Числовые множества. 
Теория множеств

Числа называются натуральными (). Они появились в результате счета. Расширение понятия о числе происходило под влиянием потребностей практики и развития самой математики.

Совокупность чисел образует множество целых чисел ().

Рациональным числом называется число вида где и — целые числа, причем. Множество рациональных чисел () состоит из всех целых чисел и дробей.

Введение

рациональных чисел не решило полностью важной практической задачи об измерении отрезков. Существуют отрезки, длина которых не является рациональным числом, например, диагональ квадрата, длина стороны которого равна .

Возникла необходимость введения, кроме рациональных чисел, и других чисел — иррациональных.

Всякое рациональное число можно представить в виде конечной либо бесконечной, по периодической десятичной дроби и обратно — всякая конечная дробь или дробь периодическая служит изображением рационального числа.

Всякое иррациональное число изображается бесконечной непериодической дробью и обратно — всякая бесконечная непериодическая дробь служит изображением некоторого иррационального числа.

Рациональные и иррациональные числа, вместе взятые, называются действительными (или вещественными) числами ().

Свойства действительных чисел Можно выделить следующие важные свойства действительных чисел:

• 1. Свойства операций на множестве действительных чисел
• — свойства сложения чисел:

(коммутативность),.

(ассоциативность),.

(существование нуля),.

(существование противоположного элемента),.

Говорят, что множество действительных чисел вместе с определенной на нем операцией сложения чисел, образует коммутативную (абелевую) группу.

— свойства умножения чисел:

(коммутативность),.

(ассоциативность),.

(существование единицы),.

найдется: (любое число, кроме 0, имеет обратное).

— дистрибутивность умножения относительно сложения

.

Говорят, что множество действительных чисел вместе с определенными на нем операциями сложения и умножения чисел, образуют поле — поле действительных чисел.

Заметим, что не только действительные числа вместе с операциями сложения и умножения образуют такую алгебраическую структуру как поле. Известны и другие примеры полей — множеств с определенными на них операциями сложения и умножения, которые обладают теми же свойствами, что и операции на множестве действительных чисел. С ними вы познакомитесь при изучении общей алгебры.

2. Упорядоченность.

Если, то всегда, либо, либо (из двух различных чисел всегда одно меньше другого),.

Если и, то (транзитивность),.

Если, то для любого верно ,.

Если, то для любого верно.

3. Непрерывность.

Каковы бы ни были непустые множества такие, что для любых двух элементов выполняется неравенство, существует такое число, что для всех имеет место соотношение .

Таким образом, множество действительных чисел — это непрерывное линейно упорядоченное поле.

Вещественная прямая. Модуль действительного числа Для наглядности действительные числа принято изображать точками числовой оси — так называемой вещественной прямой (Рис. 8.1), на которой выбраны положительное направление, масштаб начало отсчета .

Из геометрии известно, что всякий отрезок имеет длину, выраженную рациональным или иррациональным числом. Поэтому каждой точке на числовой оси соответствует вполне определенное действительное число, положительное, если лежит справа от, отрицательное, если лежит слева от, и нуль, если совпадает с. Модуль числа равен длине отрезка; .

Наоборот, всякому действительному числу соответствует на числовой оси определенная точка, которая лежит справа от, если, слева от, если, и совпадает с точкой при. Длина отрезка равна модулю числа; .

Таким образом, между действительными числами и точками числовой оси установлено взаимно-однозначное соответствие. Поэтому вместо слова «число» часто употребляют слово «точка» .

Определение 8.1.

Модулем (или абсолютной величиной) действительного числа называется число, определяемое условиями:

Основные свойства модуля:

• — ,
• — ,
• — ,
• — ,

— ,.

— если, тогда или .

Пример 8.1.

Решить неравенство .

.

Множества, элементами которых являются действительные числа, называются числовыми множествами. Геометрически числовое множество представляет собой некоторое множество точек числовой оси.

В математике часто используются следующие числовые множества специального вида.

Пусть и — действительные числа, причем .

Определение 8.2.

• — множество действительных чисел, удовлетворяющих условию, называется числовым отрезком (или просто отрезком) и обозначается ,
• — множество действительных чисел, удовлетворяющих условию, называется интервалом и обозначается ,
• — множество действительных чисел, удовлетворяющих условиям или, называются полуинтервалами и обозначаются соответственно и .

Отрезки, интервалы и полуинтервалы называют числовыми промежутками. На числовой оси промежутку соответствует некоторый геометрический отрезок с включением в него концевых точек или без включения их в зависимости от типа промежутка.

Рассматриваются также бесконечные промежутки. Например: — множество чисел, удовлетворяющих неравенству; - множество чисел, удовлетворяющих неравенству и т. п.; - множество действительных чисел.

Окрестность точки, внутренние и граничные точки числовых множеств Определение 8.3.

Окрестностью числа (или точки на геометрическом языке) называется любой конечный интервал, содержащий, т. е. любой интервал, для которого. Если исключить из окрестности точки саму точку, получим проколотую окрестность этой точки.

У каждого числа, очевидно, имеется бесконечное множество окрестностей. Например, окрестностями числа будут интервалы, и т. д.

