Приложение определенного интеграла к решению задач практического содержания

Забайкальский государственный гуманитарно-педагогический университет им. Н. Г. Чернышевского Физико-математический факультет Кафедра математического анализа

Приложение определенного интеграла к решению задач

практического содержания

Курсовая работа Выполнила: студентка 4 курса ОЗО ФМФ Ракова Екатерина Викторовна Научный руководитель: заведующий кафедрой математического анализа Степанова Лилия Эдуардовна

Чита, 2007

• Введение 3
• 1. Историческая справка 6
• 2. Условия существования определенного интеграла 10
• 3. Приложение интегрального исчисления 11
• 3.1 Общие понятия 11
• 3.2 Интегральное исчисление в геометрии 13
• 3.2.1 Вычисление длины дуги плоской кривой 13
• 3.2.2 Вычисление объема тела 16
• 3.2.3 Вычисление площади поверхности вращения 18
• 3.2.4. Вычисление площадей плоских фигур…20
• 3.3 Механические приложение определенного интеграла 23
• 3.3.1 Работа переменной силы 23
• 3.3.2 Путь, пройденный телом 24
• 3.3.3 Давление жидкости на вертикальную пластинку 25
• 3.3.4 Вычисление статических моментов и координат центра тяжести плоской кривой 26
• 3.3.5Вычисление статических моментов и координат центра тяжести плоской фигуры 28
• 3.4 Интегральное исчисление в биологии 31
• 3.4.1 Численность популяции. 31
• 3.4.2 Биомасса популяции……32
• 3.4.3 Средняя длина пролета. 33
• 3.5 Интегральное исчисление в экономике 35
• Заключение 39
• Литература 40
• Введение
• Нахождение производной f'(x) или дифференциала df=f'(x)dx функции f (x) является основной задачей дифференциального исчисления. В интегральном исчислении решается обратная задача: по заданной функции f (x) требуется найти такую функцию F (x), что F'(х)=f (x) или F (x)=F'(x)dx=f (x)dx. Таким образом, основной задачей интегрального исчисления является восстановление функции F (x) по известной производной (дифференциалу) этой функции. Интегральное исчисление имеет многочисленные приложения в геометрии, механике, физике и технике. Оно дает общий метод нахождения площадей, объемов, центров тяжести и т. д.
• Задача о нахождении площади
• Определить площадь P криволинейной трапеции ABCD (рис 1)
• Разделим основание АВ нашей фигуры произвольным образом на части и проведем ординаты, со-ответствующие точкам деления; тогда криволинейная трапеция разобьется на ряд полосок. Заменим теперь приближенно каждую полоску некоторым пря-моугольником, основание кото-рого то же, что и у полоски, а высота совпадает с одной из ординат полоски, скажем с крайней слева. Таким образом, криволинейная фигура заменится некото-рой ступенчатой фигурой, составленной из отдельных прямоуголь-ников.
• Обозначим абсциссы точек деления через
• X= a < X< X < … < X < X < … < X = b.
• Основание i — го прямоугольника равно разности X — X (?X). Высота равна y = f (X). Поэтому площадь i — го прямоугольника будет y? X = f (X) ?X.
• Просуммировав площади всех прямоугольников, получим приближенное значение площади P криволинейной трапеции
• P= y? X или P=f (X) ?X .
• Погрешность этого равенства при безграничном убывании всех? X стремится к нулю. Точное значение площади P получится как предел:
• P=Lim y? X или P=Limf (X) ?X,
• В предположении, что все? X одновременно стремятся к 0.
• Для обозначения пре-дельного значения суммы y? X Лейбниц и ввел символ? ydx, где ydx напоминает типичное слагаемое суммы, а? есть сти-лизованная буква S — начальная буква латинского слова «Summa». Так как площадь, представляющая это предельное значение, в то же время является первообразной для функции у, то тот же символ со-хранился и для обозначения первообразной функции. Впоследствии, с введением функционального обозначения, стали писать
• ? f (x)dx,
• если речь идет о переменной площади, и
• f(x)dx,
• - в случае площади фиксированной фигуры ABCD, отвечающей из-менению х от а до b.
• Определение. Пусть функция f (X) задана в некотором про-межутке [a, b]. Разобьем этот промежуток произвольным образом на части, вставив между a и b точки деления. Наибольшую из разностей? X = X — X (i = 0, 1,2,. ., n-1) обозна-чим через ?.
• Возьмем в каждом из частичных промежутков [X, X] по про-изволу точку X = ?
• X ? ? ? X (i = 0, 1, …, n-1)
• и составим сумму
• ? = f (?) ?X
• Пусть I конечный предел данной суммы
• I = ?.
• Конечный предел I суммы? при называется определенным интегралом функции f (x) в промежутке от a до b и обозначается символом
• I = f(x)dx
• В случе существования такого предела функция f (x) называется интегрируемой в промежутке [a, b].
• Числа a и b носят название, соответственно, нижнего и верхнего пределов интеграла. При постоянных пределах определенный интеграл представляет собой постоянное число.
• Приведенное определение принадлежит Риману (B.Riemann), коорый впервые высказал его в общей форме и исследовал область его применения. 7]
• 1. Историческая справка
• Интеграл (от лат. Integer — целый) — одно из важнейших понятий математики, возникшее в связи с потребностью, с одной стороны отыскивать функции по их производным (например, находить функцию, выражающую путь, пройденный движущейся точкой, по скорости этой точки), а с другой — измерять площади, объемы, длины дуг, работу сил за определенный промежуток времени и т. п.
