Построение линейной модели множественной регрессии

По 20 предприятиям региона изучается зависимость выработки продукции на одного работника (тыс. руб.) от ввода в действие новых основных фондов (% от стоимости фондов на конец года) и от удельного веса рабочих высокой квалификации в общей численности рабочих (%) (смотри таблицу своего варианта).

Требуется: регрессия эластичность корреляция детерминация Построить линейную модель множественной регрессии. Записать стандартизованное уравнение множественной регрессии.

На основе стандартизованных коэффициентов регрессии и средних коэффициентов эластичности ранжировать факторы по степени их влияния на результат.

Найти коэффициенты парной, частной и множественной корреляции. Проанализировать их. Проверить наличие мультиколлинеарности.

Найти скорректированный коэффициент множественной детерминации. Сравнить его с нескорректированным (общим) коэффициентом детерминации.

С помощьюкритерия Фишера оценить статистическую надежность уравнения регрессии и коэффициента детерминации .

С помощью t-критерия Стьюдента оценить статистическую значимость коэффициентов регрессии.

Доверительные интервалы для статистически значимых коэффициентов регрессии.

Доверительные интервалы для функции регрессии.

Доверительные интервалы для индивидуальных значений зависимой переменной.

С помощью частныхкритериев Фишера оценить целесообразность включения в уравнение множественной регрессии фактора после и фактора после .

Составить уравнение линейной парной регрессии, оставив лишь один значащий фактор.

Таблица 1 — Исходные данные.

Решение Для удобства проведения расчетов поместим результаты промежуточных расчетов в таблицу:

Таблица 2 — Промежуточные расчеты.

Найдем средние квадратическое отклонения признаков:

1. Вычисление параметров линейного уравнения множественной регрессии.

Для нахождения параметров линейного уравнения множественной регрессии необходимо решить следующую систему линейных уравнений относительно неизвестных параметров a, b₁, b₂:

Рассчитаем сначала парные коэффициенты корреляции:

Находим.

Таким образом, получили следующее уравнение множественной регрессии:

Коэффициенты и стандартизованного уравнения регрессии.

находятся по формулам:

Т.е. уравнение будет выглядеть следующим образом:

Так как стандартизованные коэффициенты регрессии можно сравнивать между собой, то можно сказать, что ввод в действие новых основных фондов оказывает большее влияние на выработку продукции, чем удельный вес рабочих высокой квалификации.

Сравнивать влияние факторов на результат можно также при помощи средних коэффициентов эластичности:

Вычисляем:

Т.е. увеличение только основных фондов (от своего среднего значения) или только удельного веса рабочих высокой квалификации на 1% уменьшаем в среднем выработку продукции на 0,999% или 0,122% соответственно. Таким образом, подтверждается большее влияние на результат y фактора x₁, чем фактора x₂.

2. Коэффициенты парной корреляции мы уже нашли:

Они указывают на весьма сильную связь каждого фактора с результатом, а также высокую межфакторную зависимость (факторы x₁ и x₂ явно не коллинеарны, т.к.). При такой слабой межфакторной зависимости рекомендуется не рассматривать дальше уравнения.

Рассчитаем множественный коэффициент детерминации:

Коэффициент множественной корреляции показывает на весьма слабую связь всего набора факторов с результатом.

3. Нескорректированный коэффициент множественной детерминации оценивает долю вариации результата за счет представленных в уравнении факторов в общей вариации результата. Здесь эта доля составляет 97%и указывает на весьма высокую степень обусловленности вариации результата вариацией факторов, иными словами — на весьма тесную связь факторов с результатом.

Скорректированный коэффициент множественной детерминации.

.

определяет тесноту связи с учетом степеней свободы общей и остаточной дисперсий. Он дает такую оценку тесноты связи, которая не зависит от числа факторов и поэтому может сравниваться по разным моделям с разным числом факторов. Оба коэффициента указывают на весьма низкую 0,34% детерминированность результата y в модели факторами x_1и x₂ 4. Оценку надежности уравнения регрессии в целом и показателя тесноты связи даеткритерий Фишера:

В нашем случае фактическое значение Fкритерия Фишера:

Получили, что (при n=20), т. е. вероятность случайно получить такое значение Fкритерия не превышает допустимый уровень значимости 5%. Следовательно, полученное значение не случайно, оно сформировалось под влиянием существенных факторов, т. е. подтверждается статистическая значимость всего уравнения и показателя тесноты связи 5. С помощью частных Fкритериев Фишера оценим целесообразность включения в уравнение множественной регрессии фактора x₁ после x₂ и фактора x₂ после x₁ при помощи формул:

Найдем и.

Имеем.

Получили, что. Следовательно, включение в модель фактора х₂ после того, как в модель включен фактор х₁ статистически нецелесообразно: прирост факторной дисперсии за счет дополнительного признака х₂ оказывается незначительным, несущественным; фактор х₂ включать в уравнение после фактора х₁ не следует.

Если поменять первоначальный порядок включения факторов в модель и рассмотреть вариант включения х₁ после x₂, то результат расчета частного Fкритерия для будет иным. x₁, т. е. вероятность его случайного формирования меньше принятого стандарта. Следовательно, значение частного Fкритерия для дополнительно включенного фактора x₁ не случайно, является статистически значимым, надежным, достоверным: прирост факторной дисперсии за счет дополнительного фактора x₁ является существенным. Фактор x₁ должен присутствовать в уравнении, в том числе в варианте, когда он дополнительно включается после фактора x₂ .

6. Общий вывод состоит в том, что множественная модель с факторами x1 и x2 с содержит неинформативный фактор. Если исключить фактор x2, то можно ограничиться уравнением парной регрессии: