Нелокальные задачи для гиперболических уравнений

Основные понятия современной теории дифференциальных уравнений с частными производными сформировались при решении классических задач математической физики, о чем писал в своей обзорной статье А. А. Самарский [66]. Современные задачи естествознания приводят к необходимости обобщений классических задач, а также к постановке качественно новых задач и разработке методов их исследования. Отметим здесь лишь некоторые подходы к обобщению классических задач: распространение результатов, известных для уравнений фиксированного типа, на вырождающиеся уравнения и уравнения смешанного типа [75, 5, 7, 36]- исследование классических задач для неклассических уравнений [10, 51]- исследование задач в негладких [37, 38] и неклассических [60, 79] областях.

Одним из классов качественно новых задач являются задачи с нелокальными условиями. Термин «нелокальные условия» впервые был введен А. А. Дезиным в работе [18]. Начало систематических исследований нелокальных задач для уравнений в частных производных было положено статьей А. В. Бицадзе и А. А. Самарского [6], в которой поставлена задача отыскания решения эллиптического уравнения (и системы уравнений) второго порядка, значения которого в точках некоторой части границы рассматриваемой области равны его значениям в образах этих точек при заданном диффеоморфизме. Такие задачи можно рассматривать как обобщение классических краевых задач, однако при их изучении возникают дополнительные трудности. Впоследствии эта проблематика получила развитие в работах ряда авторов: В. А. Ильина, А. А. Дезина, Е. И. Моисеева, А. К. Гущина, В. Н. Врагова, Л. И. Камынина, А. Л. Скубачевского, А. М. Нахушева, Т. Ш. Кальменова, Н. И. Ионкина, И. С. Ломова, А. И. Кожанова, О. А. Репина, L. Byszewski, J.R.Cannon.

Вскоре было замечено, что наибольшую трудность представляет случай, когда нелокальные условия не содержат значений искомой функции в точках границы. К такому случаю относятся нелокальные условия, заданные в виде интегралов Римана или Лебега. Задачи с интегральными условиями для параболических и эллиптических уравнений рассматривались многими авторами: исследование параболических уравнений с интегральными условиями начато в работах Д. Кэннона, К. Ректориса, Л. И. Камынина, задачи с нелокальными, в том числе интегральными, условиями для эллиптических уравнений и спектральные свойства операторов, порождаемых такими условиями, рассмотрены в работах А. К. Гущина, В. П. Михайлова, А. Л. Скубачевского, Б. П. Панеяха.

Гораздо менее изучен вопрос о постановке и разрешимости задач с интегральными условиями для гиперболических уравнений. В предлагаемой работе сделана попытка восполнить этот пробел. Исследования диссертации посвящены постановке нелокальных задач с интегральными условиями для гиперболических уравнений и разработке методов их исследования.

Общая характеристика работы.

Актуальность темы

Нелокальные задачи для уравнений в частных производных в последнее время привлекают внимание многих математиков. Интерес к таким задачам вызван как потребностью обобщения классических задач, так и их прикладным значением.

Особенностью задач с нелокальными условиями, заданными в виде интегралов Римана или Лебега, является неплотность области определения оператора, порождаемого этой задачей. Вследствие этого многие стандартные методы исследования оказываются неприменимыми и возникает необходимость в разработке новых и модификации известных методов исследования.

Прикладное значение задач с нелокальными интегральными условиями обусловлено важностью изучения физических процессов, математическими моделями которых являются такие задачи. Это процессы, происходящие в турбулентной плазме, диффузионные процессы, теплопроводность, влагоперенос в капиллярно-пористой среде, задачи математической биологии, а также некоторые обратные задачи математической физики.

Цель и задачи исследования

Постановка нелокальных задач с интегральными условиями для гиперболических уравнений и разработка методов их исследования.

Общая методика исследования Основными методами исследований являются методы теории дифференциальных уравнений, математического и функционального анализа. К исследованиям привлекается аппарат специальных функций и некоторые результаты и методы теории вырождающихся дифференциальных уравнений в частных производных.

Научная новизна Основные результаты работы состоят в следующем.

1. Поставлена задача с начальными данными, условием Дирихле и нелокальным интегральным условием для общего гиперболического уравнения на плоскости и доказана ее однозначная разрешимость.

2. Доказана однозначная разрешимость смешанной задачи с начальными данными, условием Неймана и нелокальным интегральным условием для общего гиперболического уравнения на плоскости. Тем самым обощены результаты работы [83]. Показано, что в некоторых случаях, к которым относится и статья [83], задача с интегральным условием и условием Неймана может быть сведена к классической смешанной задаче.