• Символ введен Лейбницем (1675 г.). Этот знак является изменением латинской буквы S (первой буквы слова сумма). Само слово интеграл придумал Я. Бернулли (1690 г.). Вероятно, оно происходит от латинского integero, которое переводится как приводить в прежнее состояние, восстанавливать. (Действительно, операция интегрирования «восстанавливает» функцию, дифференцированием которой получена подынтегральная функция.) Возможно происхождение слова интеграл иное: слово integer означает целый.
• В ходе переписки И. Бернулли и Г. Лейбниц согласились с предложением Я. Бернулли. Тогда же, в 1696 г., появилось и название новой ветви математики — интегральное исчисление (calculus integralis), которое ввел И. Бернулли.
• Другие известные термины, относящиеся к интегральному исчислению, появились значительно позднее. Употребляющееся сейчас название первообразная функция заменило более раннее «примитивная функция», которое ввел Лагранж (1797 г.). Латинское слово primitivus переводится как «начальный»: F (x)= - начальная (или первоначальная, или первообразная) для функции f (x), которая получается из F (x) дифференцированием.
• В современной литературе множество всех первообразных для функции f (x) называется также неопределенным интегралом. Это понятие выделил Лейбниц, который заметил, что все первообразные функции отличаются на произвольную постоянную. А называют определенным интегралом (обозначение ввел К. Фурье (1768−1830), но пределы интегрирования указывал уже Эйлер).
• Самое важное из истории интегрального исчисления
• Возникновение задач интегрального исчисления связано с нахождением площадей и объемов. Ряд задач такого рода был решен математиками древней Греции. Античная математика предвосхитила идеи интегрального исчисления в значительно большей степени, чем дифференциального исчисления. Большую роль при решении таких задач играл исчерпывающий метод, созданный Евдоксом Книдским (ок. 408 — ок. 355 до н. э.) и широко применявшийся Архимедом (ок. 287 — 212 до н. э.).
• Однако Архимед не выделил общего содержания интеграционных приемов и понятий об интеграле, а тем более не создал алгоритма интегрального исчисления. Ученые Среднего и Ближнего Востока в IX — XV веках изучали и переводили труды Архимеда на общедоступный в их среде арабский язык, но существенно новых результатов в интегральном исчислении они не получили.
• Деятельность европейских ученых в это время была еще более скромной. Лишь в XVI и XVII веках развитие естественных наук поставило перед математикой Европы ряд новых задач, в частности задачи на нахождение квадратур (задачи на вычисление площадей фигур), кубатур (задачи на вычисление объемов тел) и определение центров тяжести.
• Труды Архимеда, впервые изданные в 1544 (на латинском и греческом языках), стали привлекать широкое внимание, и их изучение явилось одним из важнейших отправных пунктов развития интегрального исчисления. Архимед предвосхитил многие идеи интегрального исчисления. Но потребовалось более полутора тысяч лет, прежде чем эти идеи нашли четкое выражение и были доведены до уровня исчисления .
• Математики XVII столетия, получившие многие новые результаты, учились на трудах Архимеда. Активно применялся и другой метод — метод неделимых, который также зародился в Древней Греции. Например, криволинейную трапецию они представляли себе составленной из вертикальных отрезков длиной f (x), которым тем не менее приписывали площадь, равную бесконечно малой величине f (x)dx. В соответствии с таким пониманием искомая площадь считалась равной сумме S = бесконечно большого числа бесконечно малых площадей. Иногда даже подчеркивалось, что отдельные слагаемые в этой сумме — нули, но нули особого рода, которые сложенные в бесконечном числе, дают вполне определенную положительную сумму.
• На такой кажущейся теперь по меньшей мере сомнительной основе И. Кеплер (1571 — 1630 гг.) в своих сочинениях «Новая астрономия» (1609 г.) и «Стереометрия винных бочек» (1615 г.) правильно вычислил ряд площадей (например площадь фигуры, ограниченной эллипсом) и объемов (тело резалось на бесконечно тонкие пластинки).
• Эти исследования были продолжены итальянскими математиками Б. Кавальери (1598 — 1647 годы) и Э. Торричелли (1608 -1647 годы).
• В XVII веке были сделаны многие открытия, относящиеся к интегральному исчислению. Так, П. Ферма уже в 1629 году решил задачу квадратуры любой кривой y =, где N — целое (т. е. вывел формулу), и на этой основе решил ряд задач на нахождение центров тяжести. И. Кеплер при выводе своих знаменитых законов движения планет, фактически опирался на идею приближенного интегрирования. И. Барроу (1603−1677 года), учитель Ньютона, близко подошел к пониманию связи интегрирования и дифференцирования. Большое значение имели работы по представлению функции в виде степенных рядов.
• Однако при всей значимости результатов, полученных математиками XVII столетия, исчисления еще не было. Необходимо было выделить общие идеи, лежащие в основе решения многих частных задач, а также установить связь операций дифференцирования и интегрирования, дающую достаточно точный алгоритм. Это сделали Ньютон и Лейбниц, открывшие независимо друг от друга факт, известный вам под названием формулы Ньютона — Лейбница. Тем самым окончательно оформился общий метод. Предстояло еще научиться находить первообразные многих функций, дать логические основы нового исчисления и т. п. Но главное уже было сделано: дифференциальное и интегральное исчисление создано.
• Методы математического анализа активно развивались в следующем столетии (в первую очередь следует назвать имена Л. Эйлера, завершившего систематическое исследование интегрирования элементарных функций, и И. Бернулли). В развитии интегрального исчисления приняли участие русские математики М. В. Остроградский (1801 — 1862 гг.), В. Я. Буняковский (1804 — 1889 гг.), П. Л. Чебышев (1821 — 1894 гг.). Принципиальное значение имели, в частности, результаты Чебышева, доказавшего, что существуют интегралы, не выразимые через элементарные функции.
