и теории случай линейной зависимости вида (1.16).

На первый взгляд подходящим измерителем тесноты связи Y от X является коэффициент регрессии b_ух, ибо, как уже отмечено, он показывает, на сколько единиц в среднем изменяется Y, когда X увеличивается на одну единицу. Однако b_ух зависит от единиц измерения переменных. Например, в полученной ранее зависимости он увеличится в 1000 раз, если величину основных производственных фондов X выразить не в млн руб., а в тыс. руб.

Очевидно, что для «исправления» b_ух как показателя тесноты связи нужна такая стандартная система единиц измерения, в которой данные по различным характеристикам оказались бы сравнимы между собой. Статистика знает такую систему единиц. Эта система использует в качестве единицы измерения переменной ее среднее квадратическое отклонение s.

Представим уравнение (1.16) в эквивалентном виде:

В этой системе величина.

показывает, на сколько величин s_y изменится в среднем Y, когда X увеличится на одно s_x

Величина r является показателем тесноты линейной связи и называется выборочным коэффициентом корреляции (или просто коэффициентом корреляции).

На рис. 1.3 приведены две корреляционные зависимости переменной Y по X. Очевидно, что в случае а) зависимость между переменными менее тесная и коэффициент корреляции должен быть меньше, чем в случае б), так как точки корреляционного поля а) дальше отстоят от линии регрессии, чем точки поля б).

Рис. 1.3 a) б)

Нетрудно видеть, что r совпадает по знаку с b_ух (а значит, и с b_ху). Если r > 0 (b_ух > 0, b > 0), то корреляционная связь между переменными называется прямой, если r < 0 (b_ух < 0, b< 0) — обратной. При прямой (обратной) связи увеличение одной из переменных ведет к увеличению (уменьшению) условной (групповой) средней другой.

Учитывая равенство (1.17), формулу для r представим в виде:

Отсюда видно, что формула для r симметрична относительно двух переменных, т. е. переменные X и У можно менять местами. Тогда аналогично формуле (1.29) можно записать:

Найдя произведение обеих частей равенств (1.29) и (1.31), получим.

(1.32) или (1.33).

т.е. коэффициент корреляции r переменных X и Y есть средняя геометрическая коэффициентов регрессии, имеющая их знак.

Отметим другие модификации формулы r, полученные из равенства (1.30) с помощью формул (1.12)—(1.14), (1.8), (1.22):

Для практических расчетов наиболее удобна формула (1.35), так как по ней r находится непосредственно из данных наблюдений и на величине r не скажутся округления данных, связанные с расчетом средних и отклонений от них.

Отметим основные свойства коэффициента корреляции (при достаточно большом объеме выборки n), аналогичные свойствам коэффициента корреляции двух случайных величин.

• 1. Коэффициент корреляции принимает значения на отрезке [-1; 1], т. е.
• -1

В зависимости от того, насколько | r | приближается к 1, различают связь слабую, умеренную, заметную, достаточно тесную, тесную и весьма тесную, т. е. чем ближе | r | к 1, тем теснее связь.

• 2. Если все значения переменных увеличить (уменьшить) на одно и то же число или в одно и то же число раз, то величина коэффициента корреляции не изменится.
• 3. При r=± 1 корреляционная связь представляет линейную функциональную зависимость. При этом линии регрессии Y по X и X по Y совпадают и все наблюдаемые значения располагаются на общей прямой.

Найдем tg между двумя прямыми регрессии (рис. 1.4) с угловыми коэффициентами и используя соответствующую формулу аналитической геометрии:

откуда с учетом соотношений (1.29) и (1.31).

Из полученной формулы видно, что чем теснее связь и чем ближе | r | к 1, тем меньше угол между прямыми регрессии (уже образуемые ими «ножницы»), а при r= ±1 tgц =ц= 0 и линии регрессии сливаются (рис. 1.5, а и б).

Рис. 1.5.

Ч. При r = 0 линейная корреляционная связь отсутствует. При этом групповые средние переменных совпадают с их общими средними, а линии регрессии Y по X и X по Y параллельны осям координат.