Приближенное вычисление квадратных корней

Тема приближенного вычисления корней актуальна всегда, так как задания с квадратными корнями есть в каждом курсе предметов естественнонаучного цикла. В ходе решения многих математических задач, а так же задач по геометрии, по физике, по химии и т. д. приходится сталкиваться с квадратными корнями. Для извлечения квадратного корня существуют таблицы квадратов для двухзначных чисел, но ее бывает недостаточно. Извлечение корня разложением на множители тоже непростая задача, которая не всегда приводит к желаемому результату, и я решила изучить различные способы извлечения квадратных корней с целью их практического применения.

Поэтому цель работы направлена на сопоставление различных способов приближенного извлечения квадратных корней, при этом ставятся задачи: изучение материала, выявление наиболее эффективного способа в зависимости от поставленной задачи.

Решим графически уравнение. Для этого в одной системе координат построим параболу и прямую. Абсциссы точек A и B являются корнями уравнения. Решим уравнение. Ясно, что это уравнение имеет два корня и, причем эти числа, как и в двух предыдущих случаях, равны по абсолютной величине и противоположны по знаку (). По чертежу мы не можем указать точные значения корней. Интересующее нас число x1 расположено между числами 1 и 2, но между числами 1 и 2 находится бесконечное множество рациональных чисел, например и т. д. В работе доказано, что располагая только рациональными числами, уравнение мы решить не сможем.

Математики ввели в рассмотрение новый символ, который назвали квадратным корнем, и с помощью этого символа корни уравнения записали так: и. Читается: «арифметический квадратный корень из двух». Теперь для любого уравнения вида, где, можно найти корни — ими являются числа и .

Квадратным корнем из неотрицательного числа называют такое неотрицательное число, квадрат которого равен. Это число обозначают. Если, то уравнение не имеет корней.

Операцию нахождения квадратного корня из неотрицательного числа называют извлечением квадратного корня.

В ходе исследования методов вычисления квадратного корня были найдены несколько методов, такие как: арифметический способ; метод грубой оценки; столбиком; Вавилонский способ; метод Герона и метод Ньютона; геометрический метод. В данной работе рассмотрены лишь некоторые из них.

Арифметический способ

квадратный корень извлечение приближенное

Для квадратов натуральных чисел верны следующие равенства:

1 = 1²

1 + 3 = 2²

1 + 3 + 5 = 3²

1 + 3 + 5 + 7 = 4² и так далее.

То есть, чтобы узнать целую часть квадратного корня числа, можно, вычитая из него все нечётные числа по порядку, пока остаток не станет меньше следующего вычитаемого числа или равен нулю, посчитать количество выполненных действий.

Например, найдем квадратный корень числа 16 так:

16 — 1 = 15

15 — 3 = 12

12 — 5 = 7

7 — 7 =0

Выполнено 4 действия, значит, квадратный корень числа 16 равен 4. Аналогично найдем квадратный корень числа 12:

12 — 1 = 11

11 — 3 = 8

8 — 5 = 3

3 < 7

Выполнено 3 действия, квадратный корень числа 12 равен 3 целым.

Недостатком такого способа является то, что если извлекаемый корень не является целым числом, то можно узнать только его целую часть, но не точнее. В то же время такой способ вполне пригоден для грубой оценки, для учащихся, решающих простейшие математические задачи, требующие извлечения квадратного корня.

Вавилонский способ или первый метод Герона

Если — положительное число и — приближённое значение для по избытку, то — приближенное значение для по недостатку.

Доказательство теоремы рассмотрено в работе. Поскольку и являются приближенными значениями для по избытку и по недостатку, и является средним геометрическим чисел и, то в качестве лучшего приближения для естественно выбрать среднее арифметическое этих чисел, т. е. число. А чтобы получить ещё более точное значение для, надо взять среднее арифметическое чисел и, т. е. число. Так вычисляются одно за другим все более точные приближенные значения для. Приближения ведут до тех пор, пока два полученных значения и не совпадут в пределах заданной точности. Тогда мы имеем формулу:

. (1)

Эту формулу можно вывести и из несколько иных рассуждений.

Пусть, например, нужно извлечь квадратный корень из числа 32. Выберем сначала какое-то приближенное значение этого корня, например,. Погрешность этого приближенного значения обозначим через, тогда. Чтобы найти значение, возведем обе части этого равенства в квадрат, получим:

. (2)

Таким образом, для получилось квадратное уравнение. Если его решить, то. Мы, получается, ходим по кругу: чтобы найти, нужно сосчитать, а чтобы найти, надо вычислить. На помощь приходит следующее соображение. Погрешность приближенного значения невелика, она меньше единицы, значит число еще меньше, поэтому в равенстве (2) его можно отбросить. При этом для получается приближенное уравнение, значит. Итак, приближенное значение поправки найдено.

Так как, то второе приближение для. Чтобы найти более точное приближение для повторим описанный процесс.

.

Возведем обе части в квадрат и отбросим малое слагаемое :

.

Тогда третье приближение для выражается формулой:

. Так как, то.

Точно так же, исходя из приближенного значения, можно найти следующее приближение. Тогда, если найдено приближенное значение, то следующее выражается формулой:

.

При этом каждый следующий шаг приводит ко все более точным приближениям для. Полученная формула является частным случаем формулы (1), в которой некоторое действительное число .

По формуле (1) можно найти приближенное значение для, оно приблизительно равно 1,414 213 562.

Правило нахождения приближенного значения квадратного корня из любого натурального числа было известно ещё математикам древнего Вавилона более 4000 лет назад. Они составляли таблицы квадратов чисел и квадратных корней из чисел. При этом они умели находить приблизительное значение квадратного корня из любого целого числа.

Формула, с помощью которой вычислялись последовательные приближения по Вавилонскому способу, может быть записана следующим образом:

.

В данном случае в качестве функции берется, где — это число, корень которого нужно найти. В работе выясняется точность Вавилонского способа.

Этот метод был известен ещё в Древней Греции и приписывается Герону Александрийскому. Потом этот способ был заброшен, но сейчас его применяют для извлечения квадратных корней на калькуляторах и вычислительных машинах.

Работа над данным исследованием показала, что изучение квадратных корней — объективная необходимость: в реальной жизни случаются ситуации, математические модели которых содержат операцию извлечения квадратного корня. Но не всегда под рукой мы имеем калькулятор. Помимо того, бывают ситуации, когда использование калькулятора недопустимо, например, ЕГЭ.

Хотелось бы выбрать оптимально рациональный способ извлечения квадратных корней. Конечно же, арифметический способ и особенно способ грубой оценки, просты в использовании, но не точны, хотя вполне пригодны для первого приближения. К тому же при применении этих способов извлечения квадратных корней любая ошибка, допущенная в каком-то месте, полностью обесценивает дальнейшие вычисления. Иначе состоит дело при применении Вавилонского способа или способа последовательных приближений. Хоть он и трудоемкий, однако можно верно вычислить значение корня с заданной точностью.