Приемы устного счета

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ.

«ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ».

(ТГПУ) Физико-математический факультет Кафедра математики, теории и методике обучения математике КУРСОВАЯ РАБОТА Приемы устного счета Научный руководитель:

Доцент кафедры математики, теории и методики.

обучения математике Фомина Е. А.

Выполнил: Студент 412 гр. Ни А. А.

Томск — 2013.

Введение

Данная тема может показаться неактуальной в связи с повсеместным применением калькуляторов. Но хочется обратить внимание на ряд причин, которые говорят в пользу владениями приёмами устного счета. Во первых — это в значительной мере тренирует память, особенно в период активного развития интеллектуальных способностей человека, когда закладывается база его логического способа мышления. Во вторых — умение производить в уме логические математические операции способствует формированию абстрактного мышления человека, что в принципе необходимо при изучении алгебры, математики и прочих точных наук. В — третьих, под рукой может не оказаться калькулятора.

Данные приёмы можно использовать на уроках математики в 5 — 7 классах, на кружках в лагерях, на факультативах.

Благодаря таким задачам учащиеся быстрее справляются с поставленными задачами, становятся наблюдательней и находят несколько путей решения.

Большинство занимательных задач мы находим в книгах Я. И. Перельмана. В основном они используются для учащихся средней школы, в виде приятной умственной гимнастики. Например, во время моей учебы в средней школе, нам давали решать задачи на счет, с неверным условием. Они направлены для тренировки находчивости, внимания и смекалки. В свою очередь я тоже, во время прохождения учебной практики и, непосредственно работая с учащимися средней школы, применял логические задания со спичками.

Яков Исидорович Перельман — российский учёный, один из основоположников жанра научно-популярной литературы и основоположник занимательной науки. Я. И. Перельман родился 4 декабря 1882 года в городе Белосток Гродненской губернии Российской империи в еврейской семье. Его отец работал счетоводом, мать преподавала в начальных классах. Родной брат, Осип Исидорович, был прозаиком и драматургом. Отец скончался в 1883 году, и матери одной пришлось воспитывать детей. Она сделала всё, чтобы дети получили достойное образование. В 1890 году Яков пошёл учиться в первый класс начальной школы, а 18 августа 1895 года поступил в Белостокское реальное училище. 23 сентября 1899 года он опубликовал в газете «Гродненские губернские ведомости» под псевдонимом «Я. П.» очерк «По поводу ожидаемого огненного дождя». В августе 1901 года в Санкт-Петербурге был зачислен в Лесной институт. Практически с первого курса он начал сотрудничать с журналом «Природа и люди». Первый написанный им очерк — «Столетие астероидов» — был напечатан в № 4 журнала в 1901 году. В 1903 году умерла мать. В 1904 году Перельман, продолжая учиться в Лесном институте, стал ответственным секретарём журнала «Природа и люди». В 1913 года вышла в свет первая часть книги «Занимательная физика». Книга имела ошеломляющий успех у читателей. 16 марта 1942 года Яков Перельман скончался от общего истощения, вызванного голодом, в осаждённом немецкими войсками блокадном Ленинграде.

Целью моей работы является подбор задач для устного счета, исследование признаков делимости и подбор занимательных задач на развитие логики, мышления и сообразительности для учащихся 5−7 классов.

Глава 1. Приемы устного счета.

§ 1. Китайский алгоритм.

«Китайский» алгоритм умножения трехзначных чисел, имеющий популярность на сайте Youtube, основан на законе дистрибутивности операции умножения, относительно операции сложения:

(100а+10b+c)· (100e+10f+h)=.

10000ae+1000af+100ah+1000be+100bf+10bh+100ce+10cf+ch=.

10000ae+1000(af+be)+100(ah+bf+ce)+10(bh+cf)+ch.

Покажем, как работает этот алгоритм на примере умножения 123 и 241.

20 000 + 8000 + 1500 + 140 + 3 = 20 000 + 8000 + (1000 + 500) + (100 + 40) + 3.

20 000 + 9000 + 600 + 40 + 3 = 29 643.

§ 2. Умножение на однозначное число Умножение на 4.

Чтобы устно умножить число, а на 4, его дважды удваивают.

Обоснование: а· 4=а·2·2.

Например:

122· 4=244·2=488.

335· 4=670·2=1340.

Умножение на 5.

Чтобы устно умножить число на 5, его умножают на 10 и делят на 2, то есть приписывают к числу 0 и делят пополам.

Обоснование: а· 5=а·10:2.

Например:

74· 5=74·10=740:2=370.

243· 5=243·10=2430:2=1215.

При умножении числа на 5 четного числа 2а, проще сначала делить число пополам, а затем умножить результат на 10.

Обоснование: 2а· 5=2а:2·10=а·10.

Например:

74:2· 10=37·10=370.

Умножение на 6.

Чтобы умножить число на 6 его умножают на 5 и прибавляют множимое. Как мы уже знаем, чтобы умножить число на 5 его умножают на 10 и делят на 2.

Обоснование: а· 6=а·(5+1)=а·10:2+а.

Например:

36· 6=36·5+36=36:2·10+36=180+36=216.

164· 6=164·5+164=164:2·10+164=820+164=984.

Умножение на 8.

Чтобы умножить число на 8, его трижды удваивают.

Обоснование: а· 8=а·2·2·2=2а·2·2=4а·2.

Например:

37· 8=74·4=148·2=296.

217· 8=434·4=868·2=1736.

Умножение на 9.

Чтобы умножить число на 9, умножают его на 10 и отнимают множимое.

Обоснование: а· 9=а·(10−1)=10а-а.

Например:

89· 9=89·10−89=801.

375· 9=375·10−375=3375.

§ 3. Умножение на двузначное число Умножение на 11.

Чтобы устно умножить число на 11, его умножают на 10 и прибавляют множимое.

Обоснование: а· 11=а·(10+1)=10а+а.

Например:

87· 11=87·10+87=870+87=956.

645· 11=6450+645=7095.

Умножение на 15.

Чтобы устно умножить число на 15, его умножают на 1,5 (случай рассматривается ниже) и умножают на 10.

Обоснование: а· 15=а·1,5·10=1,5а·10.

Например:

18· 15=18·1,5·10=270.

45· 15=45·1,5·10=675.

Умножение на 25.

Чтобы устно умножить число на 25, его умножают на 100 и делят на 4.

Обоснование: а· 25=а·100:4=100а:4.

Например:

74· 25=74·100:4=7400:4=1850.

484· 25=48 400:4=12 100.

Умножение на 50.

Чтобы устно умножить число на 50, его умножают на 100 и делят на 2.

Обоснование: а· 50=а·100:2=100а:2.

При умножении числа на 50 четного числа 2а, проще сначала делить число пополам, а затем умножить результат на 100.

Например:

46· 50=46:2·100=23·100=2300.

847· 50=847·100=84 700:2=42 350.

Умножение на 99.

Чтобы устно умножить число на 99, его умножают на 100 и отнимают множимое.

Обоснование: а· 99=а·(100−1)=100а-а.

Например:

46· 99=46·100=4600−46=4554.

745· 99=745·100=74 500−745=73 755.

§ 4. Умножение на дробные числа Умножение на 1 ?.

Чтобы устно умножить число на 1 ?, прибавляют к множимому его половину.

Обоснование: а· 1? = а· 1+ а· ?

Например:

34· 1 ?=34· 1+34·?=34+17=51.

23· 1 ?=23· 1+23·?=23+11,5=34,5.

Умножение на 1 ?.

Чтобы устно умножить число на 1 ?, прибавляют к множимому его четверть.

Обоснование: а· 1? = а· 1+а· ?

Например:

48· 1 ?=48· 1+48· ?=48+12=60.

56· 1 ?=56· 1+56· ?=56+14=70.

Умножение на 2 ?.

Чтобы устно умножить число на 2 ?, к удвоенному числу прибавляют половину множимого.

Обоснование: а· 2? = а· 2+а· ?

Например:

18· 2 ?=18· 2+18·? =36+9=45.

39· 2 ?=39· 2+39·?=78+19,5=97,5.

Умножение на ?.

Чтобы устно умножить число на ?, умножают число на 1? и делят пополам.

Обоснование: а·? = (а· 1 ?):2.

Например:

30·? =30· 1 ?:2=45:2=22,5.

§ 5. Деление на однозначное число Деление на 4.

Чтобы устно разделить число на 4, его дважды делят пополам.

Обоснование: а:4 = а: (2· 2).

Например:

76:4=38:2=19.

236:4=118:2=59.

Деление на 8.

Чтобы устно разделить число на 8, его трижды делят пополам.

Обоснование: а:8 = а: (2· 2·2).

Например:

464:8=232:4=116:2=58.

516:8=258:4=179:2=64 ?

Деление на 5.

Чтобы устно разделить число на 5, последнюю цифру в удвоенном числе отделяют запятой.

Обоснование: а:5 = 2а: 10.

Например:

84:5=168:10=16,8.

237:5=474:10=47,4.

§ 6. Деление на двузначное число Деление на 15.

Чтобы устно разделить число на 15, удвоенное число делят на 30.

Обоснование: а:15 = 2а: 30.

Например:

240:15=480:30=48:3=16.

462:15=924:30=308:10=30,8.

Деление на 25.

Чтобы устно разделить число на 25, его нужно разделить на 100 и умножить на 4.

Обоснование: а:25=а:100· 4.

Например:

12 100:25=12 100:100· 4=121·4=484.

3100:25=3100:100· 4=31·4=124.

Деление на 50.

Чтобы устно разделить число на 50, его нужно разделить на 100 и умножить на 2.

Обоснование: а:50=а:100· 2.

Например:

21 600:50=21 600:100· 2=216·2=432.

8600:50=8600:100· 2=86·2=172.

§ 7. Деление на дробные числа Деление на 1 ?.

Чтобы устно разделить число на 1 ?, удвоенное число делят на 3.

Обоснование: а:1? = 2а: 3.

Например:

36: 1 ?=72:3=24.

53: 1 ?=106:3=35,3.

Деление на ?.

Чтобы устно разделить число на ?, его умножают на 2.

Обоснование: а:? = а· 2.

Например:

27:? =27· 2=54.

85: ?=85· 2=170.

Деление на ?.

Чтобы устно разделить число на ?, его умножают на 4.

Обоснование: а:? = а· 4.

Например:

36:? =36· 4=144.

73: ?=73· 4=292.

Деление на ?.

Чтобы устно разделить число на ?, его умножают на 4 и делят на 3.

Обоснование: а:? = (а· 4):3.

Например:

15:? =15· 4: 3=60:3=20.

47:? =47· 4:3=188:3=62,6.

§ 8. Вычисление по формулам сокращенного умножения.

1.Квадрат суммы двух величин равен квадрату первой плюс удвоенное произведение первой на вторую плюс квадрат второй.

(a+b)²=a²+2ab+b².

Например:

(40+1)² = 40² + 2 · 40 · 1 + 1² = 1600 + 80 + 1 = 1681.

2.Квадрат разности двух величин равен квадрату первой минус удвоенное произведение первой на вторую плюс квадрат второй.

(a-b)²=a²-2ab+b².

Например:

98² = (100 — 2)² = 100² — 2 · 100 · 2 + 2² = 10 000 — 400 + 4 = 9604.

3.Произведение суммы двух величин на их разность равно разности их квадратов.

(a+b)(a-b)=a²-b².

Например:

(100 — 1)(100+1)=100²-1²=9999.

4.Куб суммы двух величин равен кубу первой плюс утроенное произведение квадрата первой на вторую плюс утроенное произведение первой на квадрат второй плюс куб второй.

(a+b)³=a³+3a²b+3ab²+b³.

Например:

(8+5)³=8³+3· 8²·5+3·8·5²+5³=512+960+600+125=2197.

5.Куб разности двух величин равен кубу первой минус утроенное произведение квадрата первой на вторую плюс утроенное произведение первой на квадрат второй минус куб второй.

(a-b)³=a³-3a²b+3ab²-b³.

Например:

(8−5)³=8³-3· 8²·5+3·8·5²-5³=512−960+600−125=27.

6. Произведение суммы двух величин на неполный квадрат разности равно сумме их кубов.

(a+b)(a²-ab+b²)=a³+b³.

Например:

(3+4)(3²-3· 4+4²)=3³+4³.

7. Произведение разности двух величин на неполный квадрат суммы равно разности их кубов.

(a-b)(a²+ab+b²)=a³-b³.

Например:

(5−4)(5²+5· 4+4²)=5³-4³.

Глава 2. Признаки делимости Определение. Будем говорить, что целое число, а нацело делится на целое число b не равное 0 (а b) если существует целое число c, такое что a = b· c.

Свойства делимости.

1. Если, а b, то kаb.

Доказательство.

а b a = bc kа = k (bc) kа = (kb)c kаb.

2. Если, а b, b, то, а с.

Доказательство.

а b a = bk, b b = ст a = с (тk) а с.

3. Если, а с и b, то сумма (а + b) с.

Доказательство.

а с a = ст, b b = сk (а + b) = с (т + k).

Так как т и k — целые числа, то и т + k — это целое число. Значит, (а + b) с.

Следствие. Если сумма нескольких слагаемых делится на с и все слагаемые кроме одного делятся на с, то последнее слагаемое тоже делится на с.

Доказательство.

Пусть т = а₁ + а₂ + … + а_k-1 + а_k а_k = т — (а₁ + а₂ + … + а_k-1).

По условию:

т = сb, а₁ = cb₁, …, а_k-1 = cb_k-1.

а_k = c (b — (b₁ + … + b_k-1)) а_k с.

Признак делимости чисел на 2.

Число делится на 2, если последняя цифра числа делится на 2.

Обоснование: любое число можно представить в виде суммы разрядных слагаемых. Каждое слагаемое, начиная с десятков, делится на 2. Поэтому чтобы вся сумма делилась на 2, достаточно, чтобы последняя цифра числа делилась на 2 (Следствие из свойства 3).

Например:

172, 94,67 838, 1670.

Признак делимости чисел на 3.

На 3 делятся все натуральные числа, сумма цифр которых кратна 3.

Лемма. Для любого n? 1 (10ⁿ — 1) 3.

Доказательство. (ММИ).

1. При n = 1: (10¹ — 1) 3.

2. Пусть при n=k выполнено следующее: (10^k — 1) 3.

3. Докажем, что при n=k +1 выполнено следующее: (10^k+1 — 1) 3.

(10^k+1 — 1) = (10 · 10^k — 1) = [10(10^k — 1) + 9] 3, так как первое слагаемое 10(10^k — 1) делится на 3 по предположению и второе слагаемое 9 также делится на 3.

устный счет делимость число Обоснование: = a_n · 10ⁿ + … + 10а₁ + а₀ =.

а_n(10ⁿ — 1) + a_n + … + (10 — 1) а₁ + а₁ + а₀ =.

[а_n(10ⁿ — 1) + … + 9a₁] + [а_n +… + а₁ + а₀].

Первое слагаемое [а_n(10ⁿ — 1) + … + 9a₁] нацело делится на 3 по лемме. Для того чтобы вся сумма делилась на 3, нужно чтобы второе слагаемое тоже делилось на 3, а второе слагаемое [а_n +… + а₁ + а₀] - это и есть сумма всех цифр (Следствие из свойства 3).

Например:

39 (3 + 9 = 12; 12 3 = 4);

16 734 (1 + 6 + 7 + 3 + 4 = 21; 213 = 7).

Признак делимости чисел на 4.

На 4 делятся все натуральные числа, две последние цифры которых составляют число, кратное 4.

Обоснование: любое число можно представить в виде суммы разрядных слагаемых. Каждое слагаемое, начиная с сотен, делится на 4. Поэтому чтобы вся сумма делилась на 4, достаточно, чтобы число образованное последними двумя цифрами, было кратно 4 (Следствие из свойства 3).

Например:

124 (24 4 = 6);

103 456 (56 4 = 14).

Признак делимости чисел на 5.

На 5 делятся все натуральные числа, оканчивающиеся на 5 или 0.

Обоснование: любое число можно представить в виде суммы разрядных слагаемых. Каждое слагаемое, начиная с десятков, делится на 5. Поэтому чтобы вся сумма делилась на 5, достаточно, чтобы последняя цифра числа делилась на 5 (Следствие из свойства 3).

Например:

125; 10 720.

Признак делимости чисел на 6.

На 6 делятся те натуральные числа, которые делятся на 2 и на 3 одновременно (все четные числа, которые делятся на 3).

Обоснование: Так как 6 = 2· 3, и НОД (2, 3) = 1, то для того что бы число делилось на 6 нужно чтобы это число делилось на 2 и на 3.

Например:

6 — четное.

1 + 2 + 6 = 9.

9 3 = 3.

Следовательно 126 делится на 6.

Признак делимости чисел на 9.

На 9 делятся те натуральные числа, сумма цифр которых кратна 9.

Обоснование проводится аналогично обоснованию признака делимости на 3.

Например:

1 + 1 + 7 + 9 = 18.

18 9 = 2.

Следовательно, 1179 делится на 9.

Признак делимости чисел на 10.

На 10 делятся все натуральные числа, оканчивающиеся на 0.

Обоснование: любое число можно представить в виде суммы разрядных слагаемых. Каждое слагаемое, начиная с сотен, делится на 10. Поэтому чтобы вся сумма делилась на 10, достаточно, чтобы последняя цифра числа оканчивалась на 0.

Например: 30; 980; 1200; 1570.

Признак делимости чисел на 11.

На 11 делятся натуральные числа, у которых сумма цифр, занимающих четные места, равны сумме цифр, занимающих нечетные места. Или: разность суммы цифр нечетных мест и суммы цифр четных мест кратна 11.

Обоснование: Любое число можно представить в виде суммы разрядных слагаемых:

= a_n · 10ⁿ + … + 10а₁ + а₀.

Докажем 2 леммы.

Лемма 1. Для любого n? 0 число 10²ⁿ⁺¹ +1 нацело делится на 11.

Доказательство. (ММИ).

1. При n = 0: (10¹ + 1) 11.

2. Пусть при n=k выполнено следующее: (10^2k+1 + 1) 11.

3. Докажем, что при n=k +1 выполнено следующее: (10^2k+3 + 1) 11.

(10^2k+3 + 1) = (10² · 10^2k+1 + 1) = [10²(10^2k+1 + 1) — 99] 11, так как первое слагаемое 10²(10^2k+1 + 1) делится на 11 по предположению и второе слагаемое — 99 также делится на 11.

Лемма 2. Для любого n? 0 число 10²ⁿ — 1 нацело делится на 11.

Доказательство. (ММИ).

1. При n = 1: (10² — 1) 11.

2. Пусть при n=k выполнено следующее: (10^2k — 1) 11.

3. Докажем, что при n=k +1 выполнено следующее: (10^2k+2 — 1) 11.

