Линейные пространства. 
Анализ векторного исчисления и его приложений

К началу III в. до н. э. в работах древнегреческого ученого Аристотеля была сформулирована идея построения научной теории. Применительно к геометрии ее реализовал Евклид в своей работе «Начала». На основании накопленных к тому времени фактов и знаний он выделил и сформулировал несколько утверждений (постулатов), принимаемых без доказательств, из которых выводились их логические следствия в виде теорем. Система Евклида явилась первым опытом применения аксиоматического метода и просуществовала без изменений до XIX века н. э.

Среди аксиом Евклида был пятый постулат о параллельных линиях: если две прямые образуют с третьей по одну ее сторону внутренние углы, сумма которых меньше развернутого угла, то такие прямые пересекаются при достаточном продолжении с одной стороны. В современной формулировке она говорит о существовании не более одной прямой, проходящей через данную точку вне данной прямой и параллельной этой данной прямой.

Сложность формулировки пятого постулата породила мысль о возможной зависимости его от других постулатов, и потому возникали попытки вывести его из остальных предпосылок геометрии. Как правило, это заканчивалось неудачей. Были попытки доказательства от противного: прийти к противоречию, предполагая верным отрицание постулата. Однако и этот путь был безуспешным.

Наконец, в начале XX века почти одновременно сразу у нескольких математиков: у К. Гаусса в Германии, у Я. Больяи в Венгрии и у Н. Лобачевского в России возникла мысль о существовании геометрии, в которой верна аксиома: на плоскости через точку, не лежащую на данной прямой, проходят по крайней мере две прямые, не пересекающие данную [5, C.113].

В силу приоритета Н. Лобачевского, который первым выступил с этой идеей в 1826, и его вклада в развитие новой, отличной от евклидовой геометрии последняя была названа в его честь «геометрией Лобачевского».

Аксиоматика планиметрии Лобачевского отличается от аксиоматики планиметрии Евклида лишь одной аксиомой: аксиома параллельности заменяется на ее отрицание — аксиому параллельности Лобачевского [5, C.151].

Найдутся такая прямая a и такая не лежащая на ней точка A, что через A проходят по крайней мере две прямые, не пересекающие a.

Напомним, что аксиома параллельности Евклида гласит:

Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести на плоскости не более одной прямой, параллельной данной.

В своей лекции «О гипотезах, лежащих в основании геометрии», прочитанной в 1854 году, немецкий математик Риман замечает, что в основе всех предшествовавших исследований лежит допущение того, что прямые имеют бесконечную длину, которое является, конечно, крайне естественным. Но что получится, если отбросить это допущение, если, например, вместо него предположить, что прямые — суть линии замкнутые, вроде больших кругов на сфере. Речь идет по сути о различии между бесконечностью и безграничностью; это различие лучше всего можно понять, рассматривая аналогичное соотношение в двумерной области: безграничными являются как обыкновенная плоскость, так и поверхность сферы, но только первая бесконечна, в то время как другая имеет конечное протяжение [1, C.83].

Риман считает пространство лишь неограниченным, но не бесконечным; тогда прямая становится замкнутой линией, на которой точки расположены как на окружности. Если заставить теперь снова, как и прежде, точку P перемещаться по прямой, a все время в одном направлении, то она в конце концов снова вернется к исходному месту, а луч AP вообще не будет иметь никакого предельного положения; не существует вообще никакой прямой, проходящей через точку A параллельно прямой a.

Таким образом у Римана строится второй вид неевклидовой геометрии в противоположность геометрии Лобачевского [1, C.86].

Таким образом, все вышеприведенные геометрии отличаются друг от друга только выбором исходного постулата. Но все эти геометрии содержат общие «геометрические» свойства. В них существуют собственные линейные и нелинейные пространства (прямые и кривые на плоскости, прямые и кривые на сфере и т. п.). И естественно собственные геометрические точки.

При этом любая геометрическая точка есть вектор. Фигура также есть вектор, полученный путем последовательного обхода ее вершин, а это значит, что любой отрезок, отражающий путь от начала координат до конечной вершины фигуры есть многомерный вектор. Так одномерная точка становится многомерной.

Если свойства такого m-мерного вектора связать с текущим вектором n-го пространства (m>n), то из вершины этого вектора мы «увидим» все n-мерное пространство. Это «видение» определяется тем, что именно самый последний вектор характеризует «ось вращения» всего многомерного пространства вектора.

