Обучение школьников поиску рациональных способов вычисления

Одна из важнейших задач обучения младших школьников математике — формирование у них вычислительных навыков, основой которых является осознанное и прочное усвоение приемов устных и письменных вычислений. Их усвоение происходит в результате длительного выполнения тренировочных упражнений. Выполнение большого количества однотипных упражнений, безусловно, способствует усвоению вычислительного приема, но вместе с тем снижает познавательную активность, у детей пропадает интерес, рассеивается внимание, нарастает число ошибок.

В условиях развивающего обучения система заданий, направленная на усвоение вычислительных умений и навыков, должна формировать обобщенные способы действий, побуждать учащихся к самостоятельному поиску новых способов действий, рассмотрению нескольких способов решения задания и оцениванию их с точки зрения рациональности. Использование рациональных приемов, помогающих во многих случаях значительно облегчить процесс вычислений, способствует формированию положительных мотивов к этому виду учебной деятельности. Поэтому работа по поиску рациональных приемов вычислений должна проводиться постоянно, систематически и органически увязываться с изучаемым программным материалом.

К сожалению, далеко не всегда удается добиться этой цели в силу существующих объективных и субъективных причин. Одной из наиболее важных объективных причин неумения школьников использовать рациональные приемы вычислений является, по моему мнению, недостаточная математическая подготовка самих учителей.

Учителю, прежде всего самому необходимо усвоить теоретические основы рациональных вычислений, научиться их использовать, а затем уже овладеть умениями, связанными с обучением учащихся рациональным вычислениями.

Приемы, которые способствуют формированию навыков рациональных вычислений.

1. Приемы сложения.

Рациональные приемы сложения основываются на коммуникативном и ассоциативном законах сложения, а также на свойствах изменения суммы.

Коммуникативный закон сложения. Сумма не изменится, если заменить какую-либо группу рядом стоящих слагаемых их суммой, т. е. для:

а, b, с Z, а + b= b+а.

Ассоциативный закон сложения. Сумма не изменится, если заменить какую-либо группу рядом стоящих слагаемых их суммой, т. е. для:

а, b, с Z (а + b) + с = а+(b+с).

Прием 1.1. Округление одного или нескольких слагаемых. Одно (или несколько слагаемых заменяют ближайшим к нему «круглым"числом, находят сумму чисел, а затем соответствующее дополнение до «круглого» числа прибавляют к полученной сумме или вычитают из нее.

Пример:

• 1. 173+59=(173+(59+1))-1=(173+60)-1=233−1=232.
• 2. 882+197=(882+(197+3))-3=(882+200)-3=1082−3=1079.
• 3. 78+364=364+78=(360+80)+4−2=440+2=442.

Прием 1.2. Поразрядное сложение.

При сложении нескольких многозначных чисел сначала находят суммы соответствующих разрядных единиц всех чисел, а затем складывают полученные суммы. В частности. При сложении нескольких двузначных чисел сначала находят сумму всех десятков, потом — всех единиц, а затем складывают полученные суммы. Пример:

• 26+17+85+43=(20+10+80+40)+(6+7+5+3)=150+21=171.
• 328+681+237+495=(300+600+200+400)+(20+80+30+90)+(8+1+7+5)=1500+210+21=1000+(500+200)+(10+20)+1=1000+700+30+1=1731.

Прием 1.3. Группировка вокруг одного и того же «корневого числа».

Суть приема.

Пример: Пусть требуется найти сумму 57+54+53+55+54+52+54+50.

Легко заметить, что все эти числа близки к числу 54, поэтому его считают «корневым», а искомую сумму вычисляют в следующей последовательности:

• 1) находят сумму «корневых» чисел: 54×8=432, так как в сумме 8 слагаемых;
• 2) находят сумму отклонений каждого числа от «корневого»; при этом, если число больше «корневого», отклонение берется со знаком «плюс», если число меньше «корневого» — со знаком «минус»: 3+0−1+1+0−2+0−4=-3;
• 3) получившуюся сумму алгебраически прибавляют к результату первого пункта:
• 432+(-3)=432−3=429.

