Парная и множественная корреляция

ВСЕРОССИЙСКИЙ ЗАОЧНЫЙ ФИНАНСОВО-ЭКОНОМИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ Филиал в г. Уфе Кафедра математики и информатики КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА по дисциплине «Эконометрика».

Исполнитель Ишмухаметова Эльвира Айдаровна специальность ФиК группа 3дФК.

№ зачетки 08ФФБ3 207.

Преподаватель:

Анферов Михаил Анисимович Уфа 2011.

1. Практическая задача 1.

1.1 Условие и исходные данные.

1.2 Решение задачи.

2. Практическая задача 2.

2.1 Условие и исходные данные.

2.2 Решение задачи.

1. Практическая задача 1.

1.1 Условие и исходные данные Условие задачи: По предприятиям легкой промышленности региона получена информация, характеризующая зависимость объема выпуска продукции (Y, млн. руб.) от объема капиталовложений (Х, млн. руб.) (табл. 1.1).

Таблица 1.1 — Исходные данные: Х — объем капиталовложений (млн. руб.); Y — объем выпуска продукции (млн. руб.).

Требуется:

1. Для характеристики Y от X построить следующие модели:

— линейную,.

— степенную,.

— показательную,.

— гиперболическую.

2. Оценить каждую модель, определив:

— индекс корреляции,.

— среднюю относительную ошибку,.

— коэффициент детерминации,.

— F-критерий Фишера.

3. Составить сводную таблицу вычислений, выбрать лучшую модель, дать интерпретацию рассчитанных характеристик.

4. Рассчитать прогнозные значения результативного признака, если прогнозное значение фактора увеличится на 10% относительно среднего уровня.

5. Результаты расчетов отобразить на графике.

1.2 Решение задачи.

1. Построим для характеристики Y от X следующие модели:

Линейная модель парной регрессии Построение уравнения регрессии сводится к оценке ее параметров.

Уравнение регрессии имеет вид: .

Для оценки параметров регрессий, линейных по параметрам, используют метод наименьших квадратов (МНК). Решая систему нормальных уравнений относительно, а и b:

получим следующие формулы:

.

Промежуточные расчеты проведем в Excel. В работе будем приводить таблицы на рабочих листах Excel. Значения параметров a и b определим, используя данные представленные в таблице 1.1.

Таблица 1.2 — Расчет параметров для линейной модели в Excel.

Отсюда получаем:

b=;

а =.

Уравнение линейной регрессии имеет вид:

.

Степенная модель Уравнение степенной модели имеет вид:

Для построения этой модели необходимо произвести линеаризацию переменных. Для этого произведем логарифмирование обеих частей уравнения:

.

Обозначим.

Тогда уравнение примет вид: — линейное уравнение регрессии.

Таблица 1.3 — Расчет параметров для степенной модели в Excel.

Рассчитаем его параметры, используя данные, приведенные в таблице 1.3:

Уравнение линейной регрессии имеет вид:

Перейдем к исходным переменным х и y, выполнив потенцирование данного уравнения, получим уравнение степенной модели регрессии:

=0,81*.

Показательная модель Уравнение показательной кривой:

Для построения этой модели необходимо произвести линеаризацию переменных. Для этого произведем логарифмирование обеих частей уравнения:

.

Обозначим.

Получим линейное уравнение регрессии: .

Таблица 1.4 — Расчет параметров для показательной модели в Excel.

Рассчитаем его параметры, используя данные, приведенные в таблице 1.4:

Уравнение линейной регрессии имеет вид:

Перейдем к исходным переменным х и y, выполнив потенцирование данного уравнения:

.

Гиперболическая функция Уравнение гиперболической функции: .

Произведем линеаризацию модели путем замены.

.

В результате получим линейное уравнение. Рассчитаем его параметры, используя данные, приведенные в таблице 1.5.

Таблица 1.5 Расчет параметров для гиперболической модели в Excel.

Получим следующее уравнение гиперболической модели:

2. Оценим каждую модель и составим сводную таблицу вычислений, определив: индекс корреляции по следующей модели:

Для линейной модели можно вычислить линейный коэффициент парной корреляции по следующей формуле:

Данные для вычислений возьмем из таблиц 1.2. — 1.5. соответственно.

Стандартная ошибка равна:

.

По условию задачи количество наблюдений, количество факторов .

Среднюю относительную ошибку рассчитаем по формуле:

.

Коэффициент детерминации равен :

Оценку значимости уравнения регрессии проведем с помощью F-критерия Фишера:

.

3. Для выбора лучшей модели построим сводную таблицу результатов (табл. 1.6).

Таблица 1.6 — Сводная таблица результатов.

Выберем лучшую модель и дадим интерпретацию рассчитанных характеристик.

Степенная модель имеет меньшее значение стандартной ошибки, а также большее значение F — критерий Фишера и большее значение коэффициента детерминации R2. Ее можно взять в качестве лучшей модели для построения прогноза.

Значение средней относительной ошибки говорит о том, что в среднем расчетные значения для степенной функции отличается от фактических на 1,15%.

Связь между показателем у и фактором х можно считать весьма тесной, т.к. индекс корреляции примерно равен 0,997.