Все многомерные вектора имеют прерывный характер, т. е. их проекция на выбранную плоскость отражается как ломаная кривая и потому они отражают структурный аспект пространства, как такового.

Между единицей структурной (прерывной) и единицей мнимой (функциональной, непрерывной) существует тесная взаимосвязь между функциональным (непрерывным) и структурным (прерывным) пространствами.

Таким образом, всякий раз, когда мы делим Единицу на многомерный, но конечный вектор, мы получаем вектор бесконечномерный.

В функциональном пространстве, также как в линейном и нелинейном пространствах существуют вектор-нуль и вектор-бесконечность.

Смысл этих векторов предельно прозрачен. Вектор-нуль характеризует сходящуюся последовательность (нисходящая спираль) векторов бесконечномерного вектора к нулю (функционального пространства). Вектор-бесконечности характеризует расходящуюся последовательность (восходящая спираль) векторов бесконечномерного вектора [6, C.75].

Векторное пространство, математическое понятие, обобщающее понятие совокупности всех (свободных) векторов обычного трёхмерного пространства.

Для векторов трёхмерного пространства указаны правила сложения векторов и умножения их на действительные числа. В применении к любым векторам х, у, z и любым числам a, b эти правила удовлетворяют следующим условиям (условия А):

• 1) х + у = у + х (перестановочность сложения);
• 2) (х + у) + z = x + (y + z) (ассоциативность сложения);
• 3) имеется нулевой вектор 0 (или нуль-вектор), удовлетворяющий условию x + 0 = x: для любого вектора x;
• 4) для любого вектора х существует противоположный ему вектор у такой, что х + у = 0,
• 5) 1 · х = х,
• 6) a (bx) = (ab) х (ассоциативность умножения);
• 7) (a + b) х = aх + bх (распределительное свойство относительно числового множителя);
• 8) a (х + у) = aх + aу (распределительное свойство относительно векторного множителя) [11, C.212].

Векторным (или линейным) пространством называется множество R, состоящее из элементов любой природы (называемых векторами), в котором определены операции сложения элементов и умножения элементов на действительные числа, удовлетворяющие условиям, А (условия 1—3 выражают, что операция сложения, определённая в В. п., превращает его в коммутативную группу). Выражение a1e1 + a2e2 + … + anen называется линейной комбинацией векторов e1, e2,…, en с коэффициентами a1, a2,…, an. Линейная комбинация (1) называется нетривиальной, если хотя бы один из коэффициентов a1, a2,…, an отличен от нуля. Векторы e1, e2,…, en называются линейно зависимыми, если существует нетривиальная комбинация, представляющая собой нулевой вектор. В противном случае (то есть если только тривиальная комбинация векторов e1, e2,…, en равна нулевому вектору) векторы e1, e2,…, en называется линейно независимыми.

Векторы (свободные) трёхмерного пространства удовлетворяют следующему условию (условие В): существуют три линейно независимых вектора; любые четыре вектора линейно зависимы (любые три ненулевых вектора, не лежащие в одной плоскости, являются линейно независимыми).

Векторное пространство называется n-мepным (или имеет «размерность n»), если в нём существуют n линейно независимых элементов e1, e2,…, en, а любые n + 1 элементов линейно зависимы (обобщённое условие В). Векторное пространство называются бесконечномерным, если в нём для любого натурального n существует n линейно независимых векторов. Любые n линейно независимых векторов n-мepного В. п. образуют базис этого пространства. Если e1, e2,…, en — базис В. п., то любой вектор х этого пространства может быть представлен единственным образом в виде линейной комбинации базисных векторов:

x = a1e1 + a2e2 +… + anen (1).

При этом числа a1, a2,…, an называются координатами вектора х в данном базисе.

Множество всех векторов трёхмерного пространства образует, очевидно, векторное пространство. Более сложным примером может служить так называемое n-мерное арифметическое пространство. Векторами этого пространства являются упорядоченные системы из n действительных чисел: l 1, l 2,…, l n. Сумма двух векторов и произведение на число определяются соотношениями:

(l1, l2, …, ln) + (m1, m2, …, mn) = (l1 + m1, l2 + m2, …, ln + mn);

a (l1, l2, …, ln) = (al1, al2, …, aln).

Базисом в этом пространстве может служить, например, следующая система из n векторов e1 = (1, 0,…, 0), e2 = (0, 1,…, 0),…, en = (0, 0,…, 1) [7, C.65].