3. Поставлена смешанная задача с начальными данными без граничных условий, вместо которых заданы два нелокальных интегральных условия. Разработан метод сведения этой задачи к системе операторных уравнений. Доказана разрешимость.

4. Доказана однозначная разрешимость смешанной задачи с нелокальным интегральным условием для уравнения с оператором Бесселя. При этом показано, что одно из условий задачи, рассмотренной в [99], является лишним.

5. Доказана однозначная разрешимость нелокальной задачи с интегральными условиями (интегральный аналог задачи Гурса). Выявлена связь этой задачи с нелокальной задачей для нагруженного гиперболического уравнения. Получены условия на коэффициенты уравнения, обеспечивающие единственность решения. Построен пример задачи, для которой не имеет место теорема единственности. Разработан метод сведения интегральной задачи Гурса с условиями, заданными только в части области, к задаче для нагруженного уравнения.

6. Рассмотрена задача с интегральным условием для псевдопараболического уравнения влагопереноса. Показано, что эта задача может быть сведена к задаче с интегральным условием для нагруженного гиперболического уравнения и доказана ее однозначная разрешимость.

7. Поставлена нелокальная задача с интегральными условиями для вырождающегося гиперболического уравнения. Доказана ее однозначная разрешимость.

Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер. Полученные результаты могут быть использованы для дальнейшего развития теории нелокальных задач, а также для применения в исследованиях прикладных задач, математическими моделями которых являются задачи с нелокальными интегральными условиями.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на:

— Воронежской зимней математической школе «Современные методы теории функций и смежные проблемы прикладной математики и механики» (1991, 1992, 1995 г.);

— Научной конференции «Краевые задачи и их спектральные вопросы дл дифференциальных уравнений «(Алма-Ата, май 1991 г.);

— XYI всесоюзной школе по теории операторов в функциональных пространствах (Нижний Новгород, сентябрь 1991 г.);

— Воронежской школе «Современные методы в теории краевых задач» (Воронеж, май 1991, 1992 г.);

— Международной научной конференции «Дифференциальные и интегральные уравнения. Математическая физика и специальные функции «(Самара, май 1992 г.);

— Воронежской весенней математической школе «Понтрягинские чтенияVI» (Воронеж, май 1993 г.);

— Международной конференции «Дифференциальные уравнения и их приложения» (Саранск, декабрь 1994 г.);

— III международном конгрессе по индустриальной и прикладной математике (ICIAM 95) (Гамбург, июль 1995 г.);

Сибирской конференции по неклассическим уравнениям и математической физике (Новосибирск, сентябрь 1995 г.);

— Международном семинаре «Дифференциальные уравнения и их приложения» (Самара, июнь 1996 г.);

— Международной научной конференции, посвящённой 90-летию со дня рождения профессора С. П. Пулькина «Дифференциальные уравнения. Интегральные уравнения. Специальные функции» (Самара, май 1997 г.);

— Третьем сибирском конгрессе по прикладной и индустриальной математике (ИНПРИМ-98) (Новосибирск, июнь 1998 г.);

— Международном конгрессе математиков (ICM 1998) (Берлин, август 1998 г.);

Международном семинаре «Нелинейное моделирование и управление» (Самара, сентябрь 1998 г.);

— Воронежской весенней математической школе «Понтрягинские чтенияXI-» Современные методы в теории краевых задач" (Воронеж, май 2000 г.);

— Международной конференции по дифференциальным уравнениям и динамическим системам (Суздаль, август 2000 г.);

— Международной конференции, посвящённой 100-летию со дня рождения И. Г. Петровского (Москва, май 2001 г.);

Научной конференции, посвящённой 125-летию Казанского государственного педагогического университета «Проблемы современной математики» (Казань, октябрь 2001 г.);

— Международной конференции по дифференциальным уравнениям и динамическим системам (Суздаль, июль 2002 г.);

— Международной конференции «Некорректные и обратные задачи», посвящённой академику М. М. Лаврентьеву в связи с его 70-летием со дня рождения (Новосибирск, август 2002 г.);

— Международной конференции «Дифференциальные и функционально-дифференциальные уравнения» (Москва, август 2002.).

Общая характеристика работы 10.

