Построение регрессионной модели

Предварительно расположим значения Y в порядке возрастания значений Х (таблица 3):

Таблица 3.

Регрессионный анализ преназначен для исследованиязависимости исследуемой переменой от различных факторов и отображения их зависимости в форме регрессионной модели.

Предположим, что в нашем случае зависимость линейная, т. е переменная Y предположительно находится под влиянием переменной Х в следующей зависимости:

Метод наименьших квадратов (МНК) подразумевает, что сумма квадратов расстояний между точками была наименьшей.

МНК используется для нахождения параметров линейной зависимости.

Коэффициенты a и b находятся по формулам:

.

C учетом подсчитанных коэффициентов a и b линейная регрессионная модель имеет следующий вид:

Коэффициент b имеет следующий экономический смысл: при увеличении располагаемого дохода на 1 д.е. объем потребления увеличится на 0,8583 д.е.

График регрессионной модели и наблюдаемые (эмпирические) значения

Рисунок 1 — График модели парной регрессии.

Оценка качество уравнения регрессии

Найдем остаток e — расхождение между фактическим и прогнозированным значением величины y. Данные внесем в таблицу 4.

Таблица 4.

1. Средняя ошибка аппроксимации:

Вывод: полученное значение показывает, что расчетные значения в среднем отклоняются на 3,3254%. Качество модели по этому показателю можно оценить как относительно хорошее.

2. Стандартная ошибка регрессии.

В качестве меры точности применяют не смещеннцю оценку дисперсии остаточной компоненты.

Se — среднее квадратичное отклонение (стандартная ошибка регрессии).

S²_e — дисперсия.

S²_e = == 24,9171.

Se == 4,9917.

Вывод: для исходных данных такая величина стандартной ошибки регрессии указывает на среднее качество модели.

3. Оценка общего качества уровня регрессии.

После того, как уравнение построено, выполняется проверка значимости построенного уравнения в целом. Суммарной мерой общего качества уравнения является коэффициент детерминации R²

— сумма квадратов общих отклонений (отклонение наблюдаемых значений от среднего).

— сумма остаточных отклонений (отклонение наблюдаемых значений от соответствующих значений на линии регрессии).

— факторное отклонение (отклонение соответствующих значений на линии регрессии от среднего).

Сумма кавдратов общих отклонений равна сумме квадратов остаточных и факторных отклонений.

Коэффициент детерминации R² показывает долю факторных отклонений в общей мере отклонений в целом.

R² = = 1-= 1-= 0,8328.

R² = 0,8328 говорит о среднем качестве модели.

4. Проверка значимости коэффициента детерминации R2.

Выдвинем нулевую гипотезу Н0 R² =0 (т. е. критерий не значим) и конкурирующую гипотезу Н1 R² ?0 (критерий значим) ю Для проверки значимости R² используется F-критерий Фишера:

F= ,.

где к — количество факторных переменных, в нашем случае равное 1.

F=.

Уровень значимости по заданию равен 10%, используем односторонний тест, следовательно, б=5%.

Степени свободы:

y₁=k=1.

y₂=(n-1−1) = 10−1-1=8.

По таблице значений критерий Фишера Fкрит (0,1; 1,8)=3,46.

F расч.= =39,8469.

Вывод: поскольку F расч. > Fкрит, критерий значим.