Коэффициент детерминации равен 0,9932, следовательно, вариация результата Y (объема выпуска продукции) на 99,32% объясняется вариацией фактора X (объемом капиталовложений).

для =0,05;

Т.к., то уравнение регрессии с вероятностью 0,95 в целом статистически значимо.

4. Рассчитаем прогнозные значения результативного признака, если прогнозное значение фактора увеличится на 10% относительно максимального уровня.

следовательно,.

(млн. руб.).

Прогнозное значение результативного признака (объема выпуска продукции) определим по уравнению степенной функции, подставив в него планируемую величину объема капиталовложений:

(млн.руб.).

Для построения интервального прогноза рассчитаем доверительный интервал. Примем значение уровня значимости =0,05; следовательно, доверительная вероятность равна 95%, а критерий Стьюдента при равен 2,57.

Ширину доверительного интервала вычислим по формуле:

.

Интервальный прогноз найдем по следующей формуле:

.

Верхняя граница равна: 14,472 (млн. руб.).

Нижняя граница: 13,157 (млн. руб.).

Фактические, расчетные и прогнозные значения по лучшей модели отобразим на графике (рис. 1.5).

5. Результаты расчетов отобразим на графике.

Рисунок 1.1. — Прогноз по лучшей (степенной) модели: х — объем капиталовложений, млн. руб.; y — объем выпуска продукции, млн. руб.

капиталовложение регрессия корреляция.

2. Практическая задача 2.

2.1 Условие и исходные данные Условие задачи: По десяти кредитным учреждениям получены данные, характеризующие зависимость объема прибыли (Y) от среднегодовой ставки по кредитам (X1), ставки по депозитам (Х2) и размера внутрибанковских расходов (Х3) (табл. 2.1).

Таблица 2.1 — Исходные данные: X1 — среднегодовой ставки по кредитам; Х2 -ставка по депозитам; Х3 — размер внутрибанковских расходов; Y — объема прибыли.

Требуется:

1. Осуществить выбор факторных признаков для построения двухфакторной регрессионной модели.

2. Рассчитать параметры модели.

3. Для характеристики модели определить:

— линейный коэффициент множественной корреляции,.

— коэффициент детерминации,.

— средние коэффициенты эластичности,.

— бета —, дельта — коэффициенты.

Дать их интерпретацию.

4. Осуществить анализ остатков (график и оценка с использованием d-критерия Дарбина-Уотсона).

5. Осуществить оценку надежности уравнения регрессии.

6. Оценить с помощью t-критерия Стьюдента статистическую значимость коэффициентов уравнения множественной регрессии.

7. Построить точечный и интервальный прогнозы результирующего показателя.

8. Отразить результаты расчетов на графике.

2.2 Решение задачи.

1. Осуществим выбор факторных признаков для построения двухфакторной регрессионной модели:

Проведем корреляционный анализ, используя инструмент Корреляция (Анализ данных в Excel) (табл. 2.2).

Таблица 2.2 — Результат корреляционного анализа.

Анализ матрицы коэффициентов парной корреляции показывает, что зависимая переменная, т. е. объем прибыли имеет весьма тесную связь со среднегодовой ставки по кредитам (Х1).

Х2 и Х3 весьма тесно связаны между собой (), что свидетельствует о наличии мультиколлинеарности. Целесообразно включить фактор Х3,, а не Х2, так как слабее межфакторная корреляция. Поэтому для построения двухфакторной регрессионной модели из трех переменных оставим в модели Х1 и Х3.

В итоге получаем двухфакторную модель с факторами Х1 (Среднегодовая ставка по кредитам) и Х3 (Размер внутрибанковских расходов).

2. Рассчитаем параметры модели:

Оценка параметров регрессии осуществляется по методу наименьших квадратов по формуле:

.

Таблица 2.3 — Исходные данные двухфакторной модели.

Используя данные, приведенные в таблице 2.3, и применив инструмент Регрессия (Анализ данных в Excel) (табл. 2.4), получим следующие коэффициенты:

.

Таблица 2.4 — Параметры модели.

Уравнение регрессии зависимости объема прибыли от ставки по депозитам и среднегодовой ставки по кредитам можно записать в следующем виде:

.

Расчетные значения Y определяются путем подстановки в эту модель значений факторов, взятых для каждого наблюдения.

3. Для характеристики модели определим следующие показатели и дадим их интерпретацию:

линейный коэффициент множественной корреляции вычисляется по формуле:

.

но мы воспользуемся инструментом Регрессия (Анализ данных в Excel) (табл. 2.5).

; что говорит о том, что связь между факторами прямая и весьма тесная.

Коэффициент детерминации равен (табл. 2.5). Он показывает долю вариации результативного признака под воздействием изучаемых факторов. Следовательно, около 99,787% изменений в объеме прибыли учтено в модели и обусловлено влиянием среднегодовой ставки по кредитам и размер внутрибанковских расходов.

Таблица 2.5 — Регрессионная статистика.

Учитывая, что коэффициент регрессии невозможно использовать для непосредственной оценки влияния факторов на зависимую переменную из-за различия единиц измерения, используем средний коэффициент эластичности:

.