Выбор «корневого» числа не влияет на окончательный результат. Так, если считать, что «корневое» число не 54, а 55 то вычисления будут следующими:

• 1) 55×8=440.
• 2) 2−1-2+0−1-3−1-5=-11.
• 3) 440−11=429.
• 4) «Корневое» число обычно берут таким, чтобы наиболее просто находилась сумма отклонений.

Прием 1.4. Вынесение общего множителя.

При сложении нескольких чисел, имеющих общий множитель, сначала выносят за скобку общий множитель, находят сумму чисел в скобках, а затем находят произведение общего множителя и полученной суммы.

Пример:

• 28+20+36+16=4х (7+5+9+4)=4×25=100.
• 2. Приемы вычитания

Прием 2.1. Увеличение или уменьшение уменьшаемого и вычитаемого на одно и то же число единиц.

Суть приема поясняется на примерах.

Пример:

342−26=(342−2)-(26−2)=340−24=316.

Этот прием особенно хорош тогда, когда вычитаемое близко к «круглому» числу.

Пример:

1285−296=(1285+4)-(296+4)=1289−300=1289-(200+100)=(1289−200)-100=1089−100=989.

Прием 2.2. Округление вычитаемого.

Вычитаемое заменяют ближайшим к нему «круглым» числом, находят разность, а затем соответствующее дополнение до «круглого» числа прибавляют к полученной разности или вычитают из нее.

Пример:

1285−296=1285-((296+4)-4)=1285-(300−4)=(1285−300)+4=1285 (200+100)+4=(1085−100)+4=985+4=989.

Прием 2.3. Вынесение общего множителя.

При вычитании нескольких чисел, имеющих общий множитель, сначала выносят за скобку общий множитель, находят разность чисел в скобках, а затем находят произведение общего множителя и полученной разности.

Пример:

• 724−148=4х (181−37)=4×144=2×2×144=2×288=576;
• 91−35−28=7х (13−5-4)=7×4=28.
• 3. Приемы умножения.

Все приемы рациональных вычислений для умножения основаны на законах умножения и на свойствах изменения произведения.

Прием 3.1. Разложение одного из множителей на множители.

Умножение на 4 сводится к двукратному умножению на 2.

Пример:

948×4=(948×2)х2=(900×2+40×2+8×2)х2=(1800+80+16)х2=1896×2=1000×2+800×2+90×2+6×2=2000+1600+180+12=3792;

Прием 3.2. Представление одного из множителей произведения в виде частного двух чисел.

Один из множителей произведения представляют в виде частного двух чисел, второй множитель умножают на делимое, а затем делят на делитель.

Умножение на 5.

Чтобы умножить: число на 5, достаточно умножить его на 10 и результат разделить на 2.

Пример:

387×5=(387×10):2=3870:2=3000:2+800:2+70:2=1500+400+35=1935.

Прием 3.3. Умножение на 25(250,2500).

Чтобы умножить число на 25, достаточно умножить его на 100 и результат разделить на 4.

Пример:

137×25=(137×100):4=13 700:4=(13 700:2):2=(10 000:2+3000:2+700:2):2=(5000+1500+350):2=6850:2=6000:2+800:2+50:2=3000+400+25=3425.

Прием 3.4. Умножение на 125.

Чтобы умножить число на 125, достаточно умножить его на 1000 и результат разделить на 8.

Пример:

398×125=(398×1000):8=398 000:8=(398 000:2):4=199 000:4=(199 000:2):2=99 500:2=49 750.

Прием 3.5. Умножение на 75.

Чтобы умножить число на 75, достаточно разделить его на 4, умножить частное на 3 и результат умножить на 100.

Пример:

804×75=(804:4)х3×100=201×3×100=613×100=60 300.

Прием 3.6. Умножение четного числа на 55.