• Строгое изложение теории интеграла появилось только в прошлом веке, Решение этой задачи связано с именами О. Коши, одного из крупнейших математиков немецкого ученого Б. Римана (1826 — 1866 гг.), французского математика Г. Дарбу (1842 — 1917).
• Ответы на многие вопросы, связанные с существованием площадей и объемов фигур, были получены с созданием К. Жорданом (1826 — 1922 гг.) теории меры.
• Различные обобщения понятия интеграла уже в начале 20 столетия были предложены французскими математиками А. Лебегом (1875 — 1941 гг.) и А. Данжуа (1884 — 1974) советским математиком А. Я. Хичиным (1894 -1959 гг.)
• 2. Условия существования определенного интеграла
• 1. Интегрируемая функция необходимо ограничена.
• Если бы функция f (x) была в промежутке [a, b] неограниченна, то — при любом разбиении промежутка на части — она сохранила бы подобное свойство хоть в одной из частей. Тогда за счет выбора в этой части точки можно было бы сделать f (), а с ней и сумму , — сколь угодно большой; при этих условиях конечного предела для существовать не могло бы.
• 2.Для существования определенного интеграла необходимо и достаточно, чтобы было
• (S — s) = 0
• s = m? X, S = M? X,
• где m и M — точные нижняя и верхняя грани. Суммы Дарбу s и S служат точными, соответственно, нижней и верхней границами для интегральных сумм. 7]
• 3. Приложение интегрального исчисления
• 3.1 Общие понятия
• Пусть требуется найти значение какой — либо геометрической или физической величины A (площадь фигуры, объем тела, давление жидкости на вертикальную пластину и т. д.), связанной с отрезком [a, b] изменения переменной x. Предполагается, что при разбиении отрезка [a, b] точкой с (a, b) на части [a, c] и [c, b] значение величины A, соответствующее всему отрезку [a, b] равно сумме ее значений, соответствующих [a, c] и [c, b].
• Для нахождения этой величины А можно руководствоваться одной из двух схем: I схема (или метод интегральных сумм) и II схема (или метод дифференциала).[5]
• Первая схема базируется на определении определенного интеграла.
• 1. Точками x = a, x, … ,x = b разбить отрезок [a, b] на n частей. В соответствии с этим, интересующая нас величина A разобьется на n «элементарных слагаемых»
• ? A (I = 1, …, n): A = ?A + ?A+ … + ?A
• 2. Представить каждое «элементарное слагаемое» в виде произве-дения некоторой функции (определяемой из условия задачи), вычислен-ной в произвольной точке соответствующего отрезка на его длину:
• ? A? f© ?X
• При нахождении приближенного значения ДЛ; допустимы некоторые упрощения: дугу на малом участке можно заменить хордой, стягивающей ее концы; переменную скорость на малом участке можно приближенно считать постоянной и т. д.
• Получим приближенное значение величины А в виде интегральной суммы:
• A? f© ?X+ … + F©?X = f© ?X
• 1. Искомая величина А равна пределу интегральной суммы, т. е.
• A = f© ?X = f (x)dx.
• Указанный «метод сумм», как видим, основан на представлении интегра-ла как о сумме бесконечно большого числа бесконечно малых слагаемых.
• Схема I была применена для выяснения геометрического и физическо-го смысла определенного интеграла.
• Вторая схема представляет собой несколько видоизмененную схему I и называется «метод дифференциала» или «метод отбрасывания беско-нечно малых высших порядков»:
• 1) на отрезке [а, b] выбираем произвольное значение х и рассматри-ваем переменный отрезок [a, x]. На этом отрезке величина A становится функцией x: А — А (x), т. е. считаем, что часть искомой величины А есть неизвестная функция А (x), где x т. е. [а, b] - один из параметров величи-ны А;
• 2) находим главную часть приращения? A при изменении x на малую величину ?x; = dх, т. е. находим дифференциал dA функции A = А (x):dA — f(x)dx, где f(x), определяемая из условия задачи, функция пере-менной x (здесь также возможны различные упрощения);
• 3) считая, что dА ? ?A при? x 0, находим искомую величину путем интегрирования dA в пределах от, а до b:
• A (b) = A = f (x)dx.
• 3.2 Интегральное исчисление в геометрии
• 3.2.1 Вычисление длины дуги плоской кривой
• Прямоугольные координаты
• Пусть в прямоугольных координатах дана плоская кривая AB, уравнение которой y = f (x), где a? x? b. (рис 2)[7]
• Под длиной дуги AB понимается предел, к которому стремиться длина ломаной линии, вписанной в эту дугу, когда число звеньев ломаной неограниченно возрастает, а длина наибольшего звена ее стремиться к нулю.
• Применим схему I (метод сумм).
• 1. Точками X = a, X, …, X = b (X? X? …? X) разобьем отрезок [a, b] на n частей. Пусть этим точкам соответствуют точки M = A, M, …, M = B на кривой AB. Проведем хорды MM, MM, …, MM, длины которых обозначим соответственно через? L, ?L, …, ?L.
• Получим ломанную MMM … MM, длина которой равна L = ?L+ ?L+ … + ?L = ?L.
• 2. Длину хорды (или звена ломанной) ?L можно найти по теореме Пифагора из треугольника с катетами? X и? Y:
• ?L =, где? X = X — X, ?Y = f (X) — f (X).
• По теореме Лагранжа о конечном приращении функции? Y = © ?X, где C (X, X). Поэтому
• ?L = = ,
• а длина всей ломанной MMM … MM равна
• L = ?L = .
