Классификация Пуанкаре. 
Дифференциальные и разностные уравнения

Пусть cp (t, у₀), t е /(г/о) = ДО, Vo) ~ максимально продолженное решение задачи Коши для автономной системы (4.1) дифференциальных уравнений у = F (y), где F: М —> Ж", М с Ж", Fe C^l(M), М — открыто в Ж". Таким образом, ф (0, у₀) = доопределение 4.2. Точка покоя р называется простой, если Так как определитель матрицы равен произведению ее собственных.

dF

чисел, то условие (4.4) равносильно отсутствию у матрицы Якоби ——.

оу

* у=р

собственных чисел, равных нулю.

Будем рассматривать простые точки покоя.

В дальнейшем в главе в качестве иллюстрирующего примера рассмотрим систему уравнений

• (однородную линейную автономную систему). У матрицы А существует
• (X, 0) _Л (X 0 ' (X I)

жорданова форма:J =, если А, Ф Х₂, и J = или ./= ,.

(U Л₂ у К) ^к)

если Х=Х₂ = X.

Пусть жорданова форма вещественная. Тогда в новых координатах система принимает вид й = Ju, или.

Рассмотрим случай, когда? = 0. Тогда общее решение системы имеет вид

или, с учетом начальных условий г/₁₀, и₂₀,

Тогда и₁₀ — и₂₀ — 0 — точка покоя (рис. 4.1).

Рассмотрим различные случаи.

I. Собственные числа вещественны.

Случай 1. Собственные числа имеют разные знаки: А.]А₂ < 0. Пусть для определенности < 0, Л₂ > 0. Фазовый портрет нашей системы в новых координатах приведен на рис. 4.2.

Траектории, показанные на рис. 4.2 (соответствующие случаю Х{к₂ ^< 0)" называются гиперболическими. Исключим из уравнений t. Получим.

Рис. 4.1.

Рис. 4.2.

Почти все решения — гиперболические. Гиперболические траектории разделяют траектории, направленные по осям.

Такая постоянная точка, как в нашем случае, называется седло. В случае седла имеется четыре гиперболических сектора (с гиперболическими траекториями), а траектории, которые разбивают плоскость на четыре сектора, называются сепаратриссы (от separe — разбивать, отделять). Итак, у нас четыре сепаратриссы, в том числе две устойчивые и две неустойчивые. Фазовый портрет в исходных координатах приведен на рис. 4.3.

Рис. 43.

Замечание 4.1. Предположим, что система (4.5) — результат линеаризации некоторой исходной автономной системы в окрестности точки покоя. Что изменится, если мы теперь восстановим исходную систему, т. е. припишем к системе (4.5) нелинейную часть: Z = AZ + g (Z)? Существенно ничего не изменится. Сепаратриссы те же, чуть-чуть искривятся, но изменения будут второго порядка малости. Углы те же при входе в точку покоя, но уже не лучи, а какие-нибудь линии. А вдали от точки покоя может быть все что угодно.

Траектория входит в точку покоя, касаясь луча. То направление, по которому траектория входит в точку покоя, называется исключительным. Сепаратриссы линейной системы при входе в точку покоя направлены вдоль собственных векторов матрицы А.

Случай 2. Собственные числа имеют одинаковые знаки: Х_{Х₂ > 0.

В этом случае возможны следующие варианты.

А. Собственные числа различны: X_t Ф Х₂ Жорданова форма имеет вид.

_{1 =} (h

'Чо ъ;

Когда перейдем на плоскость (щ, и₂), получится тот же вид уравнения,.

( *2 Ai.

Un U

но с положительным показателем степени: — = —.

^С2 V^C1 )

Пусть для определенности Х^ < Х₂. Фазовый портрет в плоскости (щ, и₂) приведен на рис. 4.4.

Траекториями являются не сами параболы, а только их ветки. Когда вернемся на плоскость (Z_1? Z₂), оси поменяются, углы между ними необязательно останутся прямыми (рис. 4.5, 4.6).

Направление, которого касаются все траектории, называется ведущим. Оно соответствует тому X, которое по модулю меньше. Рисунок 4.5 соответствует случаю Х_и Х₂ < 0. Для случая X_lf Х₂ > 0 (рис. 4.6) стрелки направлены противоположно. Это то же самое, что у системы заменить t на -t (обратить время). Возможно ли это в реальности — вопрос теоретической физики и поэтому выходит далеко за рамки нашего курса^[1].

Рис. 4.4.

Рис. 4.5.

Рис. 4.6.

В случае если оба собственных числа вещественны и отрицательны, мы имеем устойчивый узел, или сток (см. рис. 4.5). Если аналогичная картинка, но с противоположным направлением стрелок, то неустойчивый узел, или источник (см. рис. 4.6).

И седло, и узел — некритические случаи устойчивости.

Б. Собственные числа вещественны и равны между собой: А, = А₂ = А.

" (X 0¹ «(X I)

Тогда жорданова форма может быть либо .

• (0 XJ (0 X)
• (X 0) _Л

Если J- .. = ХЕ, то траектории — всевозможные лучи, в том числе.

V⁰

и оси координат.

Этот узел называется декритическим. У него траектория — вдоль любого направления (рис. 4.7).

Рис. 4.7.

" . (X 0)

В этом случае А = SIS~^l = _{Л Л} .

I" ч Другими словами, этот случай бывает тогда и только тогда, когда.