Для расчета коэффициентов используем данные из таблицы 2.3 и 2.4 соответственно.

.

Следовательно, наименьшее влияние на объем прибыли оказывает размер внутрибанкоских расходов. При неизменном размере внутрибанковских расходов объем прибыли с ростом размера среднегодовой ставки по кредитам на 1% увеличится в среднем на 4,003%, тогда как с уменьшением размера внутрибанковских расходов на 1% объем прибыли в среднем по совокупности кредитных учреждений сократится на 3,038% при неизменном размере среднегодовых ставок по кредитам.

Бета-коэффициент с математической точки зрения показывает, на какую часть величины среднего квадратического отклонения меняется среднее значение зависимой переменной с изменением независимой переменной на одно среднеквадратическое отклонение при фиксированном на постоянном уровне значений остальных независимых переменных:

.

где (табл. 2.3),.

;

Это означает, что размер внутрибанковских расходов оказывает меньшее влияние на объем прибыли, т.к. при ее увеличении на 76,82 руб., объем прибыли уменьшится на 115,02 руб. (2,176*52,856), тогда как при росте среднегодовой ставки по кредитам на 199,79 руб., объем прибыли увеличится на 116,33 руб. (3,166*52,856).

Долю влияния фактора в суммарном влиянии всех факторов можно оценить по величине дельта — коэффициентов:

(табл. 2.2, 2.5).

; .

Это означает, что среднегодовая ставка по кредитам в суммарном влиянии всех факторов имеет большее влияние на объем прибыли, чем размер внутрибанковских расходов.

4. График остатков приведен на рисунке 2.1.

Рисунок 2.1 — График остатков: tнаблюдение, eостатки.

Проверку независимости проведем с помощью d-критерия Дарвина-Уотсона.

Воспользуемся инструментом Регрессия (Анализ данных в Excel) (табл. 2.6):

Таблица 2.6 — Вывод остатка.

В качестве критических табличных уровней при N=10, двух объясняющих факторах при уровне значимости в 5% при k=2 возьмем табличные величины d1=0,70 и d2=1,64.

Значение сравнивают с табличными значениями d1 и d2.

Т.к. dw >2, это свидетельствует о наличии отрицательной корреляции. dw= 4 — dw= 4 — 2,33= 1,67.

При сравнении расчетного значения dw статистики с табличным:

— ряд остатков не коррелирован.

5. Осуществим оценку надежности уравнения регрессии с помощью F-критерия Фишера:

.

Значение F-критерия Фишера можно найти с помощью инструмента Регрессия (Анализ данных в Excel): (табл. 2.7).

Таблица 2.7 — Дисперсионный анализ.

Табличное значение F-критерия можно найти с помощью функции FРАСПОБР: при доверительной вероятности 0,95 при и составляет 4,737.

Поскольку, уравнение регрессии следует признать адекватным.

6. Оценим с помощью t-критерия Стьюдента статистическую значимость коэффициентов уравнения множественной регрессии:

где — коэффициенты в матрице .

Воспользуемся инструментом Регрессия (Анализ данных в Excel (табл. 2.4):

.

Табличное значение t-критерия Стьюдента можно найти с помощью функции СТЬЮДРАСПОБР; при уровне значимости 5% и степенях свободы составляет 2,365.

Т.к. для двух коэффициентов, то коэффициенты и существенны (значимы).

7. Построим точечный и интервальный прогнозы результирующего показателя.

Прогнозные значения Х1,11, Х2,11 можно определить с помощью методов экспертных оценок, с помощью средних абсолютных приростов или вычислить на основе экстраполяционных методов.

В качестве аппроксимирующей функции выберем полином второй степени (парабола), по которой построим прогноз на один шаг вперед.

Уравнение фактора — Среднегодовая ставка по кредитам:

и прогнозное значение .

Уравнение для Размера внутрибанковских расходов выглядит следующим образом:

.

Подставляя в него вместо, получим прогнозное значение среднегодовой ставки по кредитам .

Отобразим результаты расчетов на графике (рис. 2.2; рис. 2.3).

Для получения прогнозных оценок зависимостей переменной по модели Подставим в нее найденные прогнозные значения факторов Х1 и Х2.

.

Доверительный интервал прогноза будет иметь следующие границы:

Верхняя граница прогноза: .

Нижняя граница прогноза: .

.

— стандартная ошибка, найдена с помощью инструмента Регрессия (Анализ данных в Excel) (табл. 2.5).

tкр = 2,365 (найдено выше с помощью функции СТЬЮРАСПРОБР).

Тогда получаем. U (1)= 4,699 240 149.

Результаты прогнозных оценок модели регрессии представим в таблице 2.8.

Таблица 2.8 — Таблица прогнозов (р=95%).

8.

Рисунок 2.2 — Прогноз показателя Среднегодовая ставка по кредитам:

t — количество кредитных учреждений, Х1 -Среднегодовая ставка по кредитам Рисунок 2.3 — Прогноз показателя Размер внутрибанковских расходов: t — количество кредитных учреждений, Х3 — Размер внутрибанковских расходов.