(10^2k+2 — 1) = (10² · 10^2k — 1) = [10²(10^2k — 1) + 99] 11, так как первое слагаемое 10²(10^2k — 1) делится на 11 по предположению и второе слагаемое 99 также делится на 11.

Имеем:

= a_n · 10ⁿ + a_n-1 · 10^n-1 + … + 10а₁ + а₀.

Пусть n — четное. Тогда:

= a_n · 10ⁿ + a_n-1 · 10^n-1 + … + 10а₁ + а₀ =.

= a_n · (10ⁿ — 1) + a_n + a_n-1 · (10^n-1 + 1) — a_n-1 + … + (10 + 1) а₁ — а₁ + а₀ =.

= [a_n · (10ⁿ — 1) + a_n-1 · (10^n-1 + 1) + … + (10 + 1) а₁] + [a_n — a_n-1 + … — а₁ + а₀] =.

[a_n · (10ⁿ — 1) + a_n-1 · (10^n-1 + 1) + … + (10 + 1) а₁] + [a_n +…+ а₀ — (a_n-1 + …+ а₁)].

Первое слагаемое в квадратных скобках нацело делится на 11 по леммам 1, 2. Для того чтобы вся сумма делилась на 11, нужно чтобы второе слагаемое тоже делилось на 11, а второе слагаемое состоит из разности суммы цифр состоящих на четных местах и на нечетных местах.

Аналогично доказывается при нечетном.

Например:

105 787 (1 + 5 + 8 = 14 и 0 + 7 + 7 = 14);

9 163 627 (9 + 6 + 6 + 7 = 28 и 1 + 3 + 2 = 6);

28 — 6 = 22; 22 11.

Признак делимости чисел на 25.

На 25 делятся те натуральные числа, две последние цифры которых составляют число, кратное 25.

Обоснование: любое число можно представить в виде суммы разрядных слагаемых. Каждое слагаемое, начиная с сотен, делится на 25. Поэтому чтобы вся сумма делилась на 25, достаточно, чтобы число образованное последними двумя цифрами, было кратно 25. Таких чисел всего 4: 00, 25, 50,75.

Например:

2 300 (00 25); 650 (50 25); 1 475 (75 25).

На доске:

10 ² + 11² + 12² + 13² + 14².

Заключение

.

Данная тема может показаться неактуальной в связи с повсеместным применением калькуляторов. Но хочется обратить внимание на ряд причин, которые говорят в пользу владениями приёмами устного счета. Во первых — это в значительной мере тренирует память, особенно в период активного развития интеллектуальных способностей человека, когда закладывается база его логического способа мышления. Во вторых — умение производить в уме логические математические операции способствует формированию абстрактного мышления человека, что в принципе необходимо при изучении алгебры, математики и прочих точных наук. В — третьих, под рукой может не оказаться калькулятора.

Данные приёмы можно использовать на уроках математики в 5 — 7 классах, на кружках в лагерях, на факультативах.

Целью моей работы является подбор задач для устного счета, исследование признаков делимости и подбор занимательных задач на развитие логики, мышления и сообразительности для учащихся 5−7 классов.

1. Биография Перельмана Я. И. http://ru.wikipedia.org/wiki/%CF%E5%F0%E5%EB%FC%EC%E0%ED,_%DF%EA%EE%E2_%C8%F1%E8%E4%EE%F0%EE%E2%E8%F7.

2. Китайский счет. URL: http://www.youtube.com/watch?v=eWqEcsMg4Y0.

3. Признаки делимости: http://shkolo.ru/priznaki-delimosti-naturalnyih-chisel-na-2−3-4−5-6−9-10−11−25-i-razryadnuyu-edinitsu/.

4. Перельман Я. И. Занимательная арифметика. Загадки и диковинки в мире чисел / Я. И. Перельман. — М.: АСТ, 2010. — 255 с.

5. Техника быстрого счета. Быстрый счет в уме. Сайт: «Вся физика».

URL: http://www.all-fizika.com/article/index.php?id_article=224.