Множество R всех многочленов a0 + a1u + … + anun (любых степеней n) от одного переменного с действительными коэффициентами a0, a1,…, an с обычными алгебраическими правилами сложения многочленов и умножения многочленов на действительные числа образует В. п. Многочлены 1, u, u2,…, un (при любом n) линейно независимы в R, поэтому R — бесконечномерное В. п.

Многочлены степени не выше n образуют векторное пространство размерности n + 1; его базисом могут служить многочлены 1, u, u2,…, un.

Подпространства векторного пространства R' называется подпространством R, если R' I R (то есть каждый вектор пространства R' есть и вектор пространства R) и если для каждого вектора v I r' и для каждых двух векторов v1 и v2 (v1, v2 I R') вектор lv (при любом l) и вектор v1 + v2 один и тот же независимо от того, рассматриваются ли векторы v, v1, v2 как элементы пространства R' или R. Линейной оболочкой векторов x1, x2,… xp называется множество всевозможных линейных комбинаций этих векторов, то есть векторов вида a1x1 + a2x2 + … + apxp. В трёхмерном пространстве линейной оболочкой одного ненулевого вектора x1 будет, очевидно, совокупность всех векторов, лежащих на прямой, определяемой вектором x1 [7, C.71].

Линейной оболочкой двух не лежащих на одной прямой векторов x1 и x2 будет совокупность всех векторов, расположенных в плоскости, которую определяют векторы x1 и x2. В общем случае произвольного В. п. R линейная оболочка векторов x1, x2,…, xp этого пространства представляет собой подпространство пространства R размерности р. В n-мерном В. п. существуют подпространства всех размерностей, меньших р. Всякое конечномерное (данной размерности k) подпространство R' В. п. R есть линейная оболочка любых k линейно независимых векторов, лежащих в R'. Пространство, состоящее из всех многочленов степени? n (линейная оболочка многочленов 1, u, u2,…, un), есть (n + 1)-мepное подпространство пространства R всех многочленов.

Понятие векторное пространство (и различные обобщения) широко применяется в математике и её приложениях к естествознанию. Пусть, например, R — множество всех решений линейного однородного дифференциального уравнения yn + a1(x) y (n + 1) + … + an (x) y = 0. Ясно, что сумма двух решений и произведение решения на число являются решениями этого уравнения. Таким образом, R удовлетворяет условиям А. Доказывается, что для R выполнено обобщённое условие В. Следовательно, R является векторным пространством. Любой базис в рассмотренном В. п. называется фундаментальной системой решений, знание которой позволяет найти все решения рассматриваемого уравнения.

В каждом векторном пространстве, помимо операций сложения и умножения на число, обычно имеются те или иные дополнительные операции и структуры (например, определено скалярное произведение). Если же не уточняют природы элементов векторного пространства и не предполагают в нем никаких дополнительных свойств, то векторное пространство называют абстрактным. Абстрактное векторное пространство L задают с помощью следующих аксиом:

любой паре элементов х и у из L сопоставлен единственный элемент z, называемый их суммой z=x+y и принадлежащий L;

для любого числа и любого элемента x из L определен элемент z, который называется их произведением и принадлежащий L;

операции сложения и умножения на число являются ассоциативными и дистрибутивными [7, C.74].

Сложение допускает обратную операцию, то есть для любых х и у из L существует единственный элемент w из L такой, что x+w=y. Если все числа вещественны (комплексны), говорят о вещественном (комплексном) векторном пространстве; множество чисел называют полем скаляров L. Понятие векторного пространства можно ввести и для произвольного поля, например, поля кватернионов.

Если — элементы векторного пространства L, то выражение вида называется их линейной комбинацией; совокупность всех линейных комбинаций элементов подмножества S из L называют линейной оболочкой S. Векторы из L называют линейно независимыми, если условие (- любые элементы поля скаляров) может выполняться только при. Бесконечная система векторов называется линейно независимой, если любая ее конечная часть является линейно независимой. Множество элементов подмножества S из L называется системой образующих S, если любой вектор х из S можно представить в виде линейной комбинации этих элементов. Линейно независимая система образующих S называется базисом S, если разложение любого элемента S по этой системе единственно. Базис, элементы которого каким-либо образом параметризованы, называется системой координат в S. Базис векторного пространства всегда существует, хотя и не определяется однозначно. Если базис состоит из конечного числа n элементов, то векторное пространство называется n-мерным (конечномерным); если базис — бесконечное множество, то векторное пространство называется бесконечномерным. Выделяют также счетномерные векторные пространства, у которых имеется счетный базис.

