Помощь в написании студенческих работ
Антистрессовый сервис

Устойчивость периодических решений нелинейных дифференциальных уравнений с запаздыванием

Диссертация: Устойчивость периодических решений нелинейных дифференциальных уравнений с запаздыванием
ДиссертацияПомощь в написанииУзнать стоимостьмоей работы

В четвертой главе исследуется поведение динамических процессов в одной математической модели «хищник — жертва». Показано, что динамическая система может иметь периодическое решение, период которого совпадает с запаздыванием. Существование такого решения связано с наличием симметрий у математической модели, которая описывается системой дифференциальных уравнений с запаздыванием второго порядка… Читать ещё >

Устойчивость периодических решений нелинейных дифференциальных уравнений с запаздыванием (реферат, курсовая, диплом, контрольная)

Содержание

  • 1. РОЖДЕНИЕ ПЕРИОДИЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ ИЗ ПОЛОЖЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ
    • 1. 1. Постановка задачи
    • 1. 2. Функция Грина периодической задачи
    • 1. 3. Специальное интегральное уравнение
    • 1. 4. Система уравнений разветвления
    • 1. 5. Асимптотические представления периодических решений уравнения (1.1) и их периодов
    • 1. 6. Устойчивость периодических решений
    • 1. 7. Примеры
  • 2. БИФУРКАЦИОННЫЙ МЕТОД ИССЛЕДОВАНИЯ УСТОЙЧИВОСТИ ПЕРИОДИЧЕСКОГО РЕШЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ
    • 2. 1. Существование антисимметрических периодических решений
    • 2. 2. Оператор монодромии
    • 2. 3. Асимптотика периодических решений системы обыкновенных дифференциальных уравнений (2.2) при малых значениях параметра (л
    • 2. 4. Устойчивость квазигармонических дифференциальных уравнений с запаздыванием
    • 2. 5. Устойчивость дифференциального уравнения (2.18)
    • 2. 6. Устойчивость периодических решений нелинейного дифференциального уравнения с запаздыванием
    • 2. 7. Примеры
  • 3. УСТОЙЧИВОСТЬ АНТИСИММЕТРИЧЕСКИХ ПЕРИОДИЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ
    • 3. 1. Существование периодических решений
    • 3. 2. Бифуркационная постановка в задаче устойчивости периодического решения
    • 3. 3. Исследование бифуркаций корней характеристического уравнения
    • 3. 4. Устойчивость периодических решений
    • 3. 5. Пример
  • 4. ИССЛЕДОВАНИЕ ОДНОЙ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ХИЩНИК-ЖЕРТВА"С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ
    • 4. 1. Существование симметрических периодического решения
    • 4. 2. Устойчивость однопараметрической системы уравнений с запаздыванием
    • 4. 3. Расположение корней характеристического уравнения для порождающей краевой задачи
    • 4. 4. Поведение корней характеристического уравнения при конечных значениях параметра
    • 4. 5. Численные исследования математической модели

