Матричное представление линейных уравнений

Система линейных уравнений может быть записана в виде матричного уравнения:

АЧХ=В. (1.18).

Ее решение получаем, умножая обе части равенства слева на А^-1:

А^-1ЧАЧХ=1ЧХ=А^-1ЧВ, то есть:

Х=А^-1ЧВ. (1.19).

Это удобный способ выразить решение Х, но существуют методы решения значительно лучше, чем явное формирование матрицы А^-1и умножение ее на В.

Используемые инструменты MathCAD

Большинство вычислений с матрицами, как и другие вычисления в Mathcad, можно выполнить тремя способами: с помощью панелей инструментов, выбором операции в меню или обращением к соответствующей функции.

Панель операций с матрицами и векторами в Matrix открывается щелчком по кнопке в панели математических инструментов. За кнопками панели закреплены следующие функции:

— определение размеров матрицы;

— ввод нижнего индекса;

— вычисление обратной матрицы;

— вычисление определителя матрицы: ;

вычисление длины вектора |х|, |х|²=;

— поэлементные операции с матрицами: если А={а_ij}, B={b_ij}, то ;

— определение столбца матрицы: М — j-й столбец матрицы;

— транспонирование матрицы: М={m_ij}, M^T={m_ji},.

— вычисление скалярного произведения векторов: ;

— вычисление векторного произведения двух векторов: aґb=(a₂b₂ — a₃b₂ — a₂b₁ — a₁b₂ — a₂b₁);

— вычисление суммы компонент вектора: ;

— определение диапазона изменения индекса переменной;

— визуализация цифровой информации, сохраненной в матрице.

Для того, чтобы выполнить какую-либо операцию с помощью панели инструментов, нужно выделить матрицу и щелкнуть в панели по кнопке операции либо щелкнуть по кнопке в панели и ввести в помеченной позиции для матрицы.

Функции определения матриц и операции с блоками матриц:

matrix (m, n, f) — создает и заполняет матрицу размерности mґn, элемент которой, расположенный в i-й строке, j-м столбце, равен значению f (i, j) функции f (x, y);

diag (v) — создает диагональную матрицу, элементы главной диагонали которой хранятся в векторе v;

identity (n) — создает единичную матрицу порядка n;

augment (A, B) — формирует матрицу, в первых столбцах которой содержится матрица А, а в последних — матрица В (матрицы, А и В должны иметь одинаковое число строк);

staсk (А, В) — формирует матрицу, в первых строках которой содержится матрица А, а в последних — матрица В (матрицы, А и В должны иметь одинаковое число столбцов);

submatrix (A, ir, jr, ic, jc) — формирует матрицу, которая является блоком матрицы А, расположенным в строках с ir по jr и в столбцах с ic по jc, irЈjr, icЈjc.

Номер первой строки (столбца) матрицы или первой компоненты вектора хранится в Mathcad в переменной ORIGIN. По умолчанию в Mathcad координаты векторов, столбцы и строки матрицы нумеруются, начиная с 0 (ORIGIN=0). Поскольку в математической записи чаще используется нумерация с 1, здесь и в дальнейшем перед началом работы с матрицами будем определять значение переменной ORIGIN равным 1, т. е. будем прежде всего выполнять команду ORIGIN=1.

Функции вычисления числовых характеристик матриц:

last (v) — вычисление номера последней компоненты вектора v;

legth (v) — вычисление количества компонент вектора v;

rows (A) — вычисление числа строк в матрице А;

cols (A) — вычисление числа столбцов в матрице А;

max (A) — вычисление наибольшего элемента в матрице А;

min (A) — вычисление наименьшего элемента в матрице А;

tr (A) — вычисление следа квадратной матрицы А^*;

rank (A) — вычисление ранга матрицы А;

norm1 (A), norm2 (A), norme (A), normi (A) — вычисление норм квадратной матрицы А.

Функции, реализующие численные алгоритмы решения задач линейной алгебры:

rref (A) — приведение матрицы к ступенчатому виду с единичным базисным минором (выполняет элементарные операции со строками матрицы);

eigenvals (A) — вычисление собственных значений квадратной матрицы А;

eigenvecs (A) — вычисление собственных векторов квадратной матрицы А; значением функции является матрица, столбцы которой есть собственные векторы матрицы А, порядок следования которых отвечает порядку следования собственных значений, вычисленных функцией eigenvals (A);

eigenvec (A, l) — вычисление собственного вектора матрицы А, отвечающего собственному значению l;

lsolve (A, b) — решение системы линейных уравнений Ax=b.

Задание 1. Определить матрицу, А размером 3ґ3 с помощью панели Matrix и трансформировать ее.

Создать матрицу В размером 3ґ3 с помощью функции Matrix.

Вычислить суммы А+В и В+А, произведения АВ и ВА, исследовать матрицы на симметричность.

Задать единичную матрицу Е 3-го порядка, вычислить произведения ЕА и АЕ.

Сформировать вектор v, представляющий 2-й столбец матрицы А, и диагональную матрицу diag (v).

Определить матрицы С и D, используя функции augment (A, V) и staсk (A, V^T).

Решить систему АХ=V, используя обратную матрицу А^-1 и функцию isolve (A, b).