• Длина кривой AB, по определению, равна L = L = ?L. Заметим, что при? L 0 также и? X 0 (?L = и следовательно | ?X | < ?L). Функция непрерывна на отрезке [a, b], так как, по условию, непрерывна функция f (X). Следовательно, существует предел интегральной суммы L = ?L =, кода max? X 0:
• L = = dx.
• Таким образом, L = dx.
• Пример: Найти длину окружности радиуса R. (рис 3)[5]
• Решение:
• Найдем? часть ее длины от точки (0;R) до точки (R;0). Так как y =, ?L = dx = R arcsin = R .
• Значит L = 2R.
• Полярные координаты
• Пусть кривая AB задана уравнением в полярных координатах r = r (),. Предположим, что r () и r () непрерывны на отрезке [].
• Если в равенствах x = r cos, y = r sin, связывающих полярные и декартовы координаты, параметром считать угол, то кривую AB можно задать параметрически
• Тогда
• Поэтому
• = =
• Применяя формулу L =, получаем
• L =
• Пример: Найти длину кардиоиды r = a (1 + cos).
• [5]
• Решение: Кардиоида r = a (1 + cos) симметрична относительно полярной оси. Найдем половину
• (рис 4) длины кардиоиды:
• ? L = = a = a = 2a cos d = 4a sin = 4a.
• 3.2.2 Вычисление объема тела
• Вычисление объема тела по известным площадям параллельных сечений
• Пусть требуется найти объем V тела (рис 5), причем известны площади сечений этого тела плоскостями, перпендикулярными некоторой оси, на-пример оси Ox:S = S(x), a? x? b [5]
• Применим схему II (метод дифференциала).
• 1. Через произвольную точку x [а; b] проведем плоскость П, перпендикулярную оси Ох. Обозначим через S(x) площадь сечения тела этой плоскостью; S(x) считаем известной и непрерывно изменяю-щейся при изменении x. Через v(x) обозна-чим объем части тела, лежащее левее плос-кости П. Будем считать, что на отрезке [а; x] величина v есть функция от x, т. е. v = у (x) (v (a) = 0, v (b) = V).
• 2. Находим дифференциал dV функции v = v (x). Он представляет собой
• «элементарный слой» тела, заключенный между параллельными плоскостями, пересекающими ось Ох в точках x и x + ?x, который при-ближенно может быть принят за цилиндр с основанием S(x) и высотой dx. Поэтому дифференциал объема dV = S(х) dх.
• 2. Находим искомую величину V путем интегрирования dА в пределах от a до b:
• V = S (x) dx
• Формула объема тела по площади параллельных сечений
• Пример: Найти объем эллипсоида (рис 6)[5]
• Решение: Рассекая эллипсоид плоскостью, параллельной плоскости OYZ и на расстоянии х от нее (-a? x? b.), получим эллипс
• Площадь этого эллипса равна S (x) = bc(1 —). Поэтому, по формуле имеем
• V = bc(1 —)dx = abc.
• Объем тела вращения
• Пусть вокруг оси Ох вращается криволинейная трапеция, ограниченная непрерывной линией у = f(х)? 0, отрезком, а? х? b и прямыми х = а и х = b (рис 7). Полученная от вращения фигура называется телом вращения. Сечение этого тела плоскостью, перпендикулярной оси Ох, проведенной через произвольную точку х оси Oх), есть круг с радиусом у = f(х). Следовательно,
• S(x)=y.
• Применяя формулу V = S(x) dx объема тела по площади
• параллельных сечений, получаем
• V = ydx.
• Если криволинейная трапеция ограничена графиком непрерывной функции x = (x)? 0 и прямыми x = 0, y = c, y = d (c <
• d), то объем тела, образованного вращением этой трапеции вокруг оси Оу, по аналогии с формулой V = S(x) dx, равен
• V =xdy.
• Пример: Найти объем тела, образован-ного вращением фигуры, ограниченной линия-ми у =, x = 0, у = 2 вокруг оси Оу. 5]
• Решение: По формуле V =xdy.
• находим:
• V = 2ydy = y = 8.
• 3.2.3 Вычисление площади поверхности вращения
• Пусть кривая АВ является графиком функции у = f(х) ? 0, где х [а;b], а функция у = f(х) и ее производная у' = f'(х) непрерывны на этом отрезке.
• Найдем площадь S поверхности, образованной вращением кривой АВ вокруг оси Ох (рис 8).
• Применим схему II (метод дифференциала).
• 1. Через произвольную точку х [а; b] проведем плос-кость П, перпендикулярную оси Ох. Плоскость П пере-секает поверхность вращения по окружности с радиусом у — f(х). Величина S поверхности части фи-гуры вращения, лежащей левее плоскости, является функ-цией от х, т. е. s = s(х) (s (а) = 0 и s (b) = S).
• 2. Дадим аргументу х приращение? х = dх. Через точку х + dх [а; b] также проведем плоскость, перпендику-лярную оси Ох. Функция s = s (х) получит приращение? s, изображенного на рисунке в виде «пояска».
• Найдем дифференциал площади ds, заменяя образо-ванную между сечениями фигуру усеченным конусом, об-разующая которого равна dl, а радиусы оснований рав-ны у и у + dу. Площадь его боковой поверхности равна ds = (у + у + dу) * d1 = 2ydl + dydl. Отбрасывая произведение dу d1 как бесконечно малую высшего порядка, чем ds, получаем ds = 2уdl, или, так как d1 = dx.
• 3. Интегрируя полученное равенство в пределах от х = а до х = b, получаем
• S= 2ydx.
• Если кривая AB задана параметрическими уравнениями x = x (t), y = y (t), t? t? t, то формула для площади поверхности вращения принимает вид
• S = 2dt.