История вопроса. Теория нелинейных периодических колебаний дифференциальных уравнений с запаздыванием активно используется при качественном исследовании конкретных математических моделей, учитывающих наследственные свойства динамических процессов. В ходе своего развития она использовала идеи и методы теории нелинейных колебаний для обыкновенных дифференциальных уравнений. Основы метода Ляпунова — Пуанкаре для систем с последействием заложены в работах Н. Н. Красовского [45], A. Halanay [113,114], С. Н. Шиманова [88,91,92], Ю. А. Рябова [69,70], А. Ф. Клейменова [33,34], Л. Э. Эльсгольца [98], К. М. Цойя [86,87], Л. З. Фишмана [80]. Асимптотический метод для систем с запаздыванием разрабатывался в работах Ю. А. Митропольского [53,54], В. П. Рубаника [68], В.И. Фодчу-ка [53,81], A. Halanay [115], Д. И. Мартынюка [51,54], A.M. Самойленко [51], B.C. Сергеева [72] и других авторов. Метод Андронова — Хопфа использовался при нахождении периодических решений в работах J.K. Hale [116], S. Chow, J. Mallet-Paret [102], Ю. С. Колесова, Д. И. Швитра [35], N.D. Kazarinoff, Y.H. Wan, P. van den Driess-che [123], N. Chafee [101], J.R. Claeyssen [103], D. Schley [130]. Топологические методы применялись в работах М. А. Красносельского [42−44], В. В. Стрыгина [44], Б. Н. Садовского [71], Ю. Г. Борисовича [6,7], В. Ф. Субботина [6,77], P.P. Ахмерова [3]. Периодические релаксационные колебания в системах с запаздыванием изучались в работах Ю. С. Колесова [36], С. А. Кащенко [30], В. И. Фодчука, А. Холматова [82]. Периодические колебания в системах с малым запаздыванием исследовались в работах В. И. Рожкова [66,67], A.M. Родионова [65]. Разрабатывались специальные методы нахождения периодических решений, учитывающие индивидуальные особенности рассматриваемого дифференциального уравнения с запаздыванием (Е.М. Wright [136], G. Jones [119,120], R. Nussbaum [126,127], R.B. Grafton [108,109], J.L.Kaplan, J.A. Yorke [121,122], H. Walther [133,134]). Предложенные методы исследования периодических колебаний активно используются при качественном исследовании поведения конкретных математических моделей (G.E. Hutchinson [118], D. Stirzaker [131], R. May [124], В. Г. Бабский, А. Д. Мышкис [4], С. А. Кащенко [31], К. Gopalsamy [107], Г. И. Марчук [52], В. Вольтерра [12], Ю. С. Колесов [37], В. В. Майоров, И.Ю. Мыш-кин [48], А. Д. Дроздов, В. Б. Колмановский [25], W. Wang, S. Ruan [135]). Устойчивость решений периодических систем дифференциальных уравнений изучалась в работах В. Б. Колмановского, В. Р. Носова [39], Н. Н. Красовского |46], Дж. Хей-ла [83], A.M. Зверкина [27], С. Н. Шиманова [95], A. Halanay [112], W. Hahn [110], В.А. Stakes [132], Н. В. Азбелева [1], П. М. Симонова [2,73], А. Ф. Клейменова [34], Ю. Н. Смолина [74,75], Е. Л. Тонкова [78], Ю. Ф. Долгого [21], В. Г. Курбатова [47], Д. Я. Хусаинова [84], В. В. Малыгиной [50], В. А. Тышкевича [79], Л.М. Березанско-го [5], А. В. Захарова [15,26], С. Г. Николаева [20], Г. Л. Гасилова [14], А. В. Кима [40,41], А. Л. Скубачевского, Х. О. Вальтера [10,11], J.L. Kaplan, J.A. Yorke [121], P. Dor-mayer [104,105], P. Dormayer, A.F. Ivanov, B. Lani-Vayda [106] и других авторов.

Объект исследования и основные результаты. Изучаются вопросы существования и устойчивости периодических решений дифференциального уравнения с запаздыванием.

В первой главе исследуется бифуркация рождения периодического решения из положения равновесия для скалярного уравнения с запаздыванием. Аналогичные задачи изучались в [35,101−103,116,123]. В данной работе при построении уравнений разветвления используется специальное интегральное уравнение |16 18]. Новизна реализации этого подхода связана с новой процедурой нахождения функции Грина. Для решения последней проблемы используются краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений. Учет специфики рассматриваемого дифференциального уравнения с запаздыванием позволяет предложить простой и конструктивный алгоритм построения функции Грина. Условия существования периодического решения получены, при наличии конечной гладкости правой части дифференциального уравнения. Построена асимптотика периодического решения и его периода. Определение условий устойчивости потребовало большого объема вычислений. В результате найден аналитический признак устойчивости, который обобщает аналогичные признаки, полученные для дифференциальных уравнений с запаздыванием в работах [85,108,117].

Во второй главе рассматривается существенно нелинейное дифференциальное уравнение dx{t)/dt — —f (x (t — т)), с нечетной функцией /. Наличие симметрии в уравнении позволяет ставить задачу о нахождении антисимметрического 4т-периоди-ческого решения. Указанная задача изучалась в [20,104,109,122,127]. В настоящей работе вопрос существования периодического решения решается на основе изучения, зависящего от начальных значений, периода решений канонической системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Для исследуемой задачи большую проблему составляет определение условий устойчивости периодических решений [2,9,20,104,105,121]. В работе Ю. Ф. Долгого и С. Г. Николаева [20] предложен бифуркационный метод решения проблемы устойчивости периодического решения дифференциального уравнения с запаздыванием. Он позволил получить достаточные условия устойчивости периодических решений с конечными амплитудами. При этом требовалась монотонная зависимость периода от начальных значений. Во второй главе диссертации удалось снять это жесткое ограничение на период и решить задачу в общей ситуации. Численные эксперименты подтвердили теоретические результаты, согласно которым уравнение может иметь несколько периодических решений, а их устойчивость определяется знаком производной периода для начального значения порождающего периодического решения.