(X 0)

матрица А сразу имеет вид А = .

О X ^

(X 0)

Второй случай, когда А Ф .В этом случае есть решение e^KtV,

V^{0 Х})

где V — собственный вектор матрицы А, а все остальные — как показано на рис. 4.8. Такой узел называется вырожденным. Возьмем обычный узел и начнем сближать Х_{ и Х₂, тогда их лучи тоже сближаются. Или нарисуем их очень близкими. И вот крайний случай, два пространства как бы слились, оно (пространство) — одно двукратное.

Рис. 4.8.

Чтобы понять, как устроены траектории, просто выпишем решение. В координатах (щ, и₂) система примет вид.

р-'}.

Общее решение данной системы и = ¹ > С, где и, С — векторы. Таким об;

fi О разом, и = е" С — множество всех решений, или в координатной форме {О 1.

Тогда.

Замечание 4.2. Пусть нелинейная автономная система имеет вид причем g (Z) = o (||Z||^1+e). Рассмотрим линеаризованную систему

которая совпадает с системой (4.5).

Для узлов и седел А. Пуанкаре доказал, что вблизи точки покоя фазовый портрет системы (4.6) будет совпадать с фазовым портретом системы (4.5) с точностью до величин второго порядка малости. Направление входа в точку покоя и сам тип точки покоя для системы (4.6) также будут совпадать с направлением входа в точку покоя и типом точки покоя системы (4.5). Таким образом, узлы и седла являются грубыми, или структурно-устойчивыми, точками покоя. Сохраняется вся структура поведения, не только тип устойчивости. Поэтому данные системы можно возмущать малыми возмущениями.

Итак, если Х_и Х₂ вещественны, то стационарная точка — узел или седло:

• • узел, когда Х{Х₂ ^> 0 (detА > 0);
• • седло, когда Х_{Х₂ < 0 (detA < 0).

II. Собственные числа — комплексно сопряженные числа: Х_х 2 = а ± г (3.

(Р > 0).

Не умаляя общности, считаем, что матрица А уже приведена к жордановой форме, т. е. A =J, Z = JZ.

(^a «Pi.

Рассмотрим систему с матрицей В = _Л, т. е. й = Ви. Докажем, что.

U а).

J ~ В. Запишем характеристическое уравнение матрицы 5, найдем ее собственные числа и жордаиову форму:

Следовательно, существует такая невырожденная матрица S, что,/ = SBS ¹. Тогда.

Матрица В называется вещественной жордановой формой. Мы перешли на плоскость (щ, и₂) (рис. 4.9).

Рис. 4.9.

Имеем систему с матрицей В

Перейдем к полярным координатам и сложим:

Теперь сложим.

Тогда и получим t, = (а + /Р)(м, + ш₂).

Мы получили дифференциальное уравнение.

Решая его, находим Отсюда получаем решение нашей системы в полярных координатах:

Замечание 4.3. Вместо этого мы могли просто выразить и_л и и₂ в полярных координатах, продифференцировать и получить систему уравнений и оказались бы те же решения.

Возможны следующие варианты.

1. а Ф 0 — фокус.

В данном случае решение тоже приближается к точке покоя, но не с определенной скоростью, а как спираль, все время накручивается. Такая точка покоя называется устойчивый фокус, или сток, если такое происходит с возрастанием времени, и неустойчивый фокус, или источник, если такое происходит с убыванием времени. Здесь полярный угол стремится к бесконечности, а в узле — к определенному значению. Это движение соответствует затухающим колебаниям. На рис. 4.10 изображен устойчивый фокус, или сгок. В случае неустойчивого фокуса, т. е. в случае, а > 0, направление стрелок противоположное (рис. 4.11).

Рис. 4.10 Рис. 4.11

Чтобы получить явное выражение для траектории, исключим t из решения (4.7). Получим.

2. а = 0 — центр.

В этом случае колебания не затухают, траектории представляют собой какие-то замкнутые кривые. На плоскости (щ, и₂) — это окружности (случай р > 0 — рис. 4.12, случай р < 0 — рис. 4.13).

Рис. 4.12.

Рис. 4.14.

Выпишем в явном виде уравнение траектории:

Итак, в случае комплексных корней характеристического полинома ₂ = = а ± г’Р имеет место фокус или центр:

• • если, а Ф 0, то фокус;
• • если, а = 0, то центр.

Замечание 4.4. Рассмотрим случай, когда есть возмущение (4.6).

Для фокуса характер устойчивости сохраняется, это некритический случай. А центр — это критический случай. В этом случае при наличии возмущения может быть и центр, и фокус (проблема центра и фокуса). И наконец, может быть случай, когда в сколь угодно малой окрестности точки покоя найдутся и замкнутая, и незамкнутая траектории, т. е. и окружности, и спирали. Такая точка покоя системы (4.6) называется центрофокусом.

Теорема Пуанкаре. Рассмотрим автономную систему

и пусть правая часть такова, что имеет место единственность решения задачи Коши. Пусть система (4.8) имеет замкнутую траекторию L. Тогда внутри L существует точка покоя системы (4.8) (рис. 4.14).

Рис. 4.14.

Доказательство. Утверждение теоремы вытекает из теоремы Брауэра: всякое непрерывное отображение замкнутого круга на себя имеет хотя бы одну неподвижную точку.

• [1] См. по этому вопросу, например: Хокинг С. Краткая история времени от Большоговзрыва до черных дыр. Амфора, 1989.