Анализ поперечного сечения, состоящего из двух стандартных профилей

Задача № 1

Абсолютно жесткий брус опирается на шарнирно неподвижную опору и прикреплен к двум стержням с помощью шарниров.

Требуется:

1) найти усилия и напряжения в стержнях, выразив их через силу Q;

• 2) найти допустимую нагрузку Qдоп приняв большее из напряжений в двух стержнях допускаемому напряжению.
• 3) найти предельную грузоподъемность при

Дано:

А=12см2=0,0012 м².

а=2,3 м в=2,2 м с=1,9 м.

Обозначим стержень с сечением А-(1), а стержень с сечением 2А-(2).

Для определения напряжения в стержнях (1) и (2) необходимо найти нагрузки N1 и N2. в свою очередь N1 и N2 с усилием Q можно связать уравнением равновесия.

Для определения отношения между N1 и N2 рассмотрим равновесие правой части системы относительно точки k.

Теперь для выражения N1 и N2 через Q достаточно решить систему.

Напряжение в стержне (1).

Напряжение в стержне (2).

2) Допускаемая нагрузка Наиболее напряженный стержень.

Следовательно стержень (1) более напряжен Приравняем к 160мПа.

Qдоп=317,22кН.

3)Предельная грузоподъемность.

Qпред=1,69 мН.

Задача № 2

К стальному валу приложены четыре сосредоточенных момента.

Требуется:

• 1) построить эпюру крутящих моментов;
• 2) при заданном значении [ф] определить диаметр вала из расчета на прочность и округлить его до ближайшей большей величины из нормального ряда чисел: 30;35;40;45;50;60;70;80;90;100;110;125;140;160;180;200 мм;
• 3) найти наибольший относительный угол закручивания и проверить жесткость вала при [И]=0,05рад/м

Дано:

а=1,3 м.

b=1,2 м с=1,9 м М1=1,3кНм М2=1,2кНм М3=1,9кНм.

[ф]=45МПа.

1) Эпюра крутящих моментов Участок № 1 (0? Z1?1,3м).

Участок № 2 (0? Z2?1,9м).

Участок № 3 (0? Z3?1,2м).

Участок № 4 (0? Z4?1,3м).

2) Запишем условие прочности по касательных напряжений Исходя из условия задачи d=60мм.

3) Для определения наибольшего относительного угла закручивания определим жесткость вала при кручении.

Угловые деформации всех участков вала.

За неподвижное примем сечение «0"(жесткая заделка). Тогда поворот конкретного сечения будет складываться из деформаций участков, заключенных между этим сечением и жесткой заделкой.

Строим эпюру Наибольший относительный угол закручивания.

Задача № 3.

Для заданного поперечного сечения, состоящего из двух стандартных профилей (швеллера, двутавра), требуется:

• 1) определить положение центра тяжести;
• 2) найти осевые и центробежные моменты инерции относительно центральных осей;
• 3) определить направление главных центральных осей (u и v);
• 4) найти моменты инерции относительно главных центральных осей;
• 5) вычертить сечение и указать на нем все размеры в числах и все оси.

Дано:

Швеллер № 18.

h=18см.

b=7см.

A=20,7 см².

Ix=1090см4.

Iy=86см4.

Z0=1,94 см Двутавр № 24a.

h=24см.

b=12,5 см.

A=37,5 см².

Ix=3800см4.

Iy=260см4.

Решение:

1) определим положение центра тяжести х1 у1-вспомогательные оси.

Площадь сечения А=А1+А2=20,7+37,5=58,2 см².

хс усцентральные оси.

• 2) определение моментов инерции относительно хс ус
• а) осевые моменты инерции

Где а1, а2- расстояние от оси хс до центров тяжести швеллера и двутавра.

Масштаб 1:2.

а1=1,77 см; а2=-0,98 см («-» так как с2 ниже хс).

Ixc=1090+1,772· 20,7+260+(-0,98)2·37,5=1451см4.

Где b1, b2- расстояния от оси yc до центров тяжести швеллера и двутавра;

b1=-8,98 см («-» так как с1 левее yc), b2=4,96 см.

Iyc=86+(-8,98)2· 20,7+3800+4,962·37,5=6478см4.

б) центробежный момент инерции.

Так как швеллер и двутавр имею оси симметрии (x1 и x2y2), то собственные центральные оси x1y1 для швеллера и x2y2 для двутавра являются главными центральными осями инерции. Следовательно Ix1y1=0 и Ix2y2=0.