• Пример: Найти площадь поверхности шара радиуса R. 5]
• Решение: Можно считать, что поверхность шара образована вращением полуокружности y =, -R? x? R, вокруг оси Ox. По формуле S= 2ydx находим
• S = 2 =
• 3.2.4.1. Вычисление площадей плоских фигур
• Прямоугольные координаты
• Пусть функция f(х) непрерывна на сегменте [а;b]. Если f(х )?0 на [а; b] то площадь S криволинейной трапеции, ограниченной линиями у =f(х), у = 0, х = а, х = b, равна интегралу
• Если же f (x)? 0 на [а; b] то — f (х)? 0 на [а; b]. Поэтому площадь S соответствующей криволинейной трапеции выразится формулой
• или
• Если, наконец, кривая y=f(х) пересекает ось Ох, то сегмент [а;b] надо разбить на части, в пределах которых f(х) не меняет знака, и к каждой такой части применить ту из формул, которая ей соот-ветствует.
• Пример. Найти площадь плоской фигуры, ограниченной параболой y = x², прямыми х=1, х = 3 и осью Ох (рис 9). [1]
• Решение. Пользуясь формулой, нахо-дим искомую площадь
• S =
• Пример. Найти площадь плоской фигуры, ограниченной графиком функции у = sinх и осью абс-цисс при условии (рис 10). [1]
• Решение. Разбиваем сег-мент [0; ] на два сегмента [0; ] и [; 2]. На первом из них sinx? 0, на втором — sinx? 0. Следовательно, ис-пользуя формулы
• и, имеем, что искомая площадь
• Полярные координаты.
• Пусть требует-ся определить площадь сектора ОАВ, ограниченного лу-чами =, = и кривой АВ (рис 11), заданной в полярной системе координат уравнением r = r (), где r () — функция, непрерывная на сегменте [; ].
• Разобьем отрезок [; ] на п частей точками = о<1 < …< < = и положим:? = — k = 1, 2, …, n. Наи-большую из этих разностей обозначим через : = max ?. Разо-бьем данный сектор на п частей лучами = (k=1, 2, …, п — 1). Заменим k-й элементарный сектор круговым сектором радиуса r (), где .
• Тогда сумма — приближенно площадь сектора OAB. Отсюда:
• Пример. Найти площадь плоской фигуры, ограниченной кардиоидой г = a (1+соs) (рис 12). [7]
• Решение. Учитывая симметричность кривой относительно полярной оси, по формуле получаем:
• 3.3 Механические приложение определенного интеграла
• 3.3.1 Работа переменной силы
• Пусть материальная точка М перемещается вдоль оси Ох под дей-ствием переменной силы F = F(х), направленной параллельно этой оси. Работа, произведенная силой при перемещении точки М из положения х = а в положение х = b (а <bЬ), находится по формуле
• A =
• Пример. Какую работу нужно затратить, чтобы растянуть пру-'—' жину на 0,05 м, если сила 100 Н растягивает пружину на 0,01 м?[5]
• Решение: По закону Гука упругая сила, растягивающая пружину, про-порциональна этому растяжению х, т. е. F = kх, где k — коэффициент пропорциональности. Согласно условию задачи, сила F = 100 Н растяги-вает пружину на х = 0,01 м; следовательно, 100 = k 0,01, откуда k = 10 000; следовательно, F =10 000х.
• Искомая работа на основании формулы A =
• равна
• A =
• Пример. Найти работу, которую необходимо затратить, чтобы выкачать через край жидкость из вертикального цилиндрического резер-вуара высоты Н м и радиусом основания R м (рис 13). 5]
• Решение: Работа, затрачиваемая на поднятие тела весом р на высоту h, равна р * Н. Но различные слои жидкости в резервуаре находятся на различных глубинах и высота поднятия (до края резервуара) различных слоев не одинакова.
• Для решения поставленной задачи применим схему II (метод дифференциала). Введем систему координат.
• 1. Работа, затрачиваемая на выкачивание из резер-вуара слоя жидкости толщиной х (0? х? Н), есть функция от х, т. е. А = А (х), где (0? х? Н)( A(0) = 0, A (H) = А₀).
• 2. Находим главную часть приращения? A при из-менении х на величину? х = dx, т. е. находим диффе-ренциал dА функции А (х).
• Ввиду малости dх считаем, что «элементарный» слой жидкости находится на одной глубине х (от края резервуара). Тогда dА = dрх, где dр — вес этого слоя; он равен g АV, где g — ускорение свободногопадения, — плотность жидкости, dv — объем «элементарного» слоя жидкости (на рисунке он выделен), т. е. dр = g. Объем указанного слоя жидкости, очевидно, равен, где dx— высота цилиндра (слоя), — площадь его основания, т. е. dv = .
• Таким образом, dр = . и
• 3) Интегрируя полученное равенство в пределах от х = 0 до х = Н, находим
• A
• 3.3.2 Путь, пройденный телом
• Пусть материальная точка перемещается по прямой с переменной ско-ростью v =v(t). Найдем путь S, пройденный ею за промежуток времени от t до t_2.
• Решение: Из физического смысла производной известно, что при дви-жении точки в одном направлении «скорость прямолинейного движения
• равна производной от пути по времени», т. е. v (t) =. Отсюда следует, что dS = v(t)dt. Интегрируя полученное равенство в пределах от t до t,
• получаем S =
• Пример. Найти путь, пройденный телом за 4 секунды от начала движения, если скорость тела v (t) = 10t + 2 (м/с). 5]
• Решение: Если v (t) = 10t + 2 (м/с), то путь, пройденный телом от на-чала движения (t = 0) до конца 4-й секунды, равен
• S =
• 3.3.3 Давление жидкости на вертикальную пластинку
• По закону Паскаля давление жидкости на горизонтальную пластину равно весу столба этой жидкости, имеющего основанием пластинку, а вы-сотой — глубину ее погружения от свободной поверхности жидкости, т. е. Р =g, где g — ускорение свободного падения, — плотность жидкости, S — площадь пластинки, h — глубина ее погружения.