В третьей главе рассматривается существенно нелинейное дифференциальное уравнение dx (t)/dt = f (x (t), x (t — г)). Периодические решения для такого дифференциального уравнения изучались в [106,108,109,119 122,126,127,133,134,136|. Особенность рассматриваемой постановки в наличии симметрий функции /, что допускает возможность существования антисимметрического 4тпериодического решения [106]. Трудности представляет задача нахождения условий устойчивости этого решений. Здесь используется бифуркационный метод изложенный во второй главе. Применение его к более сложному объекту потребовало преодоления дополнительных технических трудностей. В результате поставленная задача была решена для нового более общего объекта.

В четвертой главе исследуется поведение динамических процессов в одной математической модели «хищник — жертва» [13, 25, 55, 76, 111,129, 137 139]. Показано, что динамическая система может иметь периодическое решение, период которого совпадает с запаздыванием. Существование такого решения связано с наличием симметрий у математической модели, которая описывается системой дифференциальных уравнений с запаздыванием второго порядка. Установлена возможность использования бифуркационного метода исследования устойчивости периодических решений для системы уравнений второго порядка. Его применение позволило доказать неустойчивость обнаруженного периодического решения. Глобальное поведение математической модели было изучено в ходе компьютерного моделирования динамических процессов.

Краткое содержание работы.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

.

В работе получены следующие результаты:

— Предложена новая модификация метода вспомогательных систем Шиманова при построении уравнений разветвления в бифуркации Андронова-Хопфа для дифференциального уравнения с запаздыванием.

— Получены достаточные условия рождения периодического решения из положения равновесия.

— Найден коэффициентный признак устойчивости периодического решения с малой амплитудой.

— Для нелинейного дифференциального уравнения с запаздыванием получены условия устойчивости и неустойчивости антисимметрических и симметрических периодических решений с конечными амплитудами.

— Для дифференциальных уравнений с симметриями теоретически обосновано применение бифуркационного метода исследования устойчивости периодических решений.

— Предложены алгоритмы численного моделирования устойчивых периодических решений.