Ixсyс=1,77(-8,98)· 20,7+(-0,98)·4,96·37,5=-511,3см4.

3) Определение положения главных центральных осей инерции.

u, vглавные центральные оси инерции.

4) Определение моментов инерции относительно главных центральных осей.

Imax=6529,5см4, Imin=1399,5см4.

Контроль: Ixc+Iyc=Imax+Imin;

1451+6478=6529,5+1399,5=7929см4=const.

Задача № 4

Для балки требуется:

1) построить эпюры поперечных сил Qy и изгибающих моментов Mx, найти.

• 2) подобрать прямоугольное (h:b=2), кольцевое (dвнутр:dвнеш=0,8) и двутавровое поперечное сечение при [у]=160МПа;
• 3) выбрать наиболее рациональное сечение по расходу материала.

Для деревянной балки круглого поперечного сечения требуется:

• 1) построить эпюры Qy и Mx, найти ;
• 2) подобрать диаметр сечения при [у]=8МПа;
• 3) построить эпюру прогибов при Е=1,2· 104МПа (по 3 ординатам на каждом участке).

Дано:

l1=1,2 м.

l2=9м.

a1/a=3.

a2/a=3.

a3/a=3.

M=3кНм.

F=20кН.

q=9кН/м.

1) Определяем в произвольных сечениях участков поперечную силу Q и изгибающий момент М.

Участок № 1 (0? Z1 ?0,24м).

Q1=0. M1=0.

Участок № 2 (0? Z2 ?0,6м).

Q2=9Z2. Q2(0)=0, Q2(0,6)=5,4кН. V2=-9Z2· Z2/2=-4,5. M2(0)=0, M2(0,6)=-1,62кНм.

Участок № 3 (0? Z3 ?0,36м) Q3=9(0,6+Z3)+20=9Z3+25,4. Q3(0)=25,4кН, Q3(0,36)=28,64кН M3=-9(0,6+Z3)· 0,5(0,6+Z3)-20Z3=.

=-4,5−25,4Z3−1,62.

M3(0)=1,62кНм, M3(0,36)=-11,35кНм. Строим эпюры Q и M.

По эп М устанавливаем расчетное сечение (Мmax=11,35кНм).

2) записываем условия прочности по нормальным направлениям и определяем сечение.

а) прямоугольное сечение (h:b=2).

б) кольцевое сечение (a=dвнутр: dвнеш=0,8).

в) двутавр

По сортаменту выбираем двутавр № 14 с Wx=81,7 см³.

• 3) Площади поперечных сечений
• а) прямоугольное сечение

б) кольцевое сечение.

в) сечение двутавра По сортаменту для двутавра № 14 А=17,4 см². таким образом, наиболее рациональным сечением по расходу материала является сечение двутавра. Выбираем двутавр № 14.

Определяем реакции в опорах балки.

Проверка:

Определяем Q и M.

Участок № 1 (0? Z1 ?3,6м).

Q1=0. M1=3кНм.

Участок № 2 (0? Z2 ?1,8м).

Q2=-26,25кН. M2=26,25 Z2−3. М2(0)=3кНм, М2(1,8)=44,3кНм.

Участок № 3 (0? Z3 ?7,2м) Q3=38,55−9Z3. 4. Q3(0)=38,55кН, Q3(7,2)=-26,25кН, при Z3=4,283 м Q3=0.

M3=38,55Z3−9Z3· Z3/2=38,55Z3−4,5.

M3(0)=0, M3(7,2)=44,3кНм; М3(4,283)=82,6кН. Строим эпюры Q и M.

По эпюре М устанавливаем расчетное сечение (Мmax=82,6кНм). Исходный диаметр балки находим из условия прочности по нормальным напряжениям:

Момент инерции.

Для построения эпюры прогибов воспользуемся методом начальных параметров с использованием универсальной формулы:

Помещаем начало координат на левой опоре. Тогда v0=0 Уравнения прогибов на 1,2 и 3 участках, записанные с помощью универсальной формулы, имеют вид.

Угол определяем из условия, что при Z=9м v=0 (отсутствие прогиба на правой опоре) ось материал сечение стержень.

Тогда уравнение прогибов v любого сечения любого участка примет вид.

Определяем прогибы:

Строим эпюру прогибов Чугунный короткий стержень сжимается продольной силой F, приложенной в точке A. Требуется:

1) вычислить наибольшее растягивающее и наибольшее сжимающее напряжения в поперечном сечении, выразив эти напряжения через F и размеры сечения;

2) найти допускаемую нагрузку F при заданных размерах сечения и допускаемых напряжениях на сжатие и на растяжение .