• По этой формуле нельзя искать давление жидкости на вертикально погруженную пластинку, так как ее разные точки лежат на разных глу-бинах.
• Пусть в жидкость погружена вертикально пластина, ограниченная ли-ниями х = а, х = b, y и y. Для нахождения давления Р жидкости на эту пластину применим схему II (метод дифференциала).
• 1. Пусть часть искомой величины Р есть функция от х: р = р (х), т. е. р = р (х) — да-вление на часть пластины, соответствующее от-резку [а; b] значений переменной х, где х [a; b] (р (a) = 0, р (b) = Р).
• 2. Дадим аргументу х приращение? x = dх. Функция р (х) получит приращение? р (на рисун-ке — полоска-слой толщины dх). Найдем диффе-ренциал dр этой функции. Ввиду малости dх бу-дем приближенно считать полоску прямоуголь-ником, все точки которого находятся на одной глубине х, т. е. пластинка эта — горизонталь-ная.
• Тогда по закону Паскаля dр =.
• 3. Интегрируя полученное равенство в пределах от х = а до х = b, получим
• P = или P =
• Пример. Определить величину давле-ния воды на полукруг, вертикально погружен-ный в жидкость, если его радиус R, а центр О находится на свободной поверхности воды (рис 15). 5]
• Решение: Воспользуемся полученной форму-лой для нахождения давления жидкости на вер-тикальную пластинку. В данном случае пластинка ограничена линиями у = -, y, x = 0, x = R.
• P =
• 3.3.4 Вычисление статических моментов и координат центра тяжести плоской кривой
• Пусть на плоскости Оху задана система материальных точек М(х;у), М₂(х₂;y), …, M (x;y) соответственное массами m, m, …, m".
• Статическим моментом S_Х системы материальных точек относи-тельно оси Ох называется сумма произведений масс этих точек на их ординаты (т. е. на расстояния этих точек от оси Ох):
• Аналогично определяется статистический момент S этой системы относительно оси Oy: S= .
• Если массы распределены непрерывным образом вдоль некоторой кри-вой, то для выражения статического момента понадобится интегрирова-ние.
• Пусть у =f/(х) (a? х? b) — это уравнение материальной кривой АВ. Будем считать ее однородной с постоянной линейной плотностью (= const).
• Для произвольного х [а;b] на кривой АВ найдется точка с коорди-натами (х; у). Выделим на кривой элементарный участок длины dl, содер-жащий точку (х;у). Тогда масса этого участка равна . Примем этот участок dl приближенно за точку, отстоящую от оси Ох на расстоянии у. Тогда дифференциал статического момента dS («элементарный момент») будет равен, т. е. .
• Отсюда следует, что статический момент S_Х кри-вой АВ относительно оси Ох равен
• Аналогично находим S:
• Статические моменты S_Х и S_У кривой позволя-ют легко установить положение ее центра тяжести (центра масс).
• Центром тяжести материальной плоской кривой у = f (х), х 6 [а; b] называется точка плоскости, обладающая следующим свойством: если в этой точке сосредоточить всю массу т заданной кривой, то статический момент этой точки относительно любой координатной оси будет равен ста-тическому моменту всей кривой у = f(х) относительно той же оси. Обо-значим через С (х_с;у_с) центр тяжести кривой АВ.
• Из определения центра тяжести следуют равенства и или и. Отсюда ,
• или
• Пример. Найти центр тяжести однородной дуги окружности x + y⁼ R², расположенной в первой координатной четверти (рис 16). 5]
• Решение: Очевидно, длина указанной окружности равна, т. е.. Найдем статистический момент ее относительно оси Ох. Так как уравнение дуги есть и, то ()
• .
• Стало быть,
• Так как данная дуга симметрична относительно биссектрисы первого координатного угла, то х_с = у_с = Итак, центр тяжести имеет координаты (;).
• 3.3.5 Вычисление статических моментов и координат центра
• тяжести плоской фигуры
• Пусть дана материальная плоская фигура (пластинка), ограниченн кривой у = f(х) ? 0 и прямыми у = 0, х = а, х = b) (рис 17).
• Будем считать, что поверхностная плотность пластинки постоянна (= const). Тогда масса всей пластинки равна т. е.. Выделим элементарный участок пластинки в виде бесконечно узкой вертикальной полосы и будем приближенно считать его прямоугольником.
• Тогда масса его равна. Центр тяжести прямоугольника лежит на пересечении диагоналей прямоугольника. Эта точка отстоит от оси Ох на? y, а от оси Оу на x (приближенно; точнее на расстоянии х+ ??x). Тогда для элементарных статических моментов относительно осей Ох и Оу выполнены соотношения
• и
• Следовательно,
• ,
• По аналогии с плоской кривой получаем, обозначив координаты центра тяжести плоской фигуры (пластинки) через С (x;y), что .
• Отсюда
• и
• или
• x,.
• Пример. Найдем координаты центра тяжести полукруга (= const) (рис 18).
• [5]
• Решение: Очевидно (ввиду симметрии фигуры относительно оси Oy), что. Площадь полукруга равна. Находим Sx:
• Стало быть,
• Итак, центр тяжести имеет координаты С (0;)
• 3.4 Интегральное исчисление в биологии
• 3.4.1 Численность популяции.
