Последовательность изучения линии уравнений и неравенств

Учебный материал данной линии распределен по ступеням. Можно выделить 4 основные ступени: 1) изучение основных типов уравнений, неравенств, систем; 2) изучение уравнений, неравенств, систем, сводящихся к основным классам; 3) формирование общих приёмов решения и исследования уравнений, неравенств и их систем; 4) синтез материала линии уравнений и неравенств.

Остановимся кратко на характеристике этих ступеней.

1. Изучение основных типов уравнении, неравенств, систем. К числу основных типов уравнений, неравенств, систем можно отнести: линейные уравнения с одним неизвестным, линейные неравенства с одним неизвестным, системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными, квадратные уравнения и неравенства, простейшие иррациональные и трансцендентные уравнения и неравенства. Эти классы изучаются очень тщательно, для них указываются алгоритмы решения и выполнение их доводится до автоматизма, указывается также форма, в которой должен быть записан ответ.

Введение

каждого нового класса уравнений сопровождается введением новой области числовых выражений, входящих в стандартную форму записи ответа. 11апример, квадратичные иррациональности (а + b-Jc; a, b, с е Q) связываются с решением квадратных уравнений; логарифмические выражения появляются при решении показательных и логарифмических уравнений; числовые множества вида я

• — + 2лк, keZ, возникают в связи с тригонометрическими уравнениями.
• 6

Когда материал усвоен, целесообразно иногда предлагать и такие задания, в которых могут возникать нестандартные дчя данного класса уравнений ответы. Например, подавляющее большинство заданий на решение квадратных уравнений содержит в данных только рациональные числа; при повторении можно предложить и такое задание: х? + 21дг + -Jl =0.

2. Изучение уравнений, неравенств, систему сводящихся к основным классам. Каждый из основных классов уравнений, неравенств, систем уравнений имеет четкую, стандартную форму записи. Например, уравнение .v² + х — 1 = 0 — квадратное, а уравнение лг + х = 1, равносильное первому, квадратным не является.

В результате длительного развития как элементарной алгебры, так и методики преподавания математики было выделено несколько типов уравнений, неравенств, систем уравнений, сведение которых к основным классам производится особенно просто. Именно эти «вторичные» классы изучаются сразу вслед за изучением основных, причем в тесном взаимодействии с ними. Например, уже при изучении систем двух линейных уравнений с двумя неизвестными могут быть предложены задания, нс имеющие стандартного вида:

Первый шаг в решении таких заданий состоит в том, что они приводятся к стандартному виду заданий основного класса; в нашем случае:

Классификация «вторичных» классов уравнений обширнее, чем основных. Она включает, например, уравнения первой степени, биквадратные, алгебраические, иррациональные уравнения. Устанавливается соответствие между ними и основными классами. Некоторые вторичные классы находятся между собой в отношении включения. Например, класс алгебраических уравнений шире класса биквадратных уравнений, но биквадратные уравнения имеют особый приём сведения их к квадратным.

3. Формирование общих приемов решения и исследования уравнений, неравенств и их систем. Общие приемы решения и исследования уравнений можно разделить на 3 группы.

Первая группа состоит из логических методов обоснования решения. Используя эти методы (например, равносильные преобразования или логическое следование), переходят от исходных уравнений, неравенств, систем к новым. Такие переходы делаются до тех пор, пока не получаются задания, относящиеся к известным классам.

Вторая группа состоит из вычислительных приемов, посредством которых производятся упрощения одной из частей данного уравнения или неравенства, проверка найденных корней при помощи подстановки вместо неизвестного, различные промежуточные подсчеты и т. д. Роль вычислительных приемов особенно заметна при выполнении заданий по нахождению приближенных значений корней уравнений.

В третью группу входят наглядно-графические приемы. Большинство этих приёмов используют в качестве основы координатную прямую или координатную плоскость.