Материалы диссертации докладывались также на регулярных семинарах кафедры уравнений математической физики Самарского государственного университета (руководитель — профессор О.П. Филатов) — на семинаре в институте математики Кёльнского университета (руководитель — профессор Т. Мейс, апрель 1995 г.) — на семинаре кафедры общей математики ВМиК Московского государственного университета (руководитель — профессор Е. И. Моисеев, май 2002 г.) — на семинаре кафедры общей математики ВМиК Московского государственного университета (руководители — профессора В. А. Ильин, Е. И. Моисеев, А. А. Дезин, декабрь 2002 г.).

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, общей характеристики работы, пяти глав, включающих 16 параграфов, списка литературы. Объем диссертации 195 страниц машинописного текста.

Список литературы

на 20 страницах содержит 137 наименований, при этом работы автора по теме диссертации приведены в конце списка (103 — 137).

1. Алексеева С. М., Юрчук Н. И. Метод квазиобращения для задачи управления начальным условием для уравнения теплопроводности с интегральным краевым условием.//Дифференциальные уравнения. 1998. Т. 34. № 4. С. 495−502.

2. Бесов К. О. О собственных функциях некоторых нелинейных нелокальных операторов. //Дифференц. уравнения. 2002. Т.38. № 4. С. 490−498.

3. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. 4.1. М. «Наука». 1973.

4. Белавин В. А., Капица С. П., Курдюмов С. П. Математическая модель глобальных демографических процессов с учетом пространственного распределения. //ЖвмМф. 1998. Т.38. № 6. С. 885−902.

5. Бицадзе А. В. Уравнения смешанного типа. М. Изд.-во АН СССР. 1959. 164 с.

6. Бицадзе А. В., Самарский А. А. О некоторых простейших обобщениях эллиптических задач.// ДАН СССР, 1969, т. 185. № 4. С. 739−740.

7. Бицадзе А. В. Некоторые классы уравнений в частных производных. М. «Наука». 1981. 448 с.

8. Бицадзе А. В. К теории нелокальных краевых задач.//ДАН СССР. 1984. Т.277.№ 1. С. 17−19.

9. Водахова В. А. Краевая задача с нелокальным условием А. М. Нахушева для одного псевдопараболического уравнения влагопереноса.// Дифференц. уравнения. 1982. Т. 18. № 2. С. 280−285.

10. Врагов В. Н. Краевые задачи для неклассических уравнений математической физики. Новосибирск. НГУ. 1983. 84 с.

11. Галахов Е. И., Скубачевский A.JI. Об одной нелокальной спектральной задаче.//Дифференциальные уравнения. 1997. Т.ЗЗ. № 1. С. 25−32.

12. Гординг JI. Задача Коши для гиперболических уравнений. Издательство иностранной литературы. М., 1961.

13. Гордезиани Д. Г., Авалишвили Г. А. Решения нелокальных задач для одномерных колебаний среды. // Матем.моделир. 2000. Т. 12. № 1. С. 94−103.

14. Градштейн И. С., Рыжик И. М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М. Физматгиз. 1963. 1100 с.

15. Гущин А. К., Михайлов В. П. О разрешимости нелокальных задач для эллиптического уравнения второго порядка.//Матем. сб. 1994. Т. 185. № 1. С. 121−160.

16. Гущин А. К. Условие полной непрерывности операторов, возникающих в нелокальных задачах для эллиптических уравнений. //ДАН. 2000. Т. 373. № 2. С. 161−163.

17. Гущин А. К. Условия компактности одного класса операторов и его применение к исследованию разрешимости нелокальных задач для эллиптических уравнений.//Матем. сб. 2002. Т. 193. Nfi 5. С. 17−36.

18. Дезин А. А. Простейшие разрешимые расширения для ультрагиперболического и псевдопараболического операторов. //Докл. АН СССР. 1963. Т. 148. № 5. С. 1013−1016.

19. Ильин В. А. Необходимые и достаточные условия базисности подсистемы собственных и присоединенных функций пучка М. В. Келдыша обыкновенных дифференциальных операторов. / / ДАН СССР. 1976. Т. 227. № 4. С. 796−799.

20. Ильин В. А., Моисеев Е. И. Нелокальная краевая задач для оператора Штурма-Лиувилля в дифференциальной и разностной трактовках. //ДАН СССР. 1986. Т. 291. № 3. С. 534−539.

21. Ильин В. А., Моисеев Е. И. Нелокальная задача первого рода для оператора Штурма-Лиувилля в дифференциальной и разностной трактовках.// Дифференциальные уравнения. 1987. Т.23. № 7. С. 11 981 207.