• Число особей в популяции (численность популяции) меняется со временем. Если условия су-ществования популяции благоприятны, то рождаемость превышает смертность и общее число особей в популяции растет со временем. Назовем скоростью роста популяции прирост числа особей в едини-цу времени. Обозначим эту скорость v = v(t). В «старых», уста-новившихся популяциях, давно обитающих в данной местности, скорость роста v (t) мала и медленно стремится к нулю. Но если популяция молода, ее взаимоотношения с другими местными по-пуляциями еще не установились или существуют внешние причины, изменяющие эти взаимоотношения, например сознательное вмеша-тельство человека, то v (t) может значительно колебаться, умень-шаясь или увеличиваясь. 1]
• Если известна скорость роста популяции v t/), то мы можем найти прирост численности популяции за промежуток времени от tо до Т. В самом деле, из определения v (t) следует, что эта функ-ция является производной от численности популяции N (t) в момент t, и, следовательно, численность популяции N (t) является первообраз-ной для v (t). Поэтому
• N(t) — N(t) = .
• Известно, что в условиях неограниченных ресурсов питания
• скорость роста многих популяций экспоненциальна, т. е. v(t) = ае. Популяция в этом случае как бы «не стареет». Такие условия можно создать, например, для микроорганизмов, пересаживая время от времени развивающуюся культуру в новые емкости с питательной средой. Применяя формулу (1), в этом случае получим:
• N (t) = N (t) + a = N (t) + e = N (t) + (e — e)
• По формуле, подобной N (t) = N (t) + a = N (t) + e = N (t) + (e — e)
• , подсчитывают, в частности, численность культивируемых плесневых грибков, выделяющих пенициллин. 1]
• 3.4.2.1 Биомасса популяции.
• Рассмотрим популяцию, в которой масса особи заметно меняется в течение жизни, и подсчитаем общую биомассу популяции.
• Пусть означает возраст в тех или иных единицах времени, а N () — число особей популяции, возраст которых равен. Пусть, наконец, P () — средняя масса особи возраста , а М () — био-масса всех особей в возрасте от 0 до. 1]
• Заметив, что произведение N () P () равно биомассе всех осо-бей возраста, рассмотрим разность
• M (+ ?) — M (),
• где ?>0. Очевидно, что эта разность, равная биомассе всех осо-бей в возрасте от до + ?, удовлетворяет неравенствам:
• N () Р ()?? M (+ ?) — M ()? N ()P ()?,
• где N () Р () — наименьшее, а — N ()P () — наибольшее значения функции N () Р () на отрезке [, + ?]. Учитывая, что ?>0, из неравенств N () Р ()?? M (+ ?) — M ()? N ()P ()?,
• имеем:
• N () Р ()? ? N ()P ()
• Из непрерывности функции N () Р () (ее непрерывность следует из непрерывности N () и Р ()) следует, что
• [N () Р ()] = [N ()P ()] = N () Р ()
• Поэтому будем иметь:
• = N () Р ()
• или
• = N () Р ()
• Следовательно, биомасса М () является перво-образной для N () Р (). Отсюда:
• M (T) — M (0) = N () Р ()dt
• где Т — максимальный возраст особи в данной популяции. Так как М (0), очевидно, равно нулю, то окончательно получаем:
• М (Т)= N () Р ()dt
• 3.4.3 Средняя длина пролета.
• В некоторых исследованиях необхо-димо знать среднюю длину пробега, или среднюю длину пути при прохождении животным некоторого фиксированного участка. При-ведем соответствующий расчет для птиц. Пусть участком будет круг радиуса R. Будем считать, что R не слишком велико, так что большинство птиц изучаемого вида пересекает этот круг по прямой.
• Птица может под любым углом в любой точке пересечь окруж-ность. В зависимости от этого длина ее пролета над кругом может быть равной любой величине от 0 до 2Я,. Нас интересует средняя длина пролета. Обозначим ее через. 1]
• Так как круг симметричен относительно любого своего диамет-ра, нам достаточно ограничиться лишь теми птицами, которые ле-тят в каком-нибудь одном направлении, параллельном оси Оу. Тогда средняя длина пролета — это среднее расстоя-ние между дугами АСВ и АСВ. Иными словами, это среднее зна-чение функции f(х) — f(х), где у = f(х) — уравнение верхней дуги, а у = f₂(х) — уравнение нижней дуги, т. е.
• L =
• или
• L = .
• Так как
• равен площади криволинейной трапеции аАСВb), а
• равен площади криволинейной трапеции аАСВb, то их разность равна площади круга, т. е. R². Разность b — а равна, очевидно, 2R. Подставив это в L = .
• , получим:
• L = = R.
• Приведенные примеры далеко не исчерпывают возможных приложений определенного интеграла в биологии. 1]
• 3.5 Интегральное исчисление в экономике
• В курсе микроэкономики часто рассматривают так называемы предельные величины, т. е. для данной величины, представляемой некоторой функцией у =f (x), рассматривают ее производную f’x. Например, если дана функция издержек С в зависимости от объема q выпускаемого товара С = С (q), то предельные издержки будут за-даваться производной этой функции МС = С'(q). Ее экономический смысл — это издержки на производство дополнительной единицы выпускаемого товара. Поэтому часто приходится находить функ-цию издержек по данной функции предельных издержек. 6]
• Пример. Дана функция предельных издержек МС = Зq² - 48q + 202, 1? q? 20. Найти функцию издержек С = С (q) и вычис-лить издержки в случае производства 10 единиц товара, если из-вестно, что издержки для производства первой единицы товара со-ставили 50 руб. 4]
• Решение. Функцию издержек находим интегрированием:
• C (q) = ,
• где константа Со находится из данного условия С (1) = 50, так что С₀ = 50, поскольку интеграл обращается в нуль. Интегрируя, полу-чим функцию издержек
• C (q) = q.