Чтобы умножить четное число на 55, достаточно разделить его на два, частное умножить на 100 и на 10, а затем оба результата сложить.

Пример:

968×55=968:2х (100+10)=484х (100+10)=48 400+4840=53 240.

Прием 3.7. Представление одного из множителей произведения в виде разности двух чисел.

Один из множителей произведения представляют в виде разности двух чисел, второй множителей умножают на уменьшаемое и вычитаемое, а затем находят разность получившихся произведений.

Прием 3.8. Умножение на 9.

Чтобы умножить число на 9, достаточно увеличить его в 10 раз и из полученного результата вычесть само число.

Пример:

87×9=87×10−87=870−87=783.

Прием 3.9. Умножение на 98.

Чтобы умножить число на 98 достаточно умножить его на 100 и из полученного результата вычесть удвоенное это число.

Пример:

523×98=523×100−2×523=52 300−1046=51 254.

Прием 3.10. Умножение на 998.

Чтобы умножить число на 998 достаточно умножить его на 1000 и из полученного результата вычесть удвоенное это число.

Пример:

445×998=445×1000−445×2=445 000−890=444 110.

Прием 3.11. Умножение на 11.

Чтобы умножить число на 11, достаточно увеличить его в 10 раз и к полученному результату прибавить это число.

Пример:

• 87×11=87×10+87=870+87=957.
• 1. Приемы деления.

Прием 4.1. Поразрядное деление чисел.

Делимое делят поразрядно, начиная с единиц старшего разряда.

Прием 4.2. Деление на 2.

Деление числа на 2 следует начинать со старших разрядов.

Пример:

374: 2=300:2+70:2+4:2=150+35+2=187.

Прием 4.3. Разложение делителя на множители.

Делитель представляют в виде произведения нескольких множителей, а затем последовательно делят делимое на эти множители.

Пример:

104:8=(104:2):4=(52:2):2=26:2=13.

Прием 4.4. Деление на 5.

Чтобы разделить число на 5, достаточно умножить его на 2 и результат разделить на 10.

Пример:

465:5=(465×2):10=930:10=93.

Прием 4.5. Деление на 25.

Чтобы разделить число на 25, достаточно умножить его на 4 и разделить на 100.

Пример:

14 100:25=(14 100×4):100=(14 100×2×2):100=(28 200×2):100=56 400:100=564.

Прием 4.6. Деление на 125.

Чтобы разделить число на 125, достаточно умножить его на 8 и разделить на 1000.

Пример:

201 000:125=(201 000×8):1000=((201 000×2)х4):1000=(402 000×2)х2:1000=(804 000×2):1000=1 608 000:1000=1608.

Прием 4.7. Деление на 75.

Чтобы разделить число на 75, достаточно разделить его на 3, частное умножить на 4 и результат на 100.

Пример:

60 900:75=((60 900:3)х4):100=(20 300×4):100=81 200:100=812.

Практически все рассмотренные выше приемы рациональных вычислений могут освоить учащиеся, если учитель постоянно будет проводить соответствующую работу, начиная с начальной школы.

Важность поиска школьниками рационального способа вычислений подчеркивалась методистами прошлого и настоящего (С.И. Шохор — Троцким, Н. Н. Сырневым, Ю. М. Калягиным и др.) Так, методист начала века С.И. Шохор-Троцкий выступал против выполнения вычислений, «рабски следуя общим правилам, не обращая внимания на индивидуальность чисел».

В настоящее время возрастает роль обучения детей вычислению значений выражений, содержащих несколько действий, в связи с ориентацией на использование вычислительной техники, при котором осуществление отдельных действий может быть передано машине, а за человеком останется планирование рациональной последовательности их выполнения.

Рационализация вычислений (от латинского RATIONALIS — разумный) означает выполнений более легким, более целесообразным способом. При вычислении значений выражений, содержащих несколько действий, упростить можно программу вычислений или выполнение отдельных действий при реализации намеченной программы. Рассмотрим эти аспекты отдельно.