Дисперсия дискретной случайной величины

Целесообразность введения параметра рассеяния случайной величины

На практике, случайные величины, имеющие одинаковые математические ожидания, могут иметь различные возможные значения.

Например, заданы законы распределения случайных чисел X и Y:

Х -0,01 0,01 Y -100 100.

p 0,5 0,5 p 0,5 0,5.

Найдем математические ожидания X и Y:

— 0,01×0,5+0,01×0,5=0; -100×0,5+100×0,5=0.

В примере математические ожидания случайных величин X и Y одинаковы, а их возможные значения — различны. Причем возможные значения Х близки к математическому ожиданию, а у Y — далекие от своего математического ожидания. Таким образом, зная лишь математическое ожидание случайной величины, нельзя судить какие возможные значения она может принимать, как они рассеяны вокруг математического ожидания. Получается, что математическое ожидание полностью не характеризует случайную величину.

По этой причине, наряду с математическим ожиданием вводят и другие числовые характеристики. Для оценки рассеяния возможных значений случайной величины вокруг ее математического ожидания вводят дисперсию. Но прежде введем понятие отклонения случайной величины от ее математического ожидания.

Отклонение случайной величины от ее математического ожидания

Пусть случайная величина и ее математическое ожидание. Вводим новую случайную величину .

Отклонением называют разность между случайной величиной и ее математическим ожиданием .

Напишем закон распределения отклонения:

…

…

Так как вероятности событий равны .

.

Доказательство. Зная, что математическое ожидание разности равно разности математических ожиданий и, что математическое ожидание постоянного числа равно самой постоянной, получим При этом учтено, математическое ожидание — число постоянное.

Пример. Закон распределения дискретной случайной величины.

Х 1 2.

0,2 0,8.

Убедиться, что математическое ожидание отклонения равно нулю.

Решение. Найдем математическое ожидание.

Напишем закон распределения отклонения:

Х — М (Х) -0,8 0,2.

0,2 0,8.

Математическое ожидание отклонения:

Другое название отклонения — это центрированная случайная величина. Доказательство. Введем случайную величину — число появлений события в независимых испытаниях. Очевидно, что общее число появлений события в этих испытаниях равна сумме появлений события в отдельных испытаниях:

.

где число наступлений события в первом испытании, во втором, …, вм.

Величины взаимно независимы, т.к. исходы испытаний не зависят друг от друга, поэтому.

(*).

Вычислим дисперсию по формуле.

.

В этой задаче (по условию).

.

Тогда.

.

Очевидно, дисперсия каждой из остальных случайных величин в (*) также равна. Следовательно,.

Замечание. Так как величина распределена по биномиальному распределению, то можно утверждать, что дисперсия биномиального распределения с параметрами и равна произведению

7. Среднее квадратическое отклонение Для оценки рассеяния возможных значений случайной величины вокруг ее среднего значения кроме дисперсии служит и среднее квадратическое отклонение.

Дисперсия имеет размерность, равную квадрату размерности случайной величины.

Средним квадратическим отклонением случайной величины называют квадратный корень из дисперсии:

Размерность совпадает с размерностью случайной величины .

Пример. Случайная величина задана законом распределения.

2 3 10.

Найти среднее квадратическое отклонение .

Решение. Дисперсию вычислим по формуле.

.

которая содержит математические ожидания и .

Найдем Найдем дисперсию Искомое среднее квадратическое отклонение.

8. Среднее квадратическое отклонение суммы взаимно независимых случайных величин Пусть известны средние квадратические отклонения нескольких взаимно независимых случайных величин. Как найти среднее квадратическое отклонение суммы этих величин?

Теорема. Среднее квадратическое отклонение суммы конечного числа взаимно независимых случайных величин равно квадратному корню из суммы квадратов средних квадратических отклонений этих величин:

Доказательство. Обозначим через сумму рассматриваемых взаимно независимых величин:

.

Дисперсия суммы нескольких взаимно независимых случайных величин равна сумме дисперсий слагаемых, поэтому Отсюда Окончательно.

9. Одинаково распределенные взаимно независимые случайные величины Известно, что по закону распределения можно найти числовые характеристики случайной величины. Отсюда следует, что если несколько случайных величин имеют одинаковые распределения, то и числовые характеристики одинаковы.

Рассмотрим взаимно независимых случайных величин которые имеют одинаковые распределения, следовательно, и одинаковые характеристики (математическое ожидание, дисперсию и др.).

Наибольший интерес представляет изучение числовых характеристик среднего арифметического этих величин.

Обозначим среднее арифметическое рассматриваемых случайных величин через :

=.

Свойства среднего арифметического:

Св-во 1. Математическое ожидание среднего арифметического одинаково распределенных взаимно независимых случайных величин равно математическому ожиданию каждой из величин:

Доказательство. Пользуясь свойствами математического ожидания, получим Принимая во внимание, что математическое ожидание каждой из величин по условию равно, получим.

Св-во 2. Дисперсия среднего арифметического одинаково распределенных взаимно независимых случайных величин в раз меньше дисперсии каждой из величин:

Доказательство. Пользуясь свойствами дисперсии, имеем Принимая во внимание, что дисперсия каждой из величин по условию равна, получим.

(*)

Св-во 3. Среднее квадратическое отклонение среднего арифметического одинаково распределенных взаимно независимых случайных величин в раз меньше среднего квадратического отклонения каждой из величин:

Доказательство. Так как-то среднее квадратическое отклонение равно.

(**)

Дисперсия и среднее квадратическое отклонение служат мерами рассеяния случайной величины. Заключаем, что из свойств 2) и 3) следует, что среднее арифметическое достаточно большого числа взаимно независимых случайных величин имеет значительно меньшее рассеяние, чем каждая отдельная величина.

10. Начальные и центральные теоретические моменты Рассмотрим дискретную случайную величин заданную законом распределения:

1 2 5 100.

Найдем математическое ожидание.

Напишем закон распределения.

1 4 25 10 000.

Найдем математическое ожидание.

Видим, что значительно больше Это объясняется тем, что после возведения в квадрат возможное значение величины, соответствующее значению величины, стало равным 10 000, т. е. значительно увеличилось; вероятность же этого значения мала (0,01).

Таким образом, переход от к позволил лучше учесть влияние на математическое ожидание того возможного значения, которое велико и имеет малую вероятность. Вот почему оказывается целесообразным рассматривать математическое ожидание целой положительной степени случайной величины (дискретной, непрерывной).

Начальным моментом порядка случайной величины называют математическое ожидание величины :

.

В частности.

.

Пользуясь этими моментами, формулу для вычисления дисперсии можно записать так:

.

Кроме моментов случайной величины целесообразно рассматривать моменты отклонения .

Центральным моментом порядка случайной величины называют математическое ожидание величины :

.

В частности, Исходя из определения центрального момента и пользуясь свойствами математического ожидания, можно получить еще формулы:

.

Моменты более высокого порядка применяются редко.