Использование координатной прямой позволяет решать некоторые неравенства и системы неравенств с одним неизвестным, а также уравнения и неравенства с модулями. Например, прием решения систем линейных неравенств с одним неизвестным состоит в том, что на координатную прямую наносятся множества решений каждого неравенства, а потом выделяется их общая часть.

Решение уравнений и неравенств с модулями связывается с геометрической интерпретацией модуля разности чисел. Например, решение уравнения х — а = b сводится к нахождению на координатной прямой точек, удаленных от точки с координатой а на расстояние Ь.

Использование координатной плоскости позволяет применить графические методы к решению и исследованию уравнений, неравенств и их систем как с одним, так и с двумя неизвестными. Один из самых ярких примеров использования графических методов в курсе школьной математики — прием графического представления системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными. Этот приём используется, главным образом, для того, чтобы провести исследование этого класса систем. В качестве подготовительного этапа необходимо рассмотреть график линейного уравнения с двумя неизвестными. Построение этого графика осуществляется при помощи преобразования данного уравнения к виду у = / (*), где / (х) - линейная функция, и использования сведений о графике линейной функции (график уравнения х = с рассматривается отдельно).

Графические приемы эффективно применяются для изображения результатов исследования там, где чисто аналитическая запись громоздка.

Иногда графический метод применяется и для фактического нахождения числовых значений корней. Например, графический способ решения уравнения с одним неизвестным/(*) = g (;t) состоит в нахождении абсцисс точек пересечения графиков функций у =f (x) ny=g (х), фактически при этом используется.

_ Гу = /(*).

графический метод решения системы уравнении 1 ^ ^ ^.

Область применения графического метода решения уравнений и систем в отличие от исследования ограничена, так как с его помощью можно рассматривать только задания, в которых требуемые для построения графики хорошо известны, а искомые точки пересечения нс выходят за пределы чертежа; кроме того, на отыскание решений влияют неизбежные погрешности чертежа.

Таким образом, мы видим, что графические методы, использующие координатную плоскость, могут играть важную роль в решении и исследовании уравнений и неравенств с одним неизвестным, уравнений и систем уравнений с двумя неизвестными. Роль этого метода в применении к неравенствам с двумя неизвестными (и их системам) иная — здесь он используется только для изображения ответа; часто это единственная форма, в которой ответ может быть указан.

4. Синтез материала линии уравнений и неравенств. Последняя ступень в освоении школьной теории уравнений и неравенств относится к организации имеющихся у учащихся знаний и опыта решения уравнений и неравенств в единую целостную систему. Для этой ступени характерны более сложные задания, в которых возрастает роль таких компонентов, как распознавание возможности сведения задания к одному из типовых классов, организация процесса решения. Здесь следует проводить разбор решаемых заданий, выделять особенности различных классов заданий и их общие черты, отмечать ценность тех или иных применяемых средств.

Но своему положению в курсе алгебры эта ступень может быть отнесена к прохождению последних тем курса и к итоговому повторению; в результате формируется общая картина связей изученных классов уравнений, неравенств и их систем.

В курсе математики старших классов учащиеся сталкиваются с новыми классами уравнений, неравенств, систем или с углубленным изучением уже известных классов. Однако это мало влияет на уже сформированную систему; они дополняют её новым фактическим содержанием, не меняя сложившиеся связи, соединяющие различные классы.

Историческая справка Алгебра вырастала из арифметики, из вычислительной практики людей. Первые алгебраические тенденции роста проявились очень рано. Вначале они представляли собой стремление группировать однотипные задачи и формулирован" возможно более общие правила их решения. У них была общая особенность: неизвестное, которое требуется отыскать по условию задачи, получало своё особое название, а затем обозначалось специальным символом. Это имело место уже в древнеегипетских папирусах за две тысячи лет до н. э. В них неизвестное обозначалось словом, которое ученые переводят как «куча» или «вее вместе». В течение всей истории алгебры и алгебраического метода выделение и обозначение неизвестной было непременным признаком ал гсбра и ч н ости суж; юн и й.

