Тонкое расщепление и эффект Зеемана

Разберем механизм снии-орбитального взаимодействия в атоме водорода в рамках нерелятивистской квантовой механики, хотя последовательное описание данного эффекта производится лишь в рамках релятивистской квантовой механики.

Обычным способом действия в волновой механике является предварительное рассмотрение задачи в классических терминах с последующей заменой наблюдаемых операторами.

Вернувшись к классической картине обращения электрона вокруг протона, изображенной на рис. 4.45, заметим, что в сисхеме координат, связанной с движущимся электроном, есть магнитное поле, создаваемое движением протона относительно электрона. Если принять электрон неподвижным, то уже вокруг него будет обращаться ядро с зарядом Ze, которое, в соответствии с законом Био-Савара создаст в точке, в которой находится электрон, магнитное поле, направленное параллельно орбитальному моменту импульса электрона L, причем вычисление показывает, что В ~ ZeL. Магнитное поле действует на спиновый магнитный момент электрона, потенциальная энергия которого в результате изменяется на величину, пропорциональную, как легко понять, скалярному произведению LS и некоторой функции, зависящей только от радиуса электрона.

Не проводя идейно простых, но достаточно длинных выкладок, проанализируем лишь конечный результат, заключающийся в небольшом изменении уровней энергии водородоиодобного иона при учете спина электрона. Уровни допустимых энергий водородоподобного иона с учетом спина электрона^186 187 описываются формулой, хорошо соответствующей спектроскопическим наблюдениям:

где ?_п — уровни энергии водородоподобного иона с «бесспиновым» электроном, описываемые формулой (4.258), а безразмерная константа а называется постоянной тонкой структуры и определяется выражением.

Из (4.377) следует, что с учетом релятивистской поправки и спин-орбитального взаимодействия частично снимается вырождение уровней энергии, которые теперь зависят не только от главного квантового числа п, но и от внутреннего квантового числа j, хотя все еще вырождены по орбитальному квантовому числу¹⁸' I и квантовому числу rrij.^[1][2]

Тонкая структура уровней энергии атома водорода изображена на рис. 4.50, на котором не в масштабе^[3] изображены длинными тонкими линиями бальмеровские термы [то есть уровни энергии (4.258)], а короткими черточками — уровни энергии (4.377), соответствующие всем разным символическим обозначениям состояний. Рядом с уровнями справа указано значение внутреннего квантового числа j. Слева на рисунке все разные уровни сверхтонкой структуры сведены вместе, откуда видно, что вместо одного уровня энергии, соответствовавшего главному квантовому числу гг, теперь появляется п разных уровней энергии.

Рис. 4.50. Тонкая структура уровней энергии атома водорода.

Видно также, что каждое введенное выше символическое обозначение состояния водородоподобного иона соответствует при / > 0 дублетным термам ²Р, ²D…то есть двум близко расположенным (из-за малости величины or ~ 5 • К) ⁵) квазистационарным уровням энергии, соответствующим двум разным значениям j при заданном значении /: 2²Р, и 2²Р:.; 3²Pi и 3²Рз; 3²Сз и 3²?>5 и так далее. Отсюда и термин «дублет», возникающий.

при чтении символических обозначений^[4]. При этом для единообразия сохраняют обозначение ²5 (и произношение «дублет 5»), хотя уровни энергии 5-состояний сипглетны, то есть нерасщеплены в дублет, так как при 1 = 0 возможно только единственное значение j = j.

Установление тонкой структуры уровней энергии водородоподобных ионов, дополненное правилами отбора (которые получаются при повторении уже проделанного в подразд. 4.G.3 расчета вероятностей спонтанной релаксации), позволяют объяснить наблюдаемую тонкую структуру линий в спектре испускания водорода.

Расчет показывает, что правила отбора для определения оптически разрешенных переходов для главного квантового числа и для орбитального квантового числа остаются неизменными: величина п при переходе может испытывать произвольные изменения, а величина / может изменяться только на единицу.

Вычисление дает также правило отбора для внутреннего кван;

гового числа:

Применим правила отбора для выяснения возможных переходов в атоме водорода с учетом тонкой структуры уровней энергии последнего. Рассмотрим сначала переходы с трех уровней, соответствующих п = 2, в основное состояние с п = 1. Переход^[5][6][7] 25 —> 15 запрещен в силу правила отбора по орбитальному квантовому числу /, так как для такого перехода Л/ = 0.

Остаются два перехода 2Pi —> 15 и 2Рл —" 15, которые раз;

2 2.

решены всеми правилами отбора. Поскольку расстояние между уровнями 2Pi и 2Рл для атома водорода в соответствии с (4.377).

2 2 192.

есть

то первая линия серии Лаймана, соответствующая испусканию ультрафиолетовых фотонов с энергией около 10.2 эВ, является на самом деле дублетом с энергетическим расщеплением между составляющими дублета A (hio)/(huj) = 4.4 • 10^_с. В то же время в примечании к стр. 258 было указано, что наблюдения показали, что первая линия серии Лаймана действительно является дублетом с расщеплением ДА/А = 0.53/1216 = 4.4 • 10^-6 .

Аналогично можно показать, что первая линия серии Бальмера Н_а, отвечающая переходам 35 —" 2Р и 3D —" 2Р является квинтетом, то есть расщеплена на пять компонент, расстояния между которыми соответствуют наблюдаемым величинам^[8].

Таким образом, волновая механика с учетом спина и магнитного момента электрона как наблюдаемых сумела адекватно описать как магнитные свойства атома водорода (расщепление на два пучка в неоднородном статическом магнитном ноле), так и почти все особенности спектров испускания и поглощения во;

дорода .

Завершая изложение материала о тонкой структуре уровней энергии атома водорода и о соответствующей тонкой структуре спектров испускания и поглощения, укажем, что у протона и нейтрона был обнаружен в точности такой же спин, как и у электрона. что означает, что проекция спина протона и нейтрона на любое направление может принимать лишь два значения ±^-/?. Соответственно, обладают ядра атомов и собственными магнитными моментами, величины которых, однако, примерно на три порядка меньше собственного магнитного момента электрона, что определяется малостью ядерпого магнетона Бора (4.320) по сравнению с электронным магнетоном Бора (4.319). Тем не менее, взаимодействие между магнитными моментами ядра и электрона приводит к расщеплению уровней энергии атомов, называемому в силу малости сверхтонким расщеплением.

• [1] А также с учетом релятивистской поправки к кинетической энергии, которая оказалась имеющей тот же порядок величины а2, что и поправказа счет спин-орбитального взаимодействия.
• [2] Напомним, что это «случайное» вырождение, присущее только атому водорода (в котором электростатический потенциал, воздействующий на электрон, чисто кулоновский) и отсутствующее у других атомов.
• [3] 1вв Разность между уровнями п = 1 и п = 2 равна 10.2 эВ, а показанноетонкое расщепление порядка 10″ 1 эВ.
• [4] 14t 'По этой причине величину 25+1 называют мулътиплстпостью xjpoenH.
• [5] Это правило было установлено эмпирически еще до его теоретическогообоснования.
• [6] Лишние в данном контексте индексы не указаны.
• [7] Убедитесь в этом.
• [8] См. задачу 4.18.