Теоретические положения проверки гипотезы о нелинейной связи переменных

Готтсданкер выделяет следующие варианты экспериментальных гипотез:

• — контргипотеза — экспериментальная гипотеза, альтернативная к основному предположению; возникает автоматически;
• — третья конкурирующая экспериментальная гипотеза — экспериментальная гипотеза об отсутствии влияния независимой переменной на зависимую; проверяется только в лабораторном эксперименте;
• — точная экспериментальная гипотеза — предположение об отношении между единичной независимой переменной и зависимой в лабораторном эксперименте; проверка требует выделения независимой переменной и «очищения» ее условий;
• — экспериментальная гипотеза о максимальной (или минимальной) величине — предположение о том, при каком уровне независимой переменной зависимая принимает максимальное (или минимальное) значение. «Негативный» процесс, основанный на представлении о двух базисных процессах, оказывающих противоположное действие на зависимую переменную, при достижении определенного (высокого) уровня независимой переменной становится сильнее «позитивного»; проверяется только в многоуровневом эксперименте;
• — экспериментальная гипотеза об абсолютных и пропорциональных отношениях — точное предположение о характере постепенного (количественного) изменения зависимой переменной с постепенным (количественным) изменением независимой; проверяется в многоуровневом эксперименте;
• — экспериментальная гипотеза с одним отношением — предположение об отношении между одной независимой и одной зависимой переменными. Для проверки экспериментальной гипотезы с одним отношением может быть использован и факторный эксперимент, но вторая независимая переменная является при этом контрольной;
• — комбинированная экспериментальная гипотеза — предположение об отношении между определенным сочетанием (комбинацией) двух (или нескольких) независимых переменных, с одной стороны, и зависимой переменной — с другой; проверяется только в факторном эксперименте [9, с.218].

Статистической гипотезой называется любое предположение о виде неизвестного закона распределения или о параметрах известных распределений [5, с.318].

Параметрической гипотезой называется гипотеза о значениях параметров распределения или о сравнительной величине параметров двух распределений. Примером параметрической статистической гипотезы является гипотеза о равенстве математических ожиданий двух нормальных совокупностей.

Непараметрическими гипотезами называются гипотезы о виде распределения случайной величины.

Проверка статистической гипотезы означает проверку соответствия выборочных данных выдвинутой гипотезе.

Параллельно с выдвигаемой основной гипотезой рассматривают и противоречащую ей гипотезу, которая называется конкурирующей или альтернативной. Противоречащая гипотеза считается справедливой, если основная выдвинутая гипотеза отвергается.

Нулевой, основной или проверяемой гипотезой называется первоначально выдвинутая гипотеза, которая обозначается Н0.

Конкурирующей или альтернативной гипотезой называется гипотеза, которая противоречит основной гипотезе Н0 и обозначается Н1.

Простой гипотезой называется гипотеза, которая содержит только одно предположение. Например, гипотеза о том, что параметр распределения Пуассона л равен значению л0, является простой. Основная гипотеза о том, что математическое ожидание нормального распределения равно 5 (при известной дисперсии), т. е. Н0: а=5, также является простой.

Сложной гипотезой называется гипотеза, которая состоит из нескольких простых гипотез. Например, сложная гипотеза вида: Н0: л>4, состоит из множества простых гипотез вида:

Н0: л>m,.

где m — это любое число, большее четырёх.

На нелинейные модели регрессии, которые являются внутренне линейными, т. е. сводимыми к линейному виду, распространяются все методы проверки гипотез, используемые для классических линейных моделей регрессии.

Таким образом, если внутренне линейную модель регрессии можно свести к линейной модели парной регрессии, то на эту модель будут распространяться все методы проверки гипотез, используемые для парной линейной зависимости.

Проверка гипотезы о значимости нелинейной модели множественной регрессии состоит в проверке гипотезы значимости индекса детерминации R2.

Рассмотрим процесс проверки гипотезы о значимости индекса детерминации.

Основная гипотеза состоит в предположении о незначимости индекса детерминации, т. е. Н0: R2=0.

Обратная или конкурирующая гипотеза состоит в предположении о значимости индекса детерминации, т. е. Н1: R2?0.

Данные гипотезы проверяются с помощью F-критерия Фишера-Снедекора.

Наблюдаемое значение F-критерия (вычисленное на основе выборочных данных) сравнивают со значением F-критерия, которое определяется по таблице распределения Фишера-Снедекора, и называется критическим.

При проверке значимости индекса детерминации критическое значение F-критерия определяется как Fкрит (a;k1;k2), где, а — уровень значимости, k1=l-1 и k2=n-l — число степеней свободы, n — объём выборочной совокупности, l — число оцениваемых по выборке параметров.

При проверке основной гипотезы вида Н0: R2=0 наблюдаемое значение F-критерия Фишера-Снедекора рассчитывается по формуле:

При проверке основной гипотезы возможны следующие ситуации.

Если наблюдаемое значение F-критерия (вычисленное по выборочным данным) больше критического значения F-критерия (определённого по таблице распределения Фишера-Снедекора), т. е. Fнабл›Fкрит, то с вероятностью, а основная гипотеза о незначимости индекса детерминации отвергается, и он признаётся значимым. Следовательно, полученная модель регрессии также признаётся значимой.

Если наблюдаемое значение F-критерия (вычисленное по выборочным данным) меньше или равно критического значения F-критерия (определённого по таблице распределения Фишера-Снедекора), т. е. Fнабл=Fкрит, то основная гипотеза о незначимости индекса детерминации принимается, и он признаётся незначимым. Полученная модель регрессии является незначимой и нуждается в дальнейшей доработке.

Если в начале эконометