Интерференционный спектр. 
Фурье-спектроскопия

Возможность использования интерферометра для измерения спектра основана на однозначной связи спектра и функции временной корреляции оптического сигнала. Можно также описать действие интерферометра на излучение как на совокупность монохроматических волн.

Поток исследуемого излучения делится светоделителем на две волны, которые после прохождения разных оптических путей интерферируют и попадают на фотоприемник. Результат интерференции для монохроматического излучения есть волна с интенсивностью:

(1.1).

Q — интенсивность волны в плече интерферометра;

л — длина волны излучения;

Д — разность хода лучей.

Предположим, что исходная волна делится на равновеликие части, т. е.:

Q₁=Q₂=0.5Q,.

Тогда:

.

Если на фотоприемный элемент попадает свет, имеющий спектральное распределение Q (л), то отсчет фотоприемника F (Д) соответствуют сумме отсчетов, вызываемых каждой монохроматической составляющей спектра.

(1.2).

P (л) коэффициент пропорциональности между отсчетом и потоком, падающим на приемник, называемый чувствительностью фотоприемника.

Разобьем это выражение на сумму двух интегралов.

Обратим внимание, что второе слагаемое F¹¹(Д) равно первому в случае Д=(0).

(1.3).

Тогда.

F (Д)=F¹¹(Д)+F¹(0) и F (Д)=F¹¹(Д)-0.5 F (0) т.к. F (0)=2F¹(0).

Кривую F (Д) называют интерферограммой. Интерферограмма это сигнал, регистрируемый в зависимости от изменения оптической разности хода. Воспользовавшись математическим понятием косинусного преобразования Фурье, видим, что интерферограмма есть косинусный Фурье-образ функции Q (л) P (л) (ограничение пределов интегрирования в конечных величинах в формуле 1.3 возможно, поскольку функция P (л) отлична от нуля лишь в некотором диапазоне длин волн л _max-л _min). Проведя операцию обратного Фурье-преобразования Ф^-1 интерферограммы и зная кривую чувствительности приемника, можно вычислить спектр:

(1.4).

Таким образом, процесс получения спектра методом Фурье-спектрометра сводится к следующим этапам:

• — измерение F (Д) путем регистрации сигнала как функции изменения оптической разности хода;
• — экспериментальное определение значения F (0), т. е. регистрация сигнала в точке нулевой разности хода (разность хода в интерферометре будет равна нулю, если оптические длины пути лучей /светоделитель/зеркало/ обоих плеч будут равны). Этой точке соответствует абсолютный максимум отсчетов F (Д);

— вычисление обратного преобразования Фурье — выражения F (Д)-0.5 F (0) (выполняется на ЭВМ). В дальнейшем для простоты положим, что Р (л)=соnst, будем искать только относительное распределение в спектре J (л) (так что значение этой константы несущественно), а также для удобства введем новую переменную у =1/л — волновое число. Найдем аппаратную функцию и, следовательно, разрешение Фурье-спектрометра.

Предположим, что прибор освещен монохроматическим светом J (у)=д (у-у₀), тогда согласно (1.3):

Здесь Д _1, Д ₂ — пределы, в которых изменялась разность хода в процессе эксперимента. Вне этих пределов отсчеты отсутствуют, т. е. F'(Д)=0 вне интервала от Д ₁= -Д _max до Д ₂=Д _max. Обратное преобразование дает:

Поскольку это — результат освещения прибора монохроматическим излучением, это и есть аппаратная функция Фурье-спектрометра (рис. 6 — сплошная линия). Не следует удивляться, что восстановленный спектр в некоторых местах имеет отрицательные интенсивности. Это не реальные интенсивности, а результат вычислений. За интервал разрешения принимается величина ду, равная расстоянию от у ₀ до у ₁, удовлетворяющая условию д у =у ₀-у ₁= 1 /Д _max.

(Рис.6).

Две спектральные линии считаются разрешенными, если расстояние между ними в шкале волновых чисел не меньше д у. Разрешаемый интервал длин волн получим, учитывая, что д у /у =д л /л и то что Д _max = 2L, где L — максимальное перемещение одного из зеркал в процессе эксперимента от положения Д =0.

(1.7).

Таким образом, разрешение Фурье-спектрометра зависит от максимальной разности хода в приборе. Теоретически интерферограмма должна быть симметрична относительно точки Д=0 (несимметрия говорит о плохой настройке интерферометра), поэтому обычно сканирование начинают незадолго до точки Д=0, чтобы только зафиксировать максимум интерферограммы и продолжают до некоторого значения Д _max. Недостаток аппаратной функции заключается в слишком большой высоте вторичных максимумов, которые могут искажать спектр при наличии в нем линий с разной относительной интенсивностью. Причиной осцилляций служат резкие границы интегрирования в (1.6). Осцилляции можно сгладить, если перед вычислением подынтегральное выражение в (1.6) умножить на некоторую функцию А (Д), плавно спадающую к границам интегрирования, например, А=1-¦2Д /Д_max¦ Эта операция называется аподизацией, она подавляет осцилляции, хотя и ухудшает разрешение. Рабочий диапазон прибора естественно ограничен областью спектральной чувствительности фотоприемника, однако неправильная организация регистрации интерферограммы может его существенно сузить, т. е. будет регистрироваться весь исследуемый спектр, но после Фурье-преобразования возникнет эффект, аналогичный «наложению порядков» или появление «лишних» линий, что не позволит правильно интерпретировать спектр. Понять, чем ограничен рабочий диапазон Фурье-спектрометра, проще всего из такого простого рассуждения. Если требуется исследовать спектр в диапазоне л_max-л_min c разрешением дл (или у_max-у _min с разрешением ду), надо зарегистрировать не менее М=(л_max-л _min)/ д л отсчетов независимо от способа регистрации. В щелевом приборе это М положений сканирующей системы, последовательно выводящей на выходную щель участки спектра. В Фурье-спектрометре ду определяется полной длиной интерферограммы, а количество снятых на ней отсчетов, т. е. «шаг» h_Д, т. е. разность хода между точками, в которых снимаются отсчеты, определит полный рабочий диапазон. Математически это следует из того, что к дискретному массиву отсчетов можно применить лишь дискретное Фурье-преобразование, которое восстанавливает периодические функции и, если период окажется меньше спектрального диапазона излучения, попадающего в прибор, тогда и возникает эффект наложения порядков. Строго по выделенному дополнительным фильтром (или чувствительностью приемника, или природой источника) подлежащему исследованию диапазону.

у_max-у_min интервал между отсчетами на интерферограмме следует определять из условия: спектр фурье интерферометр излучение.

(1.8).

Требование удвоения периода по сравнению с рабочим диапазоном связано с использованием косинусного преобразования Фурье, которое наряду со спектром J (у) восстанавливает спектр J (-у), который также может создавать нежелательный эффект наложения порядков.

Основные определения использованных терминов.

Спектр

Спектр — зависимость интенсивности монохроматических составляющих излучения от длины волны.

Интерферограмма.

Интерферограмма — регистрируемый фотоприемником сигнал в зависимости от разности хода оптических лучей.