В более поздней математике Древней Греции произошло отделение геометрической части математических знаний, как обладающей наивысшей по тем временам общностью, от числовых её компонентов. Поэтому в источниках математики Древней Греции элементы алгебраического характера представлены в двух разновидностях: в виде геометрической алгебры. изложенной во второй книге «Начал» Нвклида, и в буквенно-символическом виде, каким был неопределенный анализ Диофанта.

«Арифметика» Диофанта, которую относят к III в. н. э. резко отличается от дошедших до нас классических сочинений того времени постановкой задач, методикой их решения, алгебраической трактовкой величин и действий над ними.

Диофант рассматривал задачи из неопределенного анализа. Он отыскивал рациональные решения таких систем алгебраических уравнений, в которых число неизвестных превышает число уравнений. Эта проблематика очень трудна и является актуальной и в наше время, сё теперь чаще называют диофантовым анализом.

«Арифметика» Диофанта состояла из 13 книг (частей); сохранились только первые 6 книг. В начале сочинения введена развитая алгебраическая символика и определен способ подхода к решению задач, характерный для алгебры. В «Арифметике» величины обозначены порядковыми буквами греческого алфавита, введены специальные символы для неизвестной и для первых ее шести степеней. Показатели степеней у Диофанта нс только положительные, но и отрицательные. Имеются специальные обозначения для свободного члена, для знака вычитания и знака равенства. Для сложения специального знака ещё не существовало, слагаемые просто писали рядом. Явно были сформулированы правила алгебраических операций, в том числе правило умножения и деления степеней неизвестной, правило перенесения членов уравнения с одной стороны знака равенства на другую и др. Без такого аппарата невозможно было справляться с такими трудными задачами, как задачи диофантова анализа.

В истории математики отсутствуют сведения о предшественниках и последователях Диофанта, которые бы продолжали его работу.

Геометрическая алгебра и диофантов анализ остались изолированными друг от друга.

Нс сохранилось ничего, что говорило бы о связях между обоими направлениями. Тем нс менее, историки утверждают, что элементы алгебры со времен древнегреческой математики, т. е. приблизительно с начала нашего летосчисления, начали свой исторический путь параллельно в двух формах (интерпретациях): геометрической и буквенно-символической. Эти две линии развития были восприняты в их взаимосвязи и в последующие времена. В качестве одного из следствий этого в алгебре и вообще в математике установились и сохранились до наших дней геометрические термины (квадрат, куб, линейные уравнения и др.) для обозначения чисто алгебраических объектов.

Первые века нашей эры, как известно, не были благоприятными для развития наук, в том числе и для математики. Только значительно позже, в государствах средневекового Востока, стали возникать научные центры, возрождались занятия математикой не только прикладной, но и теоретической. Научные сочинения в те времена были написаны на арабском языке, который являлся официальным языком многих государств от Испании до Индии. Поэтому математику этого периода нередко называют арабской или математикой стран ислама.

В трудах арабских математиков элементы атгебры объединились, их общность была осознана и алгебра, таким образом, выделилась в самостоятельную область математики.

Основополагающим сочинением по алгебре был трактат узбекского математика и астронома IX в. аль-Хорезми «Китаб апь-Джебр валь-Мукабапа». В переводе это означает: книга об операциях джебр (восстановления) и кабала (приведения). Первая операция, из названия которой получилось название для всей алгебры, состоит в переносе членов уравнения с одной стороны знака равенства в другую. Вторая — является приведением подобных членов в уравнении. Решение уравнений в этот период рассматривается как самостоятельная наука. В книге аль-Хорезми содержатся систематические решения уравнений 1-й и 2-й степени вида:

Хорезми приводит как арифметические, так и геометрические решения приведенных уравнений. Метод нахождения геометрических решений состоит в приравнивании площадей, специально подобранных для геометрической интерпретации уравнения.

Книга Хорезми пользовалась большой известностью. Термин «алгебра» укоренился в математике. Осталось в этой науке и имя автора (аль-Хорезми) в латинизированном виде: алгоритм. Хорезми не высказывал мысли о приоритете в алгебре. Видимо, оба приёма джебр и кабала — были уже широко распространены в его время.

Алгебраические арабские трактаты IX — XV вв. кроме решения уравнений 1-й и 2-й степени, включали в себя и кубические уравнения. К ним приводили разнообразные геометрические задачи: а) рассечение шара плоскостью; б) трисекция угла; в) отыскание стороны правильного девятиугольника; г) отыскание стороны правильного семиугольника и др.

Методы решения кубических уравнений были разнообразны. В одних трактатах содержатся попытки численного решения этих уравнений, в других строится теория решения кубических уравнений с помощью пересечения конических сечений. Последнее направление основывалось на получении геометрического образа положительного корня путем пересечения подходящим образом подобранных конических сечений.

В трудах математиков средневекового Востока алгебраические элементы были впервые выделены и собраны в новый специальный отдел математики, был сформулирован предмет этого отдела науки и построена систематическая теория. Вот что писал об алгебре и её методе среднеазиатский математик Омар Хайам (ок. 1048 — после 1122): «Алгебра есть научное искусство. Её предмет это абсолютное число и измеримые величины, являющиеся неизвестными, но отнесенные к какой-либо известной вещи так. что их можно определить; эта известная вещь есть количество или индивидуально определенное отношение, и к этой известной вещи приходят, анализируя условия задачи; и в этом искусстве ищут соотношения, связывающие данные в задачах величины с неизвестной, которая вышеуказанным образом составляет предмет алгебры. Совершенство этого искусства состоит в знании математичсских методов, с помощью которых можно осуществить упомянутое определение как числовых, так и геометрических неизвестных… Алгебраические решения, как это хорошо известно производятся лишь с помощью уравнения, то есть приравниванием одних степеней другим» [14, с.72].

Дальнейшее формирование алгебры происходило в странах Европы, где сложилась благоприятная для этого обстановка. Математика испытывала воздействие практических запросов техники и мореплавания. Темп научной жизни к XV в. заметно ускорился. В системе наук математика заняла центральное место как основа наук, как азбука естествознания, или натуральная философия. Это упрочило её положение и ускорило процесс создания теоретических частей, предпосылок новых успехов. Наибольшие успехи наметились в построении формально символического аппарата алгебры и в тригонометрии. В XV — XVI вв. было произведено обобщение понятия числа, понятия степени, введены радикалы и операции над ними и др.

Большим практи чески м успехом было решение в ради казах уравнений 3-й и 4-й степени. Формулы для решения этих уравнений открыли итальянские ученые Д. Ферро, Н. Тарталья, а затем Кардано. Ученик Кардано Л. Феррари (1522 — 1565) открыл и метод решения уравнений 4-й степени путем сведения задачи к кубической резольвенте.

Рост содержания математических знаний всегда тесно связан с развитием математической символики. Она активно воздействует на математику и сама приобретает оперативные свойства. Именно развитая символика делает алгебру наукой об операциях над общими классами множеств: чисел, векторов, тензоров, матриц и др.

В рассматриваемый период происходил быстрый переход от словесной (риторической) алгебры к алгебре символической путем сокращения слов, а затем введения символов.

Единую, последовательно введенную систему алгебраических символов первым дал французский математик Ф. Виег (1540 — 1603). С введением буквенной символики алгебра начинает развиваться как общая наука о буквенных вычислениях — тождественных преобразованиях буквенных формул, решении алгебраических уравнений и т. п. [10, с. 114]. Вместе с ней появляется и новый метод — алгебраический, заключающийся в употреблении букв и буквенных выражений, над которыми производятся преобразования по определенным правилам. Его ещё называют методом буквенных вычислений [9, с. 249].

