Уравнения и неравенства, содержащие модуль

В школьном курсе математики часто встречаются уравнения и неравенства, содержащие переменную под знаком абсолютной величины (под знаком модуля). Для решения таких уравнений и неравенств необходимо разбить числовую ось на отдельные промежутки так, чтобы на каждом из них можно было записать уравнение (неравенство), не используя знака абсолютной величины.

Аналитический метод решения уравнений и неравенств, содержащих модуль, требует часто утомительных рассмотрений уравнения или неравенства на интервалах знакопостоянсгва функций, стоящих под знаком модуля. Причем, полученный на каждом интервале результат необходимо постоянно проверять, входит он в заданный интервал или нет (что часто забывают делать учащиеся). Поэтому наиболее эффективен при решении подобных уравнений и неравенств графический метод. Обучение при этом целесообразно вести одновременно аналитическому и фафическому методам, что позволит проводить их сравнение, выбор среди них наиболее рационального. Графический метод будет способствовать к тому же осознанию и осмыслению решений уравнения (неравенства), полученных аналитическим путем.

Начинать обучение следует с решения простейших уравнений и неравенств, содержащих модули, предварительно познакомив учащихся с построением графиков функций у = I х I, у = I кх + b I, у = I ах¹ + bx + с I и др.

Рассмотрим примеры.

Пример 19. Решить уравнение | Зд; + 21 = 1.

Решение./. Алгебраический метод

1. Приравняем к нулю выражение, стоящее под знаком модуля:

Зд- + 2 = 0, откудах = -у.

• 2 2
• 2. Разобьем всю числовую ось на два промежутка (-оо; - -) и (- -; +ос).
• 3. На каждом изданных промежутков решим наше уравнение.

А) На промежутке (-оо; —) уравнение запишется в виде:

-Зх -2=1,.

откуда дг = -1 (входит в данный промежуток, значит, является корнем).

Б) На промежутке +оо) уравнение примет вид:

Здг + 2 = 1,.

откуда х = — (входит в данный промежуток, значит, является корнем).

• 4. Записываем ответ. О т в е т: Xi = -1, х-> = - -.
• 3

//. Графический метод

1. Построим в одной системе координат графики функций у = I Здг + 2 I и.

У2 = 1 (рис. 23).

Рис. 23.

• 2. Найдем абсциссы точек пересечения графиков А и В. Можно найти их по рисунку, но это будут приближенные значения, а можно найти их, решив уравнения:
  • -Здг — 2 = 1 и Здг + 2 = 1.

Первое уравнение составляем, исходя из того, что точка А лежит на отрицательной части графика, отображенной симметрично относительно оси ОХ, а второе уравнение, исходя из того, что точка В лежит на положительной ветви графика функции^.

Решая эти уравнения, находим точные значения абсцисс точек пересечения: Х = -1, лг₂ = •.

О т в е т: Лл = -, х₂ = .

В данном случае графический метод предполагает и аналитические действия (решение уравнений). Приведем ещё примеры.

Пример 20. Решить уравнение 2х — ll-lx-3l-2 = 0.

Решение./. Алгебраический метод

1. Приравняем к нулю выражения, стоящие под знаком модуля, и решим полученные уравнения:

л: — 1 = 0, откуда х = 1 и х — 3 = 0, откуда .г = 3.

2. Разобьем всю числовую ось на промежутки точками х = 1 и х = 3. Получим три промежутка: (-оо; 1), [1; 3), [3; +оо). На каждом промежутке решим наше уравнение.

А) На промежутке (-оо; 1) уравнение запишется в виде:

— 2. v + 2+д— 3- 2 = 0 илид — 3 = 0,.

откуда х = -3 (входит в данный промежуток, значит, является корнем).

Б) На промежутке [1; 3) уравнение примет вид:

2х — 2 + х — 3 — 2 = 0 или Злг — 7 = 0,.

откуда л- = j (входит в данный промежуток, значит, является корнем).

В) На промежутке [3; +сс) уравнение примет вид:

2х — 2 — х + 3 — 2 = 0 или х — 1 = 0,.

откуда .г = 1 (не входит в данный промежуток, значит, не является корнем). Ответ:*! = -3,*₂ =.

II. Графический метод

• 1. Преобразуем уравнение к виду:
• 2х-l| = U-3l + 2.
• 2. Построим в одной системе координат графики функций у = 2 | х — l| и У2 = I х — 3 I — 2 (рис. 24). Графики удобно строить по трём точкам: первая точка такая, при которой значение модуля равно нулю, она же является вершиной данного графика. Вторая точка берется левее этого значения, а третья — правее этого значения. В нашем случае таблица значений функций выглядит так:

х у=2х — l| х у2 = 1 х — 31 + 2.

• 1 0 — вершина 3 2 — вершина
• 0 2 0 5
• 2 2 5 4
• 3. Абсциссы точек пересечения графиков являются корнями данного уравнения. Их можно «считать» с рисунка, а можно найти, решив уравнения:
• 1) -2v + 2 = -jr + 3+2, откуда jc = -3;
• 2) 2 г — 2 = -дг + 3 + 2, откуда х = j.

О т в е т: Х = -3, лэ ⁼ -j •.

При составлении первого уравнения учитываем то, что пересекаются отрицательные ветви графиков, отображенные симметрично относительно оси ОХ (второй график к тому же поднят на три единицы вверх). В соответствии с этим раскрываем модули. Аналогично, при составлении второго уравнения учитываем то, что пересекаются положительная ветвь графика у с отрицательной ветвью графика функции >'₂.

Таким образом, рассмотренные примеры решения уравнений с модулем показывают, что графический метод представляет собой интеграцию геометрических действий (построение графиков функций) и аналитических действий (тождественные преобразования, решение уравнения). Приведем ещё несколько примеров.

Пример 21. Решить уравнение I jc + l| +1 х — l| = 1.

Решение./. Алгебраический метод

1. Разобьем всю числовую ось точками х = -1 и х = 1 на гри промежутка: (-оо; -1), [-1; 1) и [1; + оо). На каждом промежутке решим наше уравнение.

A) На промежутке (-оо; -1) уравнение запишется в виде:

—х — 1 — х + 1 = 1 или -2х = 1,.

откуда .v = - - (нс входит в данный промежуток, значит, нс является корнем).

Б) На промежутке [-1; 1) уравнение примет вид: х±х+ 1 = 1,.

откуда 2=1- неверное равенство, значит, на этом промежутке уравнение тоже нс имеет корней.

B) На промежутке [1; +<*) уравнение примет вид:

* + 1 + х — 1 = 1,.

откуда х = ~ (не входит в данный промежуток, значит, не является корнем). Ответ: корней нет.

Построим геометрический образ этого уравнения, используя графики.

//. Графический метод

Рис. 25.

• 1. Преобразуем уравнение к виду: |х + ll = 1 -|дгll .
• 2. Построим в одной системе координат графики функций! (рис. 25)

Ух=х+ 1|ид>₂⁼ 1 -1 -v — 11.

Как видим из рисунка, графики функций у и у2 не пересекаются, значит, данное уравнение, не имеет корней.

Ответ: корней нет.

Мы рассмотрели случаи, когда уравнения, содержащие модуль, имеют конечное число корней (графики пересекаются) и не имеют корней (графики не пересекаются). Возможны также случаи, когда такие уравнения имеют бесконечное множество корней (графики полностью или частично совпадают). Геометрический образ одного из таких уравнений.

U + ll = 2 —I JC— ll представлен на рисунке 26. Графики функций Vi и у₂ на отрезке [-1; 1] совпадают, значит, уравнение имеет бесконечное множество корней, отрезок [-1; 1 ].

Ответ: [-1; 1].

Рис. 26.

Графический метод решения уравнений, содержащих модуль, требует от учащихся следующих умений:

• 1) умение преобразовать уравнение к виду, удобному для использования графического метода;
• 2) умение строить графики функций, содержащих модуль;
• 3) умение устанавливать с помощью чертежа, имеет уравнение, содержащее модуль, решения или нет;
• 4) умение находить координаты точек пересечения графиков функций, стоящих в левой и правой частях уравнения;
• 5) умение правильно составлять уравнения для нахождения абсцисс точек пересечения графиков.

Рассмотрим теперь интеграцию алгебраического и геометрического методов решения неравенств, содержащих модуль. При этом будем использовать следующие свойства:

1. Неравенство 1×1 0, означает то же самое, что и двойное неравенствоа <�х т. е. при, а > 0 неравенство I х I < а равносильно неравенствуа < х < а.

