Распределение заряда в проводнике. 
Связь между напряженностью поля у поверхности проводника и поверхностной плотностью заряда

I. Свободные заряды в проводнике способны перемещаться под действием сколь угодно малой силы. Поэтому для равновесия зарядов в проводнике должны выполняться следующие условия:

• 1. Напряженность поля внутри проводника должна быть равна нулю, т.к. т. е. потенциал внутри проводника должен быть постоянным.
• 2. Напряженность поля на поверхности проводника должна быть перпендикулярна поверхности

Следовательно, поверхность проводника при равновесии зарядов является эквипотенциальной.

При равновесии зарядов ни в каком месте внутри проводника не может быть избыточных зарядов — все они распределены по поверхности проводника с некоторой плотностью у.

Рассмотрим замкнутую поверхность в форме цилиндра, образующие которого перпендикулярны поверхности проводника. На поверхности проводника расположены свободные заряды с поверхностной плотностью у.

Т.к. внутри проводника зарядов нет, то поток через поверхность цилиндра внутри проводника равен нулю. Поток через верхнюю часть цилиндра вне проводника по теореме Гаусса равен.

т.е. вектор электрического смещения равен поверхностной плотности свободных зарядов проводника или.

II.При внесении незаряженного проводника во внешнее электростатическое поле свободные заряды начнут перемещаться: положительные — по полю, отрицательные — против поля. Тогда с одной стороны проводника будут накапливаться положительные, а с другой отрицательные заряды. Эти заряды называются индуцированными. Процесс перераспределения зарядов будет происходить до тех пор, пока напряженность внутри проводника не станет равной нулю, а линии напряженности вне проводника перпендикулярны его поверхности. Индуцированные заряды появляются на проводнике вследствие смещения, т. е. являются поверхностной плотностью смещенных зарядов и т.к. то поэтому назвали вектором электрического смещения.