Дано:

=130МПа.

=22МПа.

Сечение имеет одну ось симметрии (X). Это центральная ось сечения. Поэтому необходимо найти только положение центральноq оси. Разобьем сечение на простые фигуры, для которых известна площадь и положение центра тяжести. Это квадрат и треугольник. Площади простых фигур:

Площадь сечения A=A1-A2=36−9=27см2.

X1,Y1-вспомогательные оси.

Xс, Yс — главные центральные оси инерции.

Определяем главные центральные моменты инерции:

Определим квадраты радиусов инерции поперечного сечения:

Для определения опасных точек в растянутой и сжатых областях поперечного сечения найдем положение нулевой линии. Отрезки, отсекаемые нулевой линией на главных центральных осях инерции.

Где , — координаты точки приложения силы (точка А).

Имеем =-2,33 см, =-3см.

Так как в точке, А приложена сжимающая сила, то сжатая область сечения будет располагаться ниже нулевой линии, а растянутая — выше. Наиболее удаленные точки от нулевой линии в сжатой и растянутой областях будут соответственно точки, А и В. Запишем условие прочности для точки А:

Координаты точки А (XА= -2,33 см, YА= -3см).

Откуда величина наибольшей допускаемой нагрузки из расчета на сжатие будет равна:=56,5кН Запишем условие прочности для точки В, в которой имеем наибольшее растягивающие напряжения:

Координаты точки В (XВ=3.67см, YВ=3см).

Откуда величина наибольшей допускаемой нагрузки из расчета на растяжение будет равно:

=10,4кН.

Задача № 5.

Ломаный стержень круглого поперечного сечения, расположен в горизонтальной плоскости. Участки стержня образуют прямые углы. Требуется:

• 1) построить отдельно (в аксонометрии) эпюры изгибающих и крутящих моментов;
• 2) для каждого участка определить вид сопротивления и записать условие прочности (использовать IV гипотезу прочности).

1) Используя метод сечений, определяем внутренние силы:

Участок № 1.

Участок № 2.

Участок№ 3.

Участок№ 4.

Строим эпюры изгибающих и крутящих моментов.

2) Для каждого участка определяем вид сопротивления и записываем условие прочности.

Участок № 1.

В поперечном сечении стержня возникает момент сопротивления изгибу ().

Условие прочности по нормальным напряжениям:

Участок№ 2.

В поперечном сечении стержня возникает момент сопротивления изгибу ().

Условие прочности имеет вид:

Участок№ 3.

В поперечном сечении стержня возникает момент сопротивления изгибу () и момент сопротивления кручению ().

Определяем расчетный момент по IV-ой гипотезе прочности (сечение А).

Условие прочности:

Участок № 4.

В поперечном сечении стержня возникает момент сопротивления изгибу () и момент сопротивления кручению (). Определяем расчетный момент по IV-ой гипотезе прочности (сечение С):

Условие прочности:

Задача № 6.

Стальной стержень (сталь Ст3) длиной l сжимается силой F.

• 1) найти размеры поперечного сечения при допускаемом напряжении на простое сжатие [у]=160 МПа.
• 2) Найти значение критической силы и коэффициент запаса устойчивости.

Дано:

F=300кН.

L=2,2 м.

[у]=160 Мпа.

1) Определяем площадь поперечного сечения:

откуда.

Осевые моменты инерции сечения относительно главных центральных осей инерции (осей симметрии):

Радиусы инерции сечения:

Условие устойчивости:

где — коэффициент продольного изгиба.

Решение задачи проводим методом последовательных приближений.

1-приближение. Принимаем 1=0,5.

Определяем гибкость сжатия.

где — коэффициент, приведения длины стержня, зависящий от схемы закрепления концов стержня (для данной схемы =2).

Коэффициент для стали по таблице Ст3 при примем равным минимальному из представленных в таблице:

Разница между 1 и значительная, поэтому повторим расчет.

2 -приближение. Примем.

Принимаем.

Разница между 2 и велика.

3-приближение. Примем По таблице коэффициентов продольного изгиба находим интерполяцией.

Разница между 3 и велика.

4 -приближение. Примем.

Напряжение в поперечном сечении стержня.

Допускаемое напряжение при расчете на устойчивость.

Перенапряжение составляет.

Окончательно принимаем d=0,099м=9,9 см.

Поскольку, критическое напряжение вычисляем по формуле Эйлера:

Критическая сила.

Коэффициент запаса устойчивости.