2. Неравенство I х > а, где, а > 0, означает, что х > а или х < -а.

Пример 22. Решить неравенство.

U.V-3I >3.

Решение./. Алгебраический метод

Согласно свойству 2 данное неравенство означает, что (4х — 3) > 3 или (4х — 3) < -3. Решая эти неравенства, получаем: х > ^, х < 0.

Ответ: х — .

II. Графический метод

• 1. Построим в одной системе координат графики функций у = I 4х — 3| и у2 = 3 (рис. 27).
• 2. Найдем абсциссы точек пересечения

— 4. V + 3 = 3и4д;-3 = 3.

.Yi = 0, х₂ = |.

3. Геометрически решить данное неравенство — это значит, найти те значения л, при которых график функции^ расположен не ниже прямойу₂ = 3. Из рисунка видим, что это условие выполняется при х < 0 и «г > ^.

О т в е т: л; < 0, х > -.

В данном случае алгебраический метод оказался более рациональным, чем графический. Преимущество графического метода в его наглядности. Часто в неравенствах встречается нс один, а несколько модулей, приведем примеры.

Пример 23. Решить неравенство I 5 — л: I > 21 х — 21.

Решение./. Алгебраический метод

1. Разобьем всю числовую прямую на три промежутка: (- <�"; 2), [2; 5] и (5; +оо). На каждом из этих промежутков запишем данное неравенство без модуля и решим его.

А) На промежутке (- оо; 2) верны равенства I 5 -*1 = 5-* и х-2=-х + 2, и наше неравенство примет вид:

5-х > -2х + 4, откудах>-.

Учитывая данный промежуток, получаем решение исходного неравенства на этом промежутке: -1 < дг < 2.

Б) На промежутке [2; 5] верны равенства |5—дг| = 5—лги I д: — 2 | = л: — 2, поэтому наше неравенство примет вид:

5 — х > 2х — 4, откуда х < 3.

Рис. 28.

Учитывая данный промежуток, получаем решение неравенства на этом промежутке: 2<*<3.

В) На промежугке (5; +*>) верны равенства |5-х| = -5+хи || х — 21 = л: — 2, поэтому неравенство примет вид:

— 5 + х > 2х — 4, откуда х < -1. Учитывая данный промежуток, получаем, что решений на этом промежутке неравенство не имеет.

О т в с т: -1 < х < 3.

II. Графический метод 1. Построим в одной системе координат графики функций У =1 5-*| и>>₂ ⁼ 21 л:-21 (рис. 28).

• 2. Абсциссы точек пересечения графиков найдем, решив уравнения:
• 5 — х = -2х + 4и5-х = 2х-4, откуда Xj = -1, х₂ = 3.
• 3. Геометрически решить данное неравенство — это значит, найти тс значениях, при которых график функции у расположен не ниже графика функции

у2 = 21 х — 21.

Из рисунка видим, что это условие выполняется при -1 <�х < 3.

О т в е т: -1 < х < 3.

Графический метод, как мы видим, здесь является более рациональным, наглядным и не требует каких-либо особых умений, кроме умений выполнять построение графика функции, содержащей модуль.

Пример 24. Решить неравенство | х — l| +1 х + l| < 4.

Решение./. Алгебраический метод

1. Разобьем всю числовую прямую на три промежутка: (- оо; -1), [-1; 1] и (1; +оо). На каждом из этих промежутков запишем данное неравенство без модуля и решим его.

А) На промежутке (- оо; -1) верны равенства.

I JC-11 — — JC + 1 И | X + 11 =- X — 1, и наше неравенство примет вид: -2х < 4, откуда х > -2.

Учитывая данный промежуток, получаем решение исходного неравенства на этом промежутке: -2 < х < -1.

Б) На промежутке [-1; 1] верны равенства.

I X -11 =-х+ 1 и |х+ ll =х + 1,.

поэтому наше неравенство равносильно верному числовому неравенству 2 < 4, значит, все значения переменной, принадлежащие этому отрезку, входят в множество решений.

В) На промежутке (1; +сс) верны равенства.

I X — l| =х — 1 и | X + 11 =х + 1,.

поэтому получаем, что наше неравенство равносильно линейному неравенству 2х < 4, откуда х < 2.

Учитывая данный промежуток, получаем решение исходного неравенства на этом промежутке: 1<�х < 2. Объединяя полученные результаты, делаем вывод: неравенству удовлетворяют все значения переменной из интервала.

— 2 <�х < 2 и только они.

О т в е т: -2 < х < 2.

//. Графический метод 1. Построим в одной системе координат графики функцийу = х — ll +|x+ll иу₂ = 4. Построение графика функции yi выполняем отдельно на каждом из промежутков (- оо; -1), [-1; 1] и (1; +сс) (рис. 29). На промежутке (- оо; -1) это будет график функции.

у = -2 х, соответственно, на двух других промежутках у=2иу= 2х.

На интервале -2 < х < 2 график функции у расположен под графиком функции^" т. с. неравенство у₂ < 4 справедливо.

О т в е т: -2 < х < 2.

Можно было бы решить данное неравенство графически, преобразовав его сначала к виду:

I х — ll<-U+ ll + 4.

Рассмотрим случай, когда неравенство, содержащее модуль, выполняется при любом значении х.

Пример 25. Решить неравенство I 2лг — 11 > I х + 1| - 2.

Решение./. Алгебраический метод

I. Разобьем всю числовую прямую на три промежутка: (- оо; -1), [-1; i] и.

(i; +ос). На каждом из этих промежутков запишем данное неравенство без модуля и решим его.

A) На промежутке (- оо; -1) верны равенства.

12* -11 = -2* + 1 и U+ll= =-*-1, и наше неравенство примет вид: -2х + 1 > - х — 1 — 2, откуда х <4.

Учитывая данный промежуток, получаем решение исходного неравенства на этом промежутке: х < -1.

Б) На промежутке [-1; i] верны равенства.

I 2х- I =-2х + 1 и |х + ll=x + 1,.

поэтому наше неравенство равносильно неравенству: -2х + 1? х + 1 — 2, откуда.

2 1.

х < -, тогда решением неравенства будет данный промежуток -1 < х < -.

B) На промежутке (^; +<*) верны равенства.

I 2jc — l| = 2jc — 1 и I jc+ 11 =x + 1,.

поэтому получаем, что наше неравенство равносильно неравенству: 2х — 1 >х — 1, откуда х >0.

Учитывая данный промежуток, получаем решение исходного неравенства на этом промежутке: х Объединяя полученные результаты, делаем вывод:

неравенству удовлетворяет любое число Jt.

О т в е т: х — любое.

II. Графический метод

• 1. Построим в одной системе координат графики функций у_х = | 2х — l| и у₂ = U+ l| - 2 (рис. 30).
• 2. Геометрически решить данное неравенствоэто значит, найти те значениях, при которых график функции у расположен не ниже графика функции у₂. то есть над графиком или на графике функции^Из рисунка видно, что график функции у всегда расположен выше графика функции у₂> поэтому неравенство выполняется при любом значении х.

Рис. 30.

Таким образом, рассмотренные примеры позволяют сделать следующие выводы:

• 1. Интеграция алгебраического и графического методов решения уравнений и неравенств с одной переменной, систем уравнений с двумя переменными имеет большое значение в плане повышения качества знаний учащихся и одновременного развития всех трёх компонентов их математических способностей (алгебраического, логического и геометрического).
• 2. Графический метод позволяет обучать учащихся геометрическому моделированию при решении уравнений, неравенств и их систем. При этом выполняются все гри этапа математического моделирования: 1) построение геометрической модели задачи (т. с. перевод уравнения, неравенства, системы уравнений или неравенств на геометрический язык); 2) решение уравнения, неравенства, системы уравнений (неравенств) на геометрическом языке; 3) интерпретация (т. с. перевод полученного решения с геометрического языка на алгебраический).
• 3. Графический метод в ряде случаев является единственным средством приближенного решения уравнений и систем уравнений, в других — он дает возможность наиболее просто определить количество действительных решений, найти промежутки, в которых лежат искомые корни, определить их приближенные численные значения. Задания такого типа часто встречаются в части «С» заданий единого государственного экзамена.
• 4. Применение наряду с алгебраическим графического метода в школе имеет и воспитательное значение — построение графиков приучает учащихся к самостоятельности в работе (списать решение уже трудно), к точности, аккуратности.
• 5. Графический метод способствует эстетическому воспитанию школьников, прививает вкус к изящным, красивым решениям алгебраических задач.