22. Ильин В. А., Моисеев Е. И. Нелокальная краевая задача второго рода для оператора Штурма-Лиувилля. //Диф.уравнения. 1987. Т.23. № 8. С. 1422−1431.

23. Ильин В. А., Моисеев Е. И. Априорная оценка решения задачи, сопряженной к нелокальной краевой задаче первого рода. //Дифференциальные уравнения. 1988. Т.24. № 5. С. 795−804.

24. Ильин В. А., Моисеев Е. И. Двумерная нелокальная краевая задача для оператора Пуассона в дифференциальной и разностной трактовках. //Мат.моделирование. 1990. Т. 2. № 8. С. 139−156.

25. Ильин В. А., Тихомиров В. В. Волновое уравнение с граничным управлением на двух концах и задача о полном успокоении колебательного процесса. //Дифференц. уравнения. 1999. Т.35. № 5. С. 692−704.

26. Ильин В. А., Моисеев Е. И. О единственности решения смешанной задачи для волнового уравнения с нелокальными граничными условиями.//Дифференциальные уравнения. 2000. Т.36. № 5. С. 656 661.

27. Ионкин Н. И. Решение одной краевой задачи теории теплопроводности с неклассическим краевым условием. //Дифференциальные Уравнения. 1977. Т. 13. № 2 С. 294−304.

28. Ионкин Н. И., Моисеев Е. И. О задаче для уравнения теплопроводности с двуточечными краевыми условиями. //Дифференц. уравнения.1979. Т. 15. № 7. С. 1284−1295.

29. Ионкин Н. И. Об устойчивости одной задачи теории теплопроводности с неклассическим краевым условием. //Дифференц. уравнения. 1979. Т. 15. № 7. С. 1279−1283.

30. Ионкин Н. И., Морозова В. А. Двумерное уравнение теплопроводности с нелокальными краевыми условиями.//Дифференц. уравнения. 2000. Т.36. № 7 С. 884−888.

31. Кальменов Т. Ш. Спектр краевой задачи со смещением для волнового уравнения.//Дифференциальные Уравнения. 1983. Т.19. № 1. С. 75−78.

32. Камынин Л. И. Об одной краевой задаче теории теплопроводности с неклассическими граничными условиями. //ЖВМиМФ. 1964. Т.4. N5 6. С. 1006−1024.

33. Камынин В. Л., Саролди М. Нелинейная обратная задача для параболического уравнения высокого порядка.//Журнал вычислительной математики и матем. физики. 1998. Т.38. № 10. С. 1683−1691.

34. Керефов А. А. Нелокальные краевые задачи для параболических уравнений.//Дифференциальные Уравнения. 1979. Т.15. № 1. С. 74−78.

35. Кесельман Г. М. О спектральности возмущенного оператора Штурма-Лиувилля с нелокальными краевыми условиями. //Дифференц. уравнения. 1985. Т.21. № 3. С. 494−499.

36. Кислов Н. В., Салапин Д. А. Краевая задача для уравнения смешанного типа в полуполосе. //Вестник МЭИ. 1994. № 4. С. 41−48.

37. Кондратьев В. А. Задача Коши с характеристическими точками на начальной поверхности. // Вестник МГУ. Сер.1 Математика. Механика. 1974. № 1. С. 84−92.

38. Кондратьев В. А., Олейник О. А. Краевые задачи для уравнений с частными производными в негладких областях. // УМН. 1983. Т. 38. № 2. С. 3−76.

39. Кожанов А. И. Об одной нелокальной краевой задаче для эллиптического уравнения.//Матем. заметки ЯГУ. Т.8. Вып.1.Якутск 2001. С. 33−49.

40. Ладыженская О. А. Краевые задачи математической физики. М." Наука". 1973. 407 с.

41. Лернер М. Е., Репин О. А. Об одной задаче с двумя нелокальными краевыми условиями для уравнения смешанного типа. //Сиб. мат. журнал. 1999. Т.40. № 6 (238) С. 1260−1275.

42. Ломов И. С. Равномерная сходимость биортогонального ряда для оператора Шредингера с многоточечными краевыми условиями. //Дифференциальные Уравнения. 2002. Т.38. № 7. С. 890−896.

43. Лыков А. В. Применение методов термодинамики необратимых процессов к исследованию теплои массообмена.//Инженерно-физический журнал. 1965. T.IX. № 3 С. 287−304.

44. Люстерник Л. А., Соболев В. И. Элементы функционального анализа. М. «Наука». 1965. 520 с.