Новой алгебре Ф. Виег посвятил главный труд своей жизни — «Введение в искусство анализа». Благодаря буквенной символике стало впервые возможным выражение уравнений, их свойств общими формулами. Объектами математических операций стали не числовые задачи, а сами алгебраические выражения. Именно этот смысл вкладывал Виет в характеристику своего исчисления как «искусства, позволяющего хорошо делать математические открытия».

Алгебра Виета была ещё несовершенной и имела большие недостатки. Необходимо было сочетать эффективность алгебраических приёмов со строгостью античных геометрических построений, хорошо знакомых Виету и представлявших, по его мнению, образцы подлинно научного анализа. Эта видовая трактовка величин, обладающих размерностью, делала новую алгебру «тяжелой». Кроме того, в ней не было ещё общей трактовки степеней, все степени были натуральные и т. д.

Алгебру Виета впоследствии вытеснила алгебра Декарта. Однако известно, что Ферма, изучив алгебру Виета, придерживался её формы, когда строил аналитическую геометрию. Предполагают, что параллелизм между свойствами уравнений и геометрическими построениями, регулярно проводимый Виетом, сыграл свою роль в формировании идей аналитической геометрии в XVII в. Он послужил исходным пунктом развития новой науки.

Таким образом, благодаря работам Ф. Виета. в европейской математике к концу XVI в. сформировалась алгебра как наука о решении уравнений. Первые элементы алгебры появились сразу в двух равноправно существующих интерпретациях: геометрической и буквенносимволической. Систематизация алгебраических сведений и построение алгебры как особой части математики проходило также в двух равносильных и равноправных интерпретациях. К середине XVIII в. алгебра сложилась примерно в том объёме, который теперь принято называть.

«элементарной» алгеброй.

Как уже подчеркивалось выше, алгебра на всех этапах своего исторического пути развивалась не изолированно. Она вырастала из арифметики. Арифметические и геометрические элементы были всегда неотъемлемыми компонентами алгебры. Успехи алгебры на определенном уровне развития сыграли важную роль в появлении аналитической геометрии и математического анализа, неотъемлемыми частями которых являются их алгебраические составляющие.

В процессе исторического развития точка зрения на предмет алгебры несколько раз существенно менялась. В конце XVIII в. и начале XIX в. постепенно одна из задач алгебры, а именно теория решения алгебраических уравнений, начала считаться центральной. Алгебра поэтому стала определяться как теория алгебраических уравнений.

Наряду с теорией алгебраических уравнений с одним неизвестным развивается теория систем алгебраических уравнений с несколькими неизвестными, в частости систем линейных уравнений. В связи с исследованием таких систем возникают понятия матрицы и определителя. В дальнейшем матрицы становятся предметом самостоятельной теории — алгебры матриц.

Начиная с середины XIX в., центр тяжести в алгебраических исследованиях постепенно перемещается с теории уравнений на изучение произвольных алгебраических операций. Поэтому современная алгебра определяется как «часть математики, посвящённая изучению алгебраических операций» [10, с. 114] или как «наука о системах объектов той или иной природы, в которых установлены операции, по своим свойствам более или менее сходные со сложением и умножением чисел. Такие операции называются алгебраическими».

Алгебра классифицирует системы с заданными на них алгебраическими операциями по их свойствам и изучает различные задачи, возникающие в этих системах, включая и задачу решения и исследования уравнений, которая в новых системах объектов получает новый смысл (решением уравнения может быть вектор, матрица, оператор и т. д.). Этот новый взгляд на алгебру, оформившийся окончательно лишь в XX в., способствовал дальнейшему расширению области применения алгебраических методов, в т. ч. и за пределами математики. в частности в физике. Кроме того, он укрепил связи алгебры с другими отделами математики и усилил влияние алгебры на их дальнейшее развитие.