Показать весь текст

Список литературы

  1. Н.В. Устойчивость линейных систем с последействием // Вопросы качественной теории дифференциальных уравнений. Новосибирск. 1988. С. 65−72.
  2. Н.В., Симонов П. М. Устойчивость решений уравнений с обыкновенными производными. Пермь: Изд-во Пермского университета. 2001. 230 с.
  3. P.P., Каменский М. И., Потапов А. С. Меры некомпактности и уплотняющие операторы. Новосибирск: Наука. 1986. 266 с.
  4. В.Г., Мышкис А. Д. Математические модели в биологии связанные с учетом последействия// В кн. Марри Дж. Нелинейные дифференциальные уравнения в биологии. М.:Наука. 1983. С. 383−394.
  5. JI.M. Развитие W-метода Н.В. Азбелева в задачах устойчивости решений линейных функционально-дифференциальных уравнений// Дифференциальные уравнения. 1986. Т. 22, № 5. С. 739−750.
  6. Ю.Г., Субботин В. Ф. Оператор сдвига по траекториям эволюционных уравнений с запаздывающим аргументом//Докл. АН СССР. 1967. Т. 175. С. 9−12.
  7. Ю.Г. О методе Пуанкаре Андронова в задаче о периодических решениях дифференциальных уравнений с запаздыванием//Докл. АН СССР. 1963. Т. 152. С. 779−782.
  8. М.М., Треногин В. А. Теория ветвления решений нелинейных уравнений. М.: Наука. 1969. 528 с.
  9. Х.О., Скубачевский А. Я. О мультипликаторах Флоке для медленно осциллирующих периодических решений нелинейных функционально-дифференциальных уравнений//Труды московского математического общества. 2003. Т. 64. С. 3−33.
  10. Х.О., Скубачевский A.JI. О гиперболичности быстро осциллирующих периодических решений функционально-дифференциальных уравнений// Функциональный анализ и его приложения. 2005. Т. 39, Вып. 1. С. 82−85.
  11. Х.О., Скубачевский A.JJ. О спектре оператора монодромии для медленно осциллирующих периодических решений функционально-дифференциальных уравнений// Докл. РАН. 2002. Т. 384, № 4. С. 442−445.
  12. В. Математическая теория борьбы за существования. М.:Наука. 1976. 288 с.
  13. Р. Динамика системы с нелинейным ростом размножения «жертв»// Дифференциальные уравнения. 1988. Т. 24, № 7. С. 1263−1265.
  14. Г. Л. О характеристическом уравнении системы линейных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами и запаздыванием// Известия вузов. Математика. 1972. № 4. С. 60−66.
  15. Ю.Ф., Захаров А. В. Периодические колебания в консервативных системах с малым запаздыванием // Дифференциальные уравнения. 2005. Т. 41, № 10. С. 1299−1309.
  16. Ю.Ф., Колупаева О. С. Бифуркация Хопфа для дифференциальных уравнений с малым запаздыванием//Вестник ПГТУ. Функционально-дифференциальные уравнения. 1997. JV® 4. С. 84−90.
  17. Ю.Ф. Метод вспомогательных систем Шиманова в задачах построения уравнений разветвления//Известия Уральского государственного университета. 2003. № 26. (Математика и механика. Вып. 5.) С. 55−65.
  18. Ю.Ф. Метод вспомогательных систем Шиманова в задачах периодических колебаний автономных систем//Тезисы докладов VII международного семинара «Устойчивость и колебания нелинейных систем уравнений». Москва. 2002. С. 24−26.
  19. Ю. Ф. Автоматическое регулирование. Свердловск. Изд-во УрГУ. 1987. 100 с.
  20. Ю.Ф., Николаев С. Г. Устойчивость периодического решения нелинейного дифференциального уравнения с запаздыванием// Дифференциальные уравнения. 2001. Т. 37, № 5. С. 592−600.
  21. Ю. Ф. Устойчивость периодических дифференциально-разностных уравнений. Екатеринбург: УрГУ. 1996. 84 с.
  22. Ю.Ф., Нидченко С. Н. Устойчивость антисимметрических периодических решений дифференциальных уравнений с запаздыванием// Известия Уральского государственного университета. 2005. JV8 38. (Математика и механика. Вып. 8.) С. 50−68.
  23. Ю.Ф., Нидченко С. Н. Бифуркационный метод исследования устойчивости решения дифференциального уравнения с запаздыванием// Сибирский математический журнал. 2005. Т. 46, № 6. С. 1288−1301.
  24. Ю.Ф., Нидченко С. Н. Устойчивость антисимметрических периодических решений дифференциальных уравнения с запаздыванием // Алгоритмический анализ неустойчивых задач. Екатеринбург: УрГУ. 2004. С. 159−160.
  25. А.Д., Колмановский В. Б., Тримсанте Д. Об устойчивости системы «хищник-жертва»// Автоматика и телемеханика. 1992. № 11. С. 57−64.
  26. А.В. Устойчивость периодических решений дифференциального уравнения второго порядка с запаздыванием // Дифференциальные уравнения и процессы управления. Электронный журнал. 2005. № 1. 20 с.
  27. A.M. К теории дифференциально-разностных уравнений с запаздываниями соизмеримыми с периодом коэффициентов// Дифференциальные уравнения. 1988. Т. 24, № 9. С. 1481−1492.
  28. В.И. Колебания в нелинейных и управляемых системах. Л.: Судпромгиз. 1962. 631 с.
  29. Л.В., Акилов Г. П. Функциональный анализ. М.:Наука. 1977. 744 с.
  30. С.А. О сложных периодических решениях системы дифференциально-разностных уравнений с малой диффузией//Докл. АН СССР. 1989. Т. 306. JV" 1. С. 35−38.
  31. С.А. Циклические риски и системы с запаздыванием. В кн. Управление риском. Риск. Устойчивое развитие. Синергетика. М.:Наука. 2000. С. 201 425.
  32. С.А. Стационарные режимы в задаче хищник-жертва. Киев: Препр. ИМ АН УССР. 1984. № 84.
  33. А.Ф., Шиманов С. Н. К вопросу о существовании и построении периодических решений систем с запаздыванием, близких к системам Ляпунова// Дифференциальные уравнения. 1968. Т. 4, № 7. С. 1199−1211.
  34. А.Ф. Существование и устойчивость периодических решений систем Ляпунова// Дифференциальные уравнения. 1968. Т. 4, Л" 8. С. 1431−1440.
  35. Ю.С., Швитра Д. И. Автоколебания в системах с запаздыванием. Виль-нюс:Мокслас. 1979. 147 с.
  36. Ю.С. Некоторые задачи математической экологии// Дифференциальные уравнения и их применение. Вильнюс. 1981. Вып. 29. С. 27−34.
  37. Ю.С. Математические модели в экологии// Исследования по устойчивости и теории колебаний. Ярославль. 1979. С. 3−40.
  38. А.Ю., Колесов Ю. С. Релаксационные колебания в математических моделях экологии. Труды МИРАН. 1993. Т. 199.
  39. В.В., Носов В. Р. Устойчивость и периодические режимы регулируемых систем с последействием. М.:Наука. 1981. 448 с.
  40. Ким А. В. Ко второму методу Ляпунова для систем с последействием// Дифференциальные уравнения. 1985. Т. 21, № 3. С. 385−391.
  41. Ким А. В. Прямой метод Ляпунова в теории устойчивости систем с последействием. Екатеринбург: УрГУ. 1992. 144 с.
  42. М.А. Альтернативный принцип существования периодических решений для дифференциальных уравнений с запаздыванием//Докл. АН СССР. 1963. Т. 152, № 4. С. 801−804.
  43. М.А. К теории периодических решений неавтономных дифференциальных уравнений// Успехи математических наук. 1966. Т. 21, 3. С. 5374.
  44. М.А., Лифшиц Е. А., Стрыгин В. В. Об одном новом методе в задаче о периодических решениях уравнения с отклоняющимся аргумен-том//Труды семинара по теории дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. 1967. Т. 5. С. 116−121.
  45. Н.Н. О периодических решениях дифференциальных уравнений с запаздыванием времени// Докл. АН СССР. 1957. Т. 114, № 2. С. 252−255.
  46. Н. Н. Некоторые задачи теории устойчивости движения. М.: Физ-матгиз. 1959. 221 с.
  47. В. Г. Об устойчивости функционально-дифференциального уравнения на оси и полуоси // Дифференциальные уравнения. 1986. Т. 22, № 6. С. 923 927.
  48. В.В., Мышкин И. Ю. Математическое моделирование нейронов сети на основе уравнений с запаздыванием//Математическое моделирование. 1990. Т. 2, № 11. С. 64−76.
  49. И. Г. Некоторые задачи теории нелинейных колебаний. М.:ГИТТЛ. 1956. 492 с.
  50. В.В. Об устойчивости уравнений с периодическими параметрами // Функционально-дифференциальные уравнения. Пермь. 1987. С. 41−43.
  51. Д.И., Самойленко A.M. Периодические решения нелинейных систем с запаздыванием// Математическая физика. Киев. 1967. № 3. С. 128−145.
  52. Г. И. Математические модели в иммунологии. Вычислительные методы и эксперименты. М.:Наука. 1991. 304 с.
  53. Ю.А., Фодчук В. И. Асимптотические методы нелинейной механики применительно к нелинейным дифференциальным уравнениям с запаздыванием аргумента//Украинский математический журнал. 1966. Т. 18, № 3. С. 65−84.
  54. Ю.А., Мартынюк Д. И. Периодические и квазипериодические колебания систем с запаздыванием. Киев: Вища школа. 1979. 247 с.
  55. JI.B., Утюпин Ю. В. Об одной модели системы хищник- жертва с запаздыванием// Сибирский журнал индустриальной математики. 2003. Т. 4, № 4. С. 67−74.
  56. С.Н. Существование и устойчивость периодического решения квазилинейного дифференциального уравнения с запаздыванием // Устойчивость и колебания нелинейных систем управления. VII международный семинар. Тезисы докладов. М.:ИПУ. 2002. С. 13−14.
  57. С.Н. Численное моделирование периодических решений для нелинейных уравнений с запаздыванием // Современные методы теории краевых задач. Материалы ВВМШ. Воронеж: ВГУ. 2003. С. 98−99.
  58. С.Н. Существование и устойчивость антисимметрических периодических решений в нелинейных системах с запаздыванием // Устойчивость и колебания нелинейных систем управления. VIII международный семинар. Тезисы докладов. М.:ИПУ. 2004. С. 132−134.
  59. С.Н. Периодические решения в математической модели «хищник -жертва»// Современные методы теории краевых задач. Материалы ВВМШ. Воронеж: ВГУ. 2005. С. 113−114.
  60. С.Н. Бифуркация периодических движений в нелинейных системах с запаздыванием // Деп. в ВИНИТИ 29.08.01. М910-В2001. Уральский государственный университет. 2001. 34 с.
  61. С.Н. Рождение периодических решений дифференциального уравнения с запаздыванием из положения равновесия // Дифференциальные уравнения и процессы управления. Электронный журнал. 2005. № 4. 50 с.
  62. С.Н. Устойчивость периодических решений одного дифференциального уравнения с запаздыванием// Труды 31-й Региональной молодежной конференции. Проблемы теоретической механики. Екатеринбург. 2000. С. 55−56.
  63. С.Н. Рождение периодических решений дифференциального уравнения с запаздыванием из положения равновесия// Известия института математики и информатики. Ижевск. 2006. Вып. 3, № 37. С. 111−112.
  64. Л. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.:Наука. 1982. 331 с.
  65. A.M. Периодические решения нелинейных дифференциальных уравнений с запаздыванием//Труды семинара по теории дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. 1963. Т. 2. С. 200−207.
  66. В. И. Асимптотическое представление периодического решения уравнения нейтрального типа с малым запаздыванием//Прикладная математика и механика. 1963. Т. 27, Вып. 6. С. 1143−1147.
  67. В.И. Асимптотика периодического решения уравнения нейтрального типа с малым запаздыванием//Докл. АН СССР. 1968. Т. 18, № 5. С. 1041−1044.
  68. В.П. Колебания квазилинейных систем с запаздыванием. М.: Наука. 1969. 288 с.
  69. Ю.А. Применение метода малого параметра Ляпунова-Пуанкаре в теории систем с запаздыванием//Инженерный журнал. 1961. Т. 1, № 2. С. 3−15.
  70. Ю.А. Метод малого параметра в теории периодических решений дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом//Труды семинара по теории дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. 1962. Т. 1. С. 103−113.
  71. .Н. Применение топографических методов в теории периодических решений нелинейных дифференциально-операторных уравнений нейтрального типа//Докл. АН СССР. 1971. Т. 200, № 5. С. 1037−1048.
  72. B.C. О предельно периодических движениях в некоторых системах с последействием//Прикладная математика и механика. 2004. Т. 68, № 85. С. 857 869.
  73. П.М. Теоремы об устойчивости обобщенных линейных периодических уравнений// Функционально-дифференциальные уравнения. ПермыППИ. 1986. С. 23−26.
  74. Ю.Н. Некоторые вопросы теории функционально-дифференциальных моделей. Магнитогорск: МаГУ. 2003. 341 с.
  75. Ю.Н. Экспоненциальная устойчивость почти периодических решений дифференциальных уравнений // Дифференциальные уравнения. 2003. Т. 39, № 9. С. 1282−1285.
  76. A.M. Особенности динамики двух конкурирующих видов в простейшем случае//Современные проблемы математики и информации. 2005. N2 7. С. 104−109.
  77. В.Ф. Теоремы существования периодических решений дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом// Украинский математический журнал. 1966. Т. 18, № 4. С. 128−134.
  78. E.JI. Показатели Ляпунова и ляпуновская приводимость линейных систем с последействием // Вестник Удмуртского университета. Математика. Ижевск. 2001. № 3. С. 13−30.
  79. В.А. Некоторые вопросы теории устойчивости функционально-дифференциальных уравнений. Киев: Наукова думка. 1981. 80 с.
  80. А.З. Об отыскании периодических движений систем с запаздывани-ем//Прикладная математика и механика. 2001. Т. 65, Вып. 1. С. 165−168.
  81. В.И., Холматов А. О теории асимптотического метода Крылова-Боголюбова для функционально-дифференциальных уравнений//Украинский математический журнал. 1974. Т. 26. С. 634−675.
  82. В.И., Холматов А. Периодические и почти-периодические решения сингулярно возмущенных дифференциальных уравнений нейтрального ти-па//Дифференциальные уравнения. 1976. Т. 12, № 6. С. 1019−1027.
  83. Дж. Теория функционально-дифференциальных уравнений. М.: Мир. 1984. 421 с.
  84. Д.Я., Шатырко А. В. Метод функций Ляпунова в исследовании устойчивости дифференциально-функциональных систем. Киев: Издательство Киевского университета. 1997. 236 с.
  85. В., Казаринов Н., Вэн И. Теория и приложения бифуркации рождения цикла. М.: Мир. 1985. 280 с.
  86. Цой К.М., Шиманов С. Н. О периодических колебаниях квазилинейных автономных систем с запаздыванием//Известия вузов. Радиофизика. 1967. Т. 10, № 3. С. 345−352.
  87. Цой К. М. Периодические колебания квазилинейных автономных систем с за-паздыванием//Известия вузов. Радиофизика. 1964. Т. 7, № 6. С. 1170−1179.
  88. С.Н. К теории колебаний квазигармонических систем с запаздывани-ем//Прикладная математика и механика. 1959. Т. 23, Вып. 5. С. 836−844.
  89. С.Н. К теории квазигармонических колебаний//Прикладная математика и механика. 1952. Т. 16, Вып. 2. С. 129−146.
  90. С.Н. Об одном способе получения условий существования периодических решений нелинейных систем//Прикладная математика и механика. 1955. Т. 19, Вып. 2. С. 225−228
  91. С.Н. Колебания квазилинейных автономных система с запаздывани-ем//Известия вузов. Радиофизика. 1960. Т. 3, № 3. С. 456−466.
  92. С.Н. К теории колебаний квазилинейных систем с постоянным запаздыванием//Автоматика и телемеханика. 1960. Т. 21, № 6. С. 706−709.
  93. С.Н. Об устойчивости квазигармонических систем с запаздыванием// Прикладная математика и механика. 1961. Т. 25, Вып. 6. С. 992−1002.
  94. С.Н. О почти периодических решениях неоднородных линейных дифференциальных уравнений с запаздыванием // Известия вузов. Математика. 1958. № 4. С. 270−274.
  95. С. Н. К теории линейных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами и запаздыванием времени // Прикладная математика и механика. 1963. Т. 27, Вып. 3. С. 450−458.
  96. С.Н. Об отыскание характеристических показателей систем линейных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами// Прикладная математика и механика. 1958. Т. 22, Вып. 3. С. 382−385.
  97. С.Н. О неустойчивости движения систем с запаздыванием по времени// Прикладная математика и механика. 1960. Т. 24, Вып. 1. С. 55−63.
  98. Л.Э. Некоторые свойства периодических решений линейных и квазилинейных дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргумен-том//Вестник МГУ. Сер. матем., мех., астроном., физ., хим. 1959. Вып. 5. С. 229−234.
  99. Л.Э., Норкин С. Б. Введение в теорию дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. М.:Наука. 1971. 296 с.
  100. В.А., Старжинский В. М. Линейные дифференциальные уравнения с периодическими коэффициентами и их приложения. М.:Наука. 1972. 720 с.
  101. Chafee N. The bifurcation problem for a functional differential equation of finitely retarded type//Journal of Mathematical Analysis and Applications. 1971. V. 35, N. 2. P. 312−348.
  102. Chow S., Mallet-Paret J. Integral averaging and bifurcation j j Journal of Differential Equations. 1977. V. 26, N. 1. P. 112−159.
  103. Claeyssen J.R. Effect of delays on functional differential equations// Journal of Differential Equations. 1976. V. 20, N. 2. P. 404−440.
  104. Dormayer P. The stability of special symmetric solutions of x (t) = af (x (t — 1)) with small amplitudes// Nonlinear analysis, theory, methods and applications. 1990. V. 14. N. 8. P. 701−715.
  105. Dormayer P. Smooth bifurcation of symmetric periodic solutions of functional differential equations // Nonlinear Analysis, Methods and Applications. 1990. V. 14, N. 8. P. 701−715.
  106. Dormayer P., Ivanov A. F., Lani-Vayda B. Floquet multipliers of symmetric rapidly oscillating solutions of differential delay equations // Tohoku Math. J. 2002. V. 54, N. 3. P. 419−441.
  107. Gopalsamy K. Stability and oscillations in delay differential equations of population dynamics. Kluwer Academic Publishers. Dordrecht. 1992.
  108. Grafton R.B. A periodicity theorem for autonomous functional differential equations// Journal of Differential Equations. 1969. V. 6, N. 1. P. 87−109.
  109. Grafton R.B. Periodic solutions of certain Leinard equation with delay// Journal of Differential Equations. 1972. V. 11, N. 3. P. 519−527.
  110. Hahn W. On difference diferential equations with periodic coefficients // Journal of Mathematical Analysis and Applications. 1961. V. 3, N. 1. P. 70−101.
  111. Hai-Feng H., Wan-Tong L., Periodic solutions of delayed Leslie-Gower predator-prey models//Applied Mathematics and Computation. 2004. V. 155, N. 3. P. 591−605.
  112. Halanay A. Stability theory of linear periodic systems with delay // Revue de Math-matiques Pures et Appliques. 1961. V. 4, N. 4. P. 633−653.
  113. Halanay A. Periodic and almost periodic solutions of differential equations with delay//Revue de Mathmatiques Pures et Appliques. 1959. V. 4, N. 4. P. 685−691.
  114. Halanay A. Solutions periodiqres des systemes generaux a retarolement dans le cas de la resonance// C.R. Acad.Sci. 1960. V. 251, N. 18. P. 1856−1858.
  115. Halanay A. On the method of averaging for differential equations with retarded argument// Journal of Mathematical Analysis and Applications. 1966. V. 14, N. 1. P. 70−76
  116. Hale J.K. Nonlinear ascillation in equations with delay// Nonlinear ascillations in biology. Lectures in Applied Mathemacises. V. 171. Amer. Mat. Soc. Providence. R.l. 1979.
  117. Hausrath A. R. Stability in the critical case of purely imaginary roots for neutral functional differential equations// Journal of Differential Equations. 1973. V. 13, N. 2. P. 329−357.
  118. Hutchinson G.E. Circular causal systems in ecology// Ann. N.Y. Acad. Sci. 1948. V. 50. P. 221−246.
  119. Jones G. The existence of periodic solutions of f '(x) = —af (x—l)l+/(x).//Journal of Mathematical Analysis and Applications. 1962. V. 5, N. 3. P. 435−450.
  120. Jones G. On the nonlinear differential difference equation f (x) = —af (x — 1)1 4-/(x).//Journal of Mathematical Analysis and Applications. 1962. V. 4, N. 3. P. 440 469.
  121. Kaplan J. L., Yorke J. A. On the stability of a periodic solution of a delay differential equation// SIAM. J. Math. Ana. 1975. V. 6. P. 268−282.
  122. Kaplan J. L., Yorke J. A. Ordinary differential equations which yield periodic solutions of differential delay equations// Journal of Mathematical Analysis and Applications. 1974. V. 48, N. 2. P. 317−324.
  123. Kazarinoff N.D., Wan Y.H., van den Driessche P. Hopf bifurcation and stability of periodic solution of differential-difference and integro-differential equations//J. Inst, of Math, and Ins. Appl. 1978. V. 21. P. 461−477.
  124. May R. Time-delay versus stability in population models with two and three trophic levels//Ecology. 1973. V. 54. P. 315−325.
  125. Mukhopadhyay В., Bhattacharyya R. J. Dynamics of a delay diffusion prey-predator model with disease in the prey//Applied Mathematics and Computation. 2005. V. 17, N. 1−2, P. 361−377.
  126. Nussbaum R. A global bifurcation theorem with applications to functional differential equations// Journal of Functional Analysis. 1975. V. 19, N. 4. P. 319−339.
  127. Nussbaum R. Periodic solutions of some nonlinear autonomous functional differential equations// Annals matematica pura ed applicata. 1974. V. 10. Ser. 4. P. 263−306.
  128. Rui X., Chaplain M. A. J., Dowidson F. A. Periodic solutions of predator-prey model with stage structure for predator//Applied Mathematics and Computation. 2004. V. 154, N. 3, P. 847−870.
  129. Rui X., Lan-sun C., Fei-long Я-Periodic solutions of a delayed predator-prey model with stage structure for prey//Aeta math, appl, sin. Eupe Ser. 2004. V. 20, N. 2. P. 323−332.
  130. Schley D. Bifurcation and stability of periodic solutions of differential equations with state-dependent delays// European Journal of Applied Mathematics. 2003. V. 14, N. 1. P. 3−14.
  131. Stirzaker D. On a population model// Mathematical Biosciences. 1975. V.23, N. 34. P. 329−336.
  132. Stokes A.P. A Floquet theory for functional differential equations// Proc. Nat. Acad, of Sci. U.S.A. 1962. V. 48. P. 1330−1334.
  133. Walther H. Existence of a nonconstant periodic solution of a nonlinear nonau-tonomous functional differential equation representing the growth of a single species population// J. Math. Bio. 1975. V. 1. P. 227−240.
  134. Walther H. Stability of attractivity regions for autonomous functional differential equations// Manuscripta Math. 1975. V. 15. P. 349−363.
  135. Wang W., Ruan S. Bifurcations in an epidemic model with constant removal rate of the infectives// Journal of Mathematical Analysis and Applications. 2005 V. 291, N. 2. P. 775−793
  136. Wright E.M. A nonlinear differential difference equation// J. Reine Augew. Math. 1955. V. 194. P. 66−87.
  137. Xu R., Chaplain M.A.J., Dowidson F.A. Periodic solution of a Lotka-Valterra predator-prey model with dispersion and time delays//Applied Mathematics and Computation. 2004. V. 148, N. 2. P. 537−560.
  138. Yongli S., Junjie W. Local Hopf bifurcation and global periodic solutions in a delayed predator-prey system//Journal of Mathematical Analysis and Applications. 2005. V. 301, N. 1. P. 1−21.
  139. Zhengqin Z., Zhicheug VF. Periodic solutions of two-species ratio-dependent predator-prey system with time delay in a two-patch environment//Auziam Journal. 2003. V. 45, N. 2. P. 233−244.
Заполнить форму текущей работой

Сессия? Спокойно!