45. Михайлов В. П. Дифференциальные уравнения в частных производных. М, «Наука», 1983.

46. Моисеев Е. И. О решении спектральным методом одной нелокальной краевой задачи.//Дифференциальные Уравнения. 1999. Т.35. № 8. С. 1094−1100.

47. Муравей Л. А., Филиновский А. В. Об одной нелокальной краевой задаче для параболического уравнения. //Матем.заметки. 1993. Т. 54. № 4. С. 98−116.

48. Муравей Л. А., Филиновский А. В. Об одной задаче с нелокальным граничным условием для параболического уравнения. //Мат.сборник. 1991. Т.182. № 10. С. 1479−1512.

49. Нахушев A.M. О некоторых краевых задачах для гиперболических уравнений и уравнений смешанного типа.//Дифференциальные Уравнения. 1969. Т.5. № 1. С. 44−59.

50. Нахушев A.M. Нелокальная задача и задача Гурса для нагруженного уравнения гиперболического типа и их приложения к прогнозу почвенной влаги. //ДАН СССР. 1978. Т.242. № 5. С.1008−1011.

51. Нахушев A.M. Краевые задачи для нагруженных интегро-дифференциальных уравнений гиперболического типа и некоторые их приложения к прогнозу почвенной влаги. //Дифференц. уравнения. 1979. Т.15. № 1. С. 96−73.

52. Нахушев A.M. Об одном приближенном методе решения краевых задач для дифференциальных уравнений и его приложение к динамике почвенной влаги и грунтовых вод.//Дифференциальные Уравнения. 1982. Т.18. № 1. С. 72−81.

53. Нахушев A.M. Нагруженные уравнения и их применения.//Дифференциальные Уравнения. 1983. Т.19. № 1. С. 86−94.

54. Нахушев A.M. Уравнения математической биологии. М." Высшая школа" 1995.301 с.

55. Нахушев A.M. Краевые задачи для нагруженных интегро-дифференциальных уравнений гиперболического типа и некоторые их приложения к прогнозу почвенной влаги.//Дифференц. уравнения. 1979. Т.15. № 1.

56. Нахушева З. А. Об одной нелокальной задаче для уравнений в частных производных. //Дифференц. уравнения. 1986. Т.22. № 1. С. 171.

57. Нахушев A.M. О нелокальных краевых задачах со смещением и их связь с нагруженными уравнениями.//Дифференциальные Уравнения. 1985. Т.21. № 1. С. 92−101.

58. Нахушева З. А. Первая и вторая краевые задачи для параболического уравнения второго порядка.//Дифференц. уравнения. 1990. Т.26. № 11. С. 1982;1992.

59. Панеях Б. П. О некоторых нелокальных краевых задачах для линейных дифференциальных операторов.//Матем. заметки. 1984. Т. 35. Вып. 3. С. 425−434.

60. Подгаев А. Г. О разрешимости обобщенной задачи Трикоми для нелинейного уравнения. //ДАН СССР. 1977. Т.18. № 5. С. 1359−1363.

61. Понтрягин JI.C. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М. Государственное издательство физико-математической литературы. 1961. 312 с.

62. Прилепко А. И., Васин И. А. Нелинейная обратная задача определения коэффициента в системе уравнений динамики вязкой несжимаемой жидкости. //ДАН СССР. 1993. Т.ЗЗО. № 2. С. 161.

63. Пулькин С. П. Некоторые краевые задачи для уравненияР пXX ^ 11>уу «Г Их —соУченые записки Куйбышевского пединститута. 1958. Вып. 21. С.3−55.

64. Репин О. А. Нелокальная краевая задача для одного вырождающегося гиперболического уравнения. //ДАН 1994. Т.335. № 3. С. 295−296.

65. Репин О. А. Об одной нелокальной краевой задаче для уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу. //Дифференц. уравнения. 1995. Т.31. № 1. С. 175−176.

66. Самарский А. А. О некоторых проблемах теории дифференциальных уравнений.// Дифференц. уравнения, 1980. Т.16. № 11 С. 1925;1935.

67. Сапаговас М. П. Вариационно-разностный метод для решения нелинейных дифференциальных уравнений с нелокальным условием. Материалы всесоюзной конференции «Вариационные и разностные методы в математической физике. Новосибирск-1980». 1981. С.125−128.

68. Сапаговас М. П., Чегис Р. Ю. О некоторых краевых задачах с нелокальными условиями.//Дифференциальные Уравнения. 1987. Т.23. № 7. С. 1268−1274.