• Подставляя q = 10 в полученную формулу, находим искомое значение
• С (10) = 670.
• Еще одним примером приложения определенного интеграла является нахождение дисконтированной стоимости денежного потока.
• Допустим вначале, что для каждого дискретного момента времени t = 1, 2, 3, … задана величина денежного потока R((t). Если ставку процента обозначить через р, то дисконтированную стоимость каждой из величин R(1), R(2), R(3), … найдем по известным формулам:
• R (1)(1 + p), R (2)(1 + p), R (3)(1 + p), … .
• Тогда дисконтированную стоимость денежного потока найдем, суммируя эти величины:
• П = ,
• где п — общее число периодов времени.
• В непрерывной модели время изменяется непрерывно, т. е. для каждого момента времени 0? t? Т, где [0, T] - рассматриваемый период времени, задана величина I (t) — скорость изменения денеж-ного потока (т.е. величина денежного потока за промежуток времени от t до t + dt приближенно равна I(t)dt. Для получения ве-личины П изменим формулу П = .А именно, знак суммирования заменим на знак определенного интеграла, формулы вычисления дисконтированной стоимости в дискретном случае заменим на их непрерывный аналог, и тогда формула П =, примет следую-щий вид:
• П = .
• Пример. Под строительство гидроэлектростанции задан непрерывный денежный поток со скоростью I(t) = -t² +20t +5 (млрд руб./год) в течение 20 лет с годовой процентной ставкой р = 5%. Найти дисконтированную стоимость этого потока. [4]
• Решение. По формуле П = имеем
• П = .
• Чтобы вычислить этот интеграл, выполним сначала замену переменной:
• s = -0,05t, t = -20s, dt = -20ds.
• При этом новые пределы интегрирования получаются подстановкой старых пределов в формулу замены: s = 0, s = -1. Имеем
• -
• П = -20(- 400s² — 400s + 5) e = 20 (- 400s² — 400s +5)eds.
• К последнему интегралу применим формулу интегрирования по частям, полагая и = -400s — 400s + 5, dи = (-800s — 400) ds, dv = eds, v= е. Поэтому
• П = 20 ((-400s² — 400s + 5) е + е (800s + 400) ds .
• В первом слагаемом подставим пределы интегрирования, а ко вто-рому слагаемому еще раз применим формулу интегрирования по частям, полагая и = 800s + 400, dи = 800ds. Имеем
• П = 20 (5 — 5e + (800s + 400) e800eds) =
• = 20(5 — 5е — 1 +400 + (800 — 400) e — 1 — 800 + 800е — 1) =
• = 20(1195е- 1 -395).
• Окончательно получим П = 892 (млрд руб.).
• Далее рассмотрим некоторую модель экономического роста, предложенную Е. Д. Домаром. Основные допущения этой моде сформулированы ниже.
• 1. Всякое изменение величины скорости денежного потока I (t) влияет как на совокупный спрос, так и на изменение объема производства.
• 2. Скорость изменения величины спроса Y(t) пропорциональна производной скорости денежного потока с коэффициентом пропорциональности K = 1/s, где s — предельная величина накопления. Это предположение можно записать в виде уравнения
• 3 Экономический потенциал к (т.е. величина стоимости това-которые можно произвести) пропорционален объему оборот-' средств К с коэффициентом пропорциональности р, k = рК. Дифференцируя по t, получим
• .
• В модели Домара предполагается, что весь экономический по-тенциал полностью используется, иными словами, У = к. Диффе-ренцируя по t, получим
• .
• Подставляя и в, имеем
• = pI, .
• Чтобы найти функцию I(t) из уравнения = pI,, проинтегрируем обе части последнего равенства по t от 0 до t. Получим
• , или ln|I (t)| = pst,
• Откуда ln|I| = ln|I (0)| + pst. Потенцируя последнее равенство, получим окончательное выражение для I (t):
• I (t) = I (0)e,
• где I (0) — это скорость денежного потока в начальный момент времени.
• Таким образом, для того чтобы поддерживать равновесие между объемом производимых благ и совокупным спросом на них, скорость денежного потока должна расти с экспоненциальной скоростью согласно формуле
• I (t) = I (0)e
• Заключение
• Рассмотренные выше примеры практических задач, дают нам ясное представление значимости определенного интеграла для их разрешимости.
• Трудно назвать научную область, в которой бы не применялись методы интегрального исчисления, в общем, и свойства определенного интеграла, в частности. Так в процессе выполнения курсовой работы нами были рассмотрены примеры практических задач в области физики, геометрии, механики, биологии и экономики. Конечно, это еще далеко не исчерпывающий список наук, которые используют интегральный метод для поиска устанавливаемой величины при решении конкретной задачи, и установлении теоретических фактов.
• Также определенный интеграл используется для изучения собственно самой математики. Например, при решении дифференциальных уравнений, которые в свою очередь вносят свой незаменимый вклад в решение задач практического содержания. Можно сказать, что определенный интеграл — это некоторый фундамент для изучения математики. Отсюда и важность знания методов их решения.
• Из всего выше сказанного понятно, почему знакомство с определенным интегралом происходит еще в рамках средней общеобразовательной школы, где ученики изучают не только понятие интеграла и его свойства, но и некоторые его приложения.
• Дальнейшая наша работа над данной темой планируется именно в направлении рассмотрения методики и линий изучения определенного интеграла в школе.
• Литература
• 1. Баврин И. И. Высшая математика — М.: Просвещение, 1993. — 319.
• 2. Бермантт А. Ф., Араманович И. Г. Краткий курс математического анализа для втузов — М.: Наука, 1971. — 736с.