Окрестностью (бесконечности) называется любое числовое множество вида. Окрестностью (плюс бесконечности) называется любое числовое множество вида. Окрестностью (минус бесконечности) называется любое числовое множество вида .

Произвольную окрестность точки (,) будем обозначать (,).

Произвольную проколотую окрестность точки, то есть любую ее окрестность, исключая саму точку, обозначим .

Пусть — какое-нибудь числовое множество.

Определение 8.4.

Точка называется внутренней точкой множества, если она принадлежит этому множеству вместе с некоторой своей окрестностью.

Определение 8.5.

Точка называется граничной точкой множества, если любая ее окрестность содержит как точки, принадлежащие множеству, так и точки, ему не принадлежащие; сама граничная точка может принадлежать, а может и не принадлежать ему.

Определение 8.6.

Множество, каждая точка которого является для него внутренней, называется открытым.

Множество, содержащее все свои граничные точки, называется замкнутым.

Пример 8.2.

Пусть, тогда внутренними для являются все точки интервала, а граничными две точки: и .

— открытое множество, — замкнутое множество.

Верхняя и нижняя грани числового множества.

Определение 8.7.

Числовое множество называется ограниченным снизу, если существует такое число, что ,.

Множество называется ограниченным сверху, если существует такое число, что ,.

Множество называется ограниченным, если оно ограничено как снизу, так и сверху, т. е. если (и — некоторые числа).

Если множество не является ограниченным, то его называют неограниченным. множество функция мощность числовой Определение 8.8.

Число называется верхней гранью множества (обозначается), если выполняются два условия:

• 1) ;
• 2) для любого числа всегда найдется такое, что .

Условие I) означает, что множество ограничено сверху числом. Условие 2) означает, что является наименьшим из чисел, обладающим этим свойством: при сколь угодно малом сдвиге от к, («число эпсилон больше нуля») найдется число, превосходящее. Легко понять, что число является самой правой граничной точкой множества .

Определение 8.9.

Число называется нижней гранью множества (обозначается), если выполняются два условия:

• 1) ;
• 2) для любого («эпсилон больше нуля») всегда найдется такое, что .

Условие I) означает, что множество ограничено снизу числом. Условие 2) означает, что является наибольшим из чисел, обладающим этим свойством: при сколь угодно малом сдвиге от к найдется число, меньшее. Легко понять, что число является самой левой граничной точкой множества .

Если множество не ограничено сверху, то полагают, что его верхняя грань равна (). Если множество не ограничено снизу, то полагают, что его нижняя грань равна ().

и — это сокращения латинских слов supremum («наивысшее») и infimum («наинизшее»).

Пример 8.3.

Пусть, тогда, .

Пусть, тогда, .

Приведем без доказательства важные теоремы о существовании конечных граней.

Теорема 8.1.

Для всякого непустого ограниченного сверху множества действительных чисел существует конечная верхняя грань .

Для всякого непустого ограниченного снизу множества действительных чисел существует конечная нижняя грань .

Замечание 8.1.

Для множества рациональных чисел теорема о существовании конечных граней, вообще говоря, не верна, например, рассмотрим множество. Очевидно, что ограничено сверху и не пусто, но при этом. Это связано с тем, что множество рациональных чисел, в отличие от множества действительных чисел, не является непрерывным.

Задачи для самостоятельного решения к главе 1.

1. Множество задано рекурсивно. Выписать все его элементы.

• а) ,
• б) А={8: если, то остаток от деления на 3 также лежит в A}.
• 2. Даны множества. Найти, ,, ,,. В качестве универсального множества взять — множество действительных чисел (кроме пункта е). Решение сопровождать необходимыми рисунками.

3. Пусть и — множества точек плоскости, координаты которых удовлетворяют заданным условиям. Изобразите в системе координат множество, полученное из множеств и .

4. Доказать равенство множеств.

• 5. Доказать методом математической индукции следующие выражения.
• а) ,

• б) ,
• в) .
• 6. Дано числовое множество. Найти, .

а) ,.	г) ,.
б) ,.	д) ,.
в) ,.	е) .

7. Решить неравенства.

• 8. Найти декартово произведение множеств и, если, .
• 9. Найти декартово произведение множеств, и, если, , .
• 10. Составить формулу бинома ньютона для, используя треугольник Паскаля.
• 11. Найти мощность множества .
• а) — множество четных целых чисел,
• б) — множество целых чисел кратных трем,
• в) ,
• г) .
• 12. Из 1000 компьютеров, прошедших диагностику в сервисном центре, 700 имеют неисправный блок питания, а 400 неисправный жесткий диск, при этом у 250 компьютеров неисправны одновременно и блок питания, и жесткий диск.

Определить:

• а) сколько компьютеров имеют исправные блок питания и жесткий диск,
• б) сколько компьютеров имеют исправный блок питания и неисправный жесткий диск.
• 13. Найти, сколько натуральных чисел, не превосходящих 900, делятся одновременно:
  • а) на 5 и на 7,
  • б) на 6 и на 15.
• 14. Придумать на множестве целых чисел по два любых отношения эквивалентности и порядка.
• 15. Построить график характеристической функции числового множества. В качестве универсального множества взять множество действительных чисел.