Основы молекулярно-кинетической теории

1. Основное уравнение молекулярно-кинетической теории газов

где р — давление газа; n — концентрация молекул; m0 — масса молекулы; - средний квадрат скорости поступательного движения молекулы; с — плотность; - средняя кинетическая энергия поступательного движения молекулы.

2. Закон равномерного распределения энергии по степеням свободы: на каждую степень свободы поступательного и вращательного движения молекулы приходится средняя энергия .

3. Средняя энергия молекулы газа ,.

где i — число степеней свободы молекулы.

4. Скорости молекул газа:

— среднеквадратичная скорость;

— средняя арифметическая скорость;

— наиболее вероятная скорость.

5. Функция распределения Максвелла

.

6. Распределение Больцмана

.

где n — концентрация молекул с потенциальной энергией EП;

n0 — концентрация молекул с потенциальной энергией EП=0;

EП — потенциальная энергия молекулы.

Примеры решения задач Задача 1. При давлении газа, равном 0,1 МПа, его двухатомные молекулы обладают средней кинетической энергией 2,5?10−20 Дж. Определить концентрацию молекул газа.

Дано: Решение:

i = 5 Воспользуемся основным уравне;

р = 1?105 Па нием молекулярно-кинетической.

= 2,5?10−20 Дж теории газов:

. (1).

n —? Так как средняя кинетическая энергия поступательного движения молекулы, а средняя энергия молекулы, включая кинетическую энергию вращательного движения,.

.

то с учетом закона равномерного распределения энергии по степеням свободы для получаем.

. (2).

Используя формулы (1) и (2), находим.

.

Проверка размерности:

.

Вычисления:

.

Ответ: 1,0?1025 м-3.

Задача 2. Определить наиболее вероятную скорость, среднюю арифметическую скорость и среднюю квадратичную скорость молекул газа, у которого при нормальном атмосферном давлении плотность равна 0,3 кг/м3.

Дано: Решение:

р = 105 Па Для нахождения искомых скоростей с = 0,3 кг/м3 воспользуемся формулами их определений.

При этом параметры (температуру и молярную массу), входящие в эти формулы, выразим из уравнения состояния идеального газа.

.

Таким образом, получаем.

— наиболее вероятная скорость;

— средняя арифметическая скорость;

— средняя квадратичная скорость.

Проверка размерности:

.

Вычисления:

;

;

.

Ответ:, , .

Задача 3. Определить наиболее вероятную скорость молекул газа, находящегося в состоянии теплового равновесия, при котором значениям скоростей молекул 300 м/с и 600 м/с соответствуют одинаковые значения функции распределения Максвелла.

Дано: Решение:

х1 = 300 м/с Функция распределения Максвелла:

х2 = 600 м/с.

.

Учитывая выражение для определения наиболее вероятной скорости.

.

получаем функцию распределения Максвелла в следующем виде:

.

Применив полученное выражение для двух значений скоростей, с учетом условия задачи получаем.

.

Логарифмируем и выражаем искомую величину.

.

Соответствие размерности очевидно.

Вычисления:

.

Ответ: 441 м/с.

Задача 4. При наблюдении в микроскоп взвешенных в жидкости частиц гуммигута обнаружено, что концентрация частиц в одной фокальной плоскости в два раза больше их концентрации в другой фокальной плоскости, расстояние между которыми 40 мкм. Температура жидкости 17 °C. Диаметр частиц 0,4 мкм, а плотность гуммигута на 0,2 г/см3 больше плотности окружающей жидкости. Определить по этим данным число Авогадро.

Дано: Решение:

?h = 40 мкм = 4 ?10−5 м Распределение частиц, взвешенных.

в жидкости, подчиняется закону Т = 17 °C = 290 К Больцмана:

d = 0,4 мкм = 4?10−7 м. (1).

Поле тяжести Земли в пределах рассматриваемых изменений высоты можно считать однородным. Если учесть, что частицы гуммигута испытывают действие выталкивающей силы Архимеда.

(2).

где V — объем частицы, то для потенциальной энергии частицы следует записать Концентрации частиц в фокальных плоскостях на высотах h1 и h2, отсчитанных от дна сосуда, согласно уравнению (1), равны.

.

.

Найдем отношение.

. (3).

Учитывая, что, , ?h= h1 — h2, из (3) находим.

.

Проверка размерности:

.

Вычисления:

.

Ответ: 6,4?1023 1/моль.

Задачи для самостоятельного решения

• 2.1. Определить отношение средних квадратичных скоростей молекул гелия и водорода при одинаковых температурах.
• 2.2. Средняя квадратичная скорость молекул газа равна 500 м/с при давлении 4· 105 Па. Определить плотность газа.
• 2.3. Определить среднюю арифметическую и среднюю квадратичную скорости молекул газа, плотность которого при давлении 2· 105 Пa равна 0,8 г/м3.
• 2.4. Во сколько раз средняя квадратичная скорость теплового движения пылинок, взвешенных в воздухе, меньше средней квадратичной скорости молекул кислорода, входящего в состав воздуха? Масса пылинки 10−8 г.
• 2.5. Два одинаковых сосуда содержат одинаковое число молекул кислорода. Сосуды соединены краном. В первом сосуде средняя квадратичная скорость молекул равна 400 м/с, во втором — 500 м/с. Какой будет эта скорость, если открыть кран, соединяющий сосуды?
• 2.6. При какой температуре средняя квадратичная скорость атомов гелия станет равной второй космической скорости на Земле?
• 2.7. При какой температуре молекулы кислорода имеют такую же среднюю квадратичную скорость, как и молекулы водорода при температуре 100 K?
• 2.8. Колба объемом 4 л содержит некоторый газ массой 0,6 г под давлением 200 кПа. Определить среднюю квадратичную скорость молекул газа.
• 2.9. Смесь гелия и аргона находится при температуре 1 200 К. Определить среднюю квадратичную скорость и среднюю кинетическую энергию атомов гелия и аргона.
• 2.10. Определить среднюю арифметическую скорость молекул газа, если их средняя квадратичная скорость равна 1 км/с.
• 2.11. Определить средние квадратичные скорости теплового движения молекул водорода, азота, кислорода при 0 °C.
• 2.12. Определить средний квадратичный импульс молекулы водорода Н2 при температуре 27 °C.
• 2.13. При какой температуре средняя квадратичная скорость молекул кислорода равна средней квадратичной скорости молекул азота при температуре 100 °C?

На рисунке схематично изображена молекула кислорода. Момент инерции молекулы кислорода относительно оси О равен 19,2· 10−40 г· см3. Определить значение средней квадратичной частоты вращения молекулы кислорода при 27 °C относительно оси О.

• 2.15. Определить кинетическую энергию теплового движения всех молекул кислорода, занимающих объем 5,5 л при давлении 2· 105 Па. Энергией, приходящейся на колебательные степени свободы, пренебречь.
• 2.16. Газ, состоящий из жестких двухатомных молекул, находится при температуре 300 К. Определить среднюю квадратичную угловую скорость вращательного движения молекулы, если ее момент инерции 2,1· 10−39 г· см2.
• 2.17. Считать, что воздух состоит из молекул азота, кислорода, водорода и углекислого газа. Молекулы какого из газов обладают наибольшей средней скоростью?
• 2.18. Сравнить средние квадратичные скорости молекул двух газов с параметрами: a) p1=600 кПа, р=1,2 кг/м3; б) Р2=400 кПа, с2=0,8 кг/м3.
• 2.19. При какой температуре средняя кинетическая энергия теплового движения атомов гелия будет достаточна для того, чтобы атомы гелия преодолели земное тяготение и навсегда покинули земную атмосферу?
• 2.20. Частицы гуммигута диаметром 10−6 м участвуют в броуновском движении. Плотность гуммигута 1,2· 103 кг/м3. Определить среднюю квадратичную скорость частиц при 17 °C.
• 2.21. В момент взрыва атомной бомбы температура достигает 107 °C. Считать, что при этой температуре молекулы полностью диссоциированы на атомы, а атомы ионизированы. Определить при этих условиях среднюю квадратичную скорость иона водорода.

• 2.22. Пользуясь функцией распределения Максвелла и определением относительной скорости u (относительная скорость равна отношению скорости молекулы х к наиболее вероятной скорости хв), получить функцию распределения Максвелла в приведенном виде:.
• 2.23. Определить вероятность того, что какая-нибудь молекула кислорода при температуре 0 °C имеет скорость, точно равную наиболее вероятной скорости.

• 2.24. Перейти от функции распределения Максвелла по скоростям к функции распределения молекул газа по значениям энергии:, где е — кинетическая энергия поступательного движения молекулы.
• 2.25. Доказать, что функция распределения Максвелла достигает максимального значения, если значение скорости молекулы равно значению наиболее вероятной скорости.
• 2.26. Сколько процентов молекул кислорода обладает скоростями, отличающимися от наиболее вероятной скорости не более чем на 1%?
• 2.27. Сколько процентов молекул кислорода обладает скоростями, отличающимися от средней квадратичной скорости не более чем на 1%?
• 2.28. Какая часть молекул азота при нормальных условиях имеет значения скоростей в интервале от 99 м/с до 101 м/с?
• 2.29. При какой температуре число молекул азота, обладающих скоростями в интервале от 299 м/с до 301 м/с, равно числу молекул азота, обладающих скоростями в интервале от 599 м/с до 601 м/с?
• 2.30. Сколько процентов молекул азота при температуре 280 К обладает скоростями в интервале от 500 м/с до 510 м/с?
• 2.31. Сколько процентов молекул кислорода обладает скоростями, отличающимися от наиболее вероятной не более чем на 10 м/с, при температуре 0 °C.
• 2.32. Водород находится при температуре 273 К. Определить отношение числа молекул водорода, обладающих скоростями в интервале от 2 000 м/с до 2 001 м/с, к числу молекул водорода, обладающих скоростями в интервале от 1000 м/с до 1001 м/с.
• 2.33. Определить температуру, при которой функция распределения молекул кислорода по скоростям имеет максимум при скорости 500 м/с.
• 2.34. Сколько процентов молекул кислорода обладает скоростями, отличающимися от наиболее вероятной скорости не более чем на 10 м/с при температуре 300 °C?
• 2.35. Определить температуру кислорода, при которой скоростям молекул 400 м/с и 600 м/с соответствуют одинаковые значения функции распределения Максвелла.
• 2.36. Определить высоту горы, если атмосферное давление на ее вершине равно половине атмосферного давления на уровне моря. Температуру считать одинаковой и равной 273 К.
• 2.37. Определить показания барометра на высоте Останкинской телевизионной башни, равной 540 м. Температуру считать одинаковой и равной 280 К. Атмосферное давление на поверхности Земли равно 760 мм рт. ст.
• 2.38. При подъеме аэростата барометр изменил свое показание на 11 кПа. На какой высоте находится аэростат, если на поверхности Земли барометр показывал 0,1 МПа? Температуру воздуха считать одинаковой и равной 290 К.
• 2.39. Чему равна концентрация молекул воздуха на высоте 2 км над уровнем моря? Давление на уровне моря 101 кПа, а температура 10 °C. Изменением температуры с высотой пренебречь.
• 2.40. Пылинки массой 10−10 г взвешены в воздухе. Определить толщину слоя воздуха, в пределах которого концентрация пылинок различается не более чем на 1%. Температуру воздуха во всем объеме считать равной 27 °C.
• 2.41. У поверхности Земли концентрация молекул водорода почти в 106 раз меньше, чем концентрация молекул азота. На какой высоте концентрации молекул водорода и молекул азота будут равны? Температуру воздуха считать одинаковой и равной 0 °C.
• 2.42. При наблюдении в микроскоп взвешенных в жидкости частиц гуммигута обнаружено, что концентрация частиц в одной фокальной плоскости в два раза больше их концентрации в другой фокальной плоскости, расстояние между которыми 40 мкм. Температура жидкости 17 °C. Диаметр частиц 0,4 мкм, а плотность гуммигута на 0,2 г/см3 больше плотности окружающей жидкости. Определить по этим данным число Авогадро.
• 2.43. Определить массу водяного пара, заключенного в столбе атмосферного воздуха сечением 1,0 м² и высотой 4,15 км. Температура воздуха во всех слоях постоянна и равна 15 °C. Парциальное давление паров воды на поверхности Земли 103 Па.
• 2.44. Толщина слоя воздуха, в пределах которого концентрация взвешенных в воздухе пылинок изменяется не более чем на 1%, равна 4,2 мм. Определить массу пылинки. Температуру воздуха считать одинаковой и равной 300 К.
• 2.45. На высоте 123 км от поверхности Земли концентрации молекул водорода и азота равны. Определить отношение концентраций молекул водорода и азота у поверхности Земли.
• 2.46. При наблюдении в микроскоп взвешенных в воде частиц гуммигута обнаружено, что концентрация частиц в одной фокальной плоскости в два раза больше их концентрации в другой фокальной плоскости, расстояние между которыми 40 мкм. Плотность гуммигута 1,2 г/см3. Температура воды 290 К. Определить диаметр частиц.