69. Скубачевский A. JL, Стеблов Г. М. О спектре дифференциальных операторов с областью определения, не плотной в ^2(0,1). // ДАН СССР. 1991. т.321.№ 6. С. 1158−1163.

70. Скубачевский A.JI. О спектре некоторых нелокальных эллиптических каревых задач. //Мат.сборник. 1982. 117(159). JVM. С. 548−557.

71. Скубачевский A. J1. Нелокальные эллиптические задачи с параметром. //Мат.сборник. 1983. 121(163). № 2(6). С. 201−210.

72. Соболев C. J1. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. Изд-во Ленинградского университета. Ленинград. 1950. 255 с.

73. Соболев C. J1. Уравнения математической физики. М. «Наука». 1966. 444 с.

74. Тихомиров В. В. О безусловной базисности корневых векторов нагруженных операторов. // Дифференц. уравнения. 1989. Т.25. № 2. С. 355−357.

75. Трикоми Ф. О линейных уравнениях смешанного типа. M.-JI. Государственное издательство технико-теоретической литературы. 1947. 192 с.

76. Франкль Ф. И. Обтекание профилей потоком дозвуковой скорости со сверхзвуковой зоной, оканчивающейся прямым скачком уплотнения. //ПММ 20 вып.2. 1956.(Избранные труды по газовой динамике. М." Наука". 1973. С.449−458.).

77. Чудновский А. Ф. Теплофизика почв. М." Наука" 1976.

78. Шкаликов А. А. О базисности собственных функций обыкновенных дифференциальных операторов с интегральными краевыми условиями. Вестник МГУ сер.1 математика, механика. 1982. № 6. С. 12−21.

79. Aziz А.К., Schneider М. The existence of generalized solutions for a class of quasi-linear equation of mixed type. //J.Math.Anal.andAppl. 1985. V.107. № 2. P. 425−445.

80. Beilin S. Existence of solutions for one-dimensional wave equations with nonlocal conditions. // Electronic Journal of Differential Equations, Vol.2001. №.76. P. 1−8.

81. Bouziani A. et Benouar N-E. Probleme mixte avec conditions integrates pour une classe d’equations paraboliques. //C.R.Acad.Sci.Paris. 1995. T.321. Serie 1. P. 1177−1182.

82. Bouziani A. Strong solution for a mixed problem with nonlocal condition for certain pluriparabolic equation. //Hiroshima Mathematical Journal. 1997 Vol.27. № 3.

83. Bouziani A. Solution forte d’un problem mixte avec conditions non locales pour une classe d’equations hyperboliques. Bulletin de la Classe des Sciences. Academie Royale de Belgique. 1997. Tome VIII. P. 53−70.

84. Bouziani A. and Benouar N-E. Mixed problem with integral conditions for a third order parabolic equation. //Kobe Journal of Mathematics. 1998. Vol.15, m. P. 47−58.

85. Bouziani A. On a class of parabolic equations with a nonlocal boundary condition. //Bulletin de la Classe des Sciences. Academie Royale de Belgique. 1999. 6e serie. Tome X. P.61−77.

86. Byszewski L. Theorem about existence and uniqueness of continuous solution of nonlocal problem for nonlinear hyperbolic equation.//Applicable Analysis. 1991.V.40. P. 173−180.

87. Brown R.C., Krall A.M. Ordinary differential operators under Stieltjes boundary conditions.//Trans. Amer.Math.Soc.1974. 198. P.73−92.

88. Cannon J.R. The Solution of the Heat Equation Subject to the Specification of Energy. Quart. Appl. Math. 21. (1963). P.155−160.

89. Cannon J.R., J. Van der Hoek. The classical solution of the one-dimentional two-phase Stefan problem with energy spesification. //Ann.Math.Рига ed Appl. 1982. 130. P. 385−398.

90. Cannon J.R., J. Van der Hoek. The one-phase Stefan problem subject to the spesification of energy. //J. Math. Anal, and Appl. 1982. V.86. № 1. P. 281−291.

91. Cannon J.R. and Lin Y. Determination of a parameter p (t) in some quasi-linear parabolic differential equations. //Inverse problems. 4. 1988. P. 35−45.

92. Cannon J.R. and Ewing R.E. Quasilinear parabolic systems with non-linear boundary conditions, inverse and improperly posed problems in differential equations. Proc. Conf., Math.Numer. Math., Hall. 1979. P. 35−43. Math. Res. I.(Berlin:Akademic).

93. Kamynin V.L., Vasin I.A. Inverse problems for linearized Navier-Stokes equations with integral overdeternimation. Unique solvability and passage to the limit. //Ann.Univ.Ferrara Sez. VII — Sc.Mat. Vol. XXXVIII, 299−247 (1992).

94. Krall A.M. The development of general differential operators and general differential boundary systems.//Rochy Mountain J. Math. 1975. № 4. P. 493−542.

95. Kozhanov A.I. Nonlinear inverse problems for elliptic equations.//J. Inv. and Ill-Posed Problems. 2001. Vol.9. № 4.

96. Kozhanov A.I. Inverse problems and «loaded» composite type equations.//Нелинейные граничные задачи. Донецк. Институт прикладной математики и механики. 2000. № 10. С. 109−116.

97. Mesloub S. and Bouziani A. On a class of singular hyperbolic equation with a weighted integral condition. //Internat. J. Math. & Math. Sci. 1999. Vol.22. № 3 P. 511−519.

98. Побир1вська H.B. Обернеш задач! з штегральними умовами переизначения.//Мат. методи та ф1з-мех поля. 2000.Т.43. № 1. С.51−58.

99. K.Rektorys. Die Losung der gemischten Randwertaufgabe und des Problems mit einer Integralbedingung «im Ganzen» fur eine nichtlineare parabolische Gleichung mit der Netzmethode. //Чехосл. матем. ж. 1963. № 2. С. 189−208.

100. Бейлин С. А., Пулькина JI.C. Единственность решения смешанной задачи с интегральным условием для одного гиперболическогоуравнения. //Труды математического центра имени Н. И. Лобачевского. Казань. 2001. Т.Н. С. 24−27.

101. Голубева Н. Д., Пулькина Л. С. Задача с нелокальными условиями для гиперболического уравнения.// Деп. ВИНИТИ 20.01.1995. № 187-В95. 14 с.

102. Голубева Н. Д., Пулькина Л. С. Нелокальная задача с интегральными условиями.//Матем. заметки. 1996. Т.59. вып.З. С.326−329.

103. Голубева Н. Д., Пулькина Л. С. Об одной нелокальной задаче для гиперболического уравнения.//Тезисы докладов Воронежской зимней мат. школы «Современные методы теории функций и смежные проблемы математики и механики» .Воронеж. 1995. С. 76.

104. Евдокимова Н. Н., Пулькина Л. С. Нелокальная задача для одного вырождающегося гиперболического уравнения.//Вестник Самарского государственного университета. 1999. № 2(12). С.67−70.

105. Евдокимова Н. Н., Пулькина Л. С. Нелокальная задача с интегральным условием для псевдопараболического уравнения. // Обозрение прикладной и промышленной математики. 2001. Т. 8. Вып. 1. С. 396.

106. Лернер М. Е., Пулькина Л. С. Об одной задаче с нелокальными краевыми условиями для уравнения Лаврентьева-Бицадзе. //Неклассические дифференциальные уравнения в частных производных. Институт математики СО АН. Новосибирск. 1988. С.147−150.

107. Лернер М. Е., Пулькина Л. С. Об одной нелокальной краевой задаче для уравнения Кароля. //Тезисы докладов научной конференции «Дифференциальные уравнения. Интегральные уравнения. Специальные функции». Самара. 1997.

108. Пулькина Л. С. Об одной нелокальной задаче для уравнения Эйлера-Дарбу.//Тезисы докладов научной конференции «Краевые задачи и их спектральные вопросы для дифференциальных уравнений». Алма-Ата. 1991. С. 76.

109. Пулькина Л. С. Об одной неклассической задаче для вырождающегося гиперболического уравнения.//Известия вузов. Математика. 1991. № 11. С.48−51.

110. Пулькина Л. С. О нелокальной задаче с интегральными условиями для вырождающегося гиперболического уравнения. //Тезисы докладов научной конференции «Дифференциальные уравнения. Математическая физика и специальные функции». Самара. 1992. С. 204.

111. Пулькина Л. С. Об одной нелокальной задаче для вырождающегося гиперболического уравнения.// Матем. заметки. 1992. Т. 51. Вып. 3. С. 91−96.

112. Пулькина Л. С. О разрешимости в пространстве Н1 задачи Франкля для уравнения смешанного типа.//Тезисы докладов XVI Всесоюзной школыпо теории операторов в функциональных пространствах. Н.Новгород. 1991. С. 184.

113. Пулькина J1.C. О нелокальной задаче с интегральным условием для вырождающегося гиперболического уравнения. //Тезисы докладов школы «Современные методы в теории краевых задач». Воронеж. 1992. С. 93.

114. Пулькина JI.C. О разрешимости в классе Ь2 одной нелокальной задачи. //Тезисы докладов весенней Воронежской математической школы «Понтрягинские чтения IV». Воронеж. 1993. С. 155.

115. Пулькина Л .С. Об одной нелокальной задаче для параболического уравнения.// Тезисы докладов международного семинара «Дифференциальные уравнения и их приложения». Самара. 1995. С. 68.

116. Пулькина Л. С. Нелокальная задача для одного параболического уравнения.//Тезисы докладов Сибирской конференции по неклассическим уравнениям математической физики. Новосибирск. 1995. С. 80.

117. Пулькина Л. С. Об одной нелокальной задаче для уравнения теплопроводности. // Труды III международной конференции женщин-математиков. (Воронеж 1995.) Нижний Новгород. 1996. Вып. 2. С. 37−41.

118. Пулькина Л. С. Об одной нелокальной задаче для гиперболического уравнения с сингулярными коэффициентами.// Труды IIмеждународного семинара «Дифференциальные уравнения и их приложения». Самара. 1998. С. 129−132.

119. Пулькина JI.C. О разрешимости нелокальной задачи с интегральными условиями для гиперболического уравнения.// Вестник Самарского государственного университета. 1998. № 2(8). С. 64−69.

120. Пулькина JI.C. Об обобщенной разрешимости одной нелокальной задачи для гиперболического уравнения. // Тезисы докладов III Сибирского конгресса по прикладной и индустриальной математике (ИНПРИМ-98). Новосибирск. 1998. С. 38.

121. Пулькина JI.C. О разрешимости в Ь2 нелокальной задачи с интегральными условиями для гиперболического уравнения. //Дифференц. уравнения. 2000. Т.36. № 2. С. 279−280.

122. Пулькина JI.C. Нелокальная задача для одного нагруженного дифференциального уравнения.// Тезисы докладов IV Сибирского конгресса по прикладной и индустриальной математике (ИНПРИМ-2000). Новосибирск. 2000.

123. Пулькина JI.C. Нелокальная задача с интегральными условиями для квазилинейного гиперболического уравнения.//Матем. заметки. 2001. Т.70. вып. 1. С. 88−95.

124. Пулькина JI.C. Нелокальная задача для нагруженного гиперболического уравнения.// Труды МИАН. 2002. Т. 236. С. 298−303.

125. Пулькина JI.C. Смешанная задача с нелокальным условием для гиперболического уравнения.// Неклассические уравнения математической физики. ИМ СО АН. Новосибирск. 2002. С. 176−184.

126. Пулькина JI.C. Смешанная задача с интегральными условиями для гиперболического уравнения.// Тезисы докладов международной конференции по дифференциальным уравнениям и динамическим системам. Суздаль. 2002. С. 113−115.

127. Golubeva N.D., Pulkina L.S. On the nonlocal problem with integral condition for hyperbolic equation.// Book of abstracts. The III International Congress of Industrial and Applied Mathematics. Hamburg. 1995. P. 290.

128. Pulkina L.S. On nonlocal problem for degenerate hyperbolic equations.// Book of abstracts. The III International Congress of Industrial and Applied Mathematics. Hamburg. 1995. P. 408.

129. Pulkina L.S. On the solvability of certain nonlocal problems.// Book of abstracts. The III International Congress of Industrial and Applied Mathematics. Hamburg. 1995. P. 408.

130. Pulkina L. A nonlocal problem for the hyperbolic equation.// Book of abstracts. International Congress of Mathematicians. Berlin. 1998. P.217.

131. Pulkina L. A nonlocal problem with integral condition for hyperbolic equations.// Electronic Journal of Differential Equations. Vol.1999. № 45. Southwest Texas State University and University of North Texas. P. 1−6.итература 195.

132. Pulkina L.S. A nonlocal problem for hyperbolic equations. // Book of abstracts. International conference «Differential Equations and Related Topics «dedicated to the Centenary Anniversary of Ivan G. Petrovskii. Moscow. 2001. P. 341−342.

133. Ludmila S. Pulkina. A nonlocal problem for the hyperbolic equation.// J. Natural Geom. 2002. V. 22. P. 81−90.

134. L.S.Pulkina. The mixed problem with nonlocal conditions for a hyperbolic equation.// Book of abstracts. International Conference on differential and functional differential equations. Moscow. 2002. P. 93−94.