Числовая сфера. 
Бесконечно удалённая точка

Изображение комплексных чисел на сфере. Бесконечно удалённая точка.

Последовательность точек называется, как известно, неограниченной, если имеются точки этой последовательности, лежащие вне круга с центром в нулевой точке сколь угодно большого радиуса. Неограниченная последовательность точек, как мы видели, может не иметь предельных точек. В этом случае условимся говорить, что последовательность чисел (12) стремится к бесконечности, что символически будем записывать так:

Последнее равенство выражает, что бесконечная последовательность чисел (12) не имеет предельного числа.

Фиг. 13.

Чтобы дать равенству (15) простое геометрическое истолкование, будем изображать комплексные числа точками на сфере. С этой целью возьмём сферу, касательную к плоскости в нулевой точке О (фиг. 13). Диаметр сферы ОР, проходящий через точку О, будет перпендикулярным к плоскости; вторую точку его пересечения со сферой, точку Р, назовём полюсом.

Всякое комплексное число z изображается точкой на плоскости; соединяя эту точку с полюсом прямой линией Рг, получим в пересечении этой прямой и сферы единствен* ную точку (отличную от Р), которую примем за изображение комплексного числа z. Итак, каждое комплексное число изображается некоторой точкой сферы; обратно, каждой точке сферы, кроме полюса Р, соответствует единственная точка на плоскости, получающаяся в пересечении с плоскостью луча, проходящего через Р и рассматриваемую точку; таким образом, всякая точка сферы, кроме полюса Р, изображает некоторое комплексное число. Итак, мы устанавливаем взаимно однозначное и взаимно непрерывное соответствие между точками плоскости и точками сферы (с выключением точки Р). Эта сфера, из которой выкинута точка Р, является изображением совокупности всех комплексных чисел. Посмотрим, каково взаимное отношение точки Р с другими точками сферы. Если последовательность чисел z_n стремится к бесконечности, imz_n= оо, то изображающие их точки на сфере не;

П-.ОГ ограниченно приближаются к точке Р. Естественно принять точку Р за изображение бесконечности, а соответствующую ей единственную точку плоскости назвать бесконечно удалённой точкой этой плоскости.

Итак, на комплексной числовой плоскости мы принимаем единственную бесконечно удалённую точку (изображаемую на сфере точкой Р) в отличие от плоскости проективной геометрии, где рассматривается бесконечно удалённая прямая, т. е. бесконечное множество различных бесконечно удалённых точек.

Таким образом, путём указанного преобразования, называемого стереографической проекцией, мы устанавливаем взаимно однозначное соответствие между точками сферы и точками плоскости, включая её единственную бесконечно удалённую точку. Эта сфера, точки которой изображают совокупность всех комплексных чисел и бесконечности, носит название комплексной числовой сферы, или сферы Римана. Преимущество изображения комплексных чисел на сфере вместо плоскости состоит в том, что здесь наглядно изображается единственная бесконечно удалённая точка плоскости.

Если под окрестностью точки Р на сфере понимать часть поверхности сферы, содержащую точку Р и ограниченную любой окружностью, плоскость которой перпендикулярна к ОР, то под окрестностью бесконечно удалённой точки плоскости нужно будет понимать стереографическую проекцию этой части сферы, т. е. внешность любого круга, с центром в начале координат. Тогда условие сходимости последовательности точек (12) к бесконечно удалённой точке может быть выражено в форме, совершенно аналогичной условию п. 5 § 3: последовательность точек z_n сходится к бесконечно удалённой точке, если почтивсе точки этой последовательности (т. е. все точки, кроме конечного числа точек) лежат внутри произвольной окрестности бесконечно удалённой точки.

Во всём дальнейшем, если не оговорено противное, мы будем обозначать буквой z любую обыкновенную точку плоскости и совокупность таких точек будем называть плоскостью комплексного переменного. Плоскость комплексного переменного вместе с бесконечно удалённой точкой будем называть расширенной плоскостью комплексного переменного. Заметим, что бесконечно удалённая точка плоскости, подобно нулевой точке, не имеет определённого аргумента.