Конкретные примеры векторного пространства можно найти в математическом аппарате практически любого раздела физики. Конечномерными вещественными векторными пространствами являются, например, трехмерное физическое пространство (без учета кривизны), конфигурационное пространство и фазовое пространство системы n классических точечных частиц. К числу бесконечномерных комплексных векторных пространств принадлежат гильбертовы пространства, конкретные и абстрактные, составляющие основу математического аппарата квантовой физики. Простейший пример гильбертова пространств уже упоминавшееся пространство. Основные физические примеры — пространства векторов состояний различных систем микрочастиц, изучаемых в квантовой механике, квантовой статистической физике и квантовой теории поля. Находят применение и такие векторные поля, у которых поле скаляров не совпадает со множеством вещественных или комплексных чисел: так, гильбертово пространство над полем кватернионов используется и одной из формулировок квантовой механики, а гильбертово пространство над полем октонионов — в одной из формулировок квантовой хромодинамики. В современных теориях суперсимметрии интенсивно применяются так называемые градуированные векторные поля, то есть линейные пространства вместе с их фиксированным разложением в прямую бесконечную сумму подпространств [4, C.90].

Если любой вектор системы векторов линейного пространства линейно выражается через остальные векторы системы, то система векторов называется линейно зависимой.

Система векторов, которая не является линейно зависимой, называется линейно независимой. векторный плоскость скалярный аксиома Справедливо следующее утверждение. Система векторов линейного пространства линейно независима тогда и только тогда, когда из равенства следует равенство нулю всех коэффициентов.

Если в линейном пространстве существует линейно независимая система из векторов, а любая система из этого вектора линейно зависима, то число называется размерностью пространства и обозначается. В этом случае пространство называют — мерным линейным пространством илимерным векторным пространством.

Любая упорядоченная линейно независимая система векторов линейного пространства образует базис пространства и любой вектор единственным образом выражается через векторы базиса.

Числа называют координатами вектора в базисе и обозначают. При этом для любых двух произвольных векторов — мерного линейного пространства, и произвольного числа справедливо.

Это означает, что все линейные пространства «устроены» одинаково — как пространство векторов-столбцов из действительных чисел, т. е. что все они изоморфны пространству.

Линейные пространства и называются изоморфными, если между их элементами можно установить такое взаимно однозначное соответствие, что если векторам и из соответствуют векторы и из, то вектору соответствует вектор и при любом вектору соответствует вектор.

Изоморфизм означает, что соотношения между элементами линейного пространства и операции с ними можно изучать как соотношения между векторами из и операции с ними и что всякое утверждение относительно векторов из справедливо для соответствующих элементов любогомерного линейного пространства [4, C.94].

Множество векторов с действительными компонентами является частным случаем более общего понятия, называемого линейным векторным пространством V, если для его элементов определены операции векторного сложения «+» и умножения на скаляр «.», удовлетворяющие перечисленным ниже соотношениям (здесь x, y, z — вектора из V, а a, b — скаляры из R):

x + y = y + x, результат принадлежит V.

a. (x + y) = a. x + a. y, результат принадлежит V.

• (a + b). x = a. x + b. x, результат принадлежит V
• (x + y) + z = x + (y + z), результат принадлежит V
• (a. b). x = a. (b. x), результат принадлежит V

$ o из V: «x из V => o + x = x (существует нулевой элемент).

для скаляров 0 и 1, «x из V имеем 0. x = o, 1. x = x.

Свойство 1) называют свойством коомутативности, соотношения 2) и 3) — свойством дистрибутивности, а 4) — свойством ассоциативности введенных операций. Примером линейного векторного пространства является пространство Rn с покомпонентными операциями сложения и умножения.

Для двух элементов векторного пространства может быть определено их скалярное (внутреннее) произведение: (x, y) = x1y1 + x2y2 + … + xnyn. Скалярное произведение обладает свойствами симметричности, аддитивности и линейности по каждому сомножителю:

• (x, y) = (y, x)
• (a.x, y) = a.(x, y)
• (x + y, z) = (x, z) + (y, z)
• (x, x) >= 0, причем (x, x) = 0 x = o

Равенство нулю скалярного произведения двух векторов означает их взаимную ортогональность, сообразно обычным геометрическим представлениям.

Два различных образа (или вектора) могут быть в той или иной мере похожи друг на друга. Для математического описания степени сходства векторное пространство может быть снабжено скалярной метрикой — расстоянием d (x, y) между всякими двумя векторами x и y. Пространства, с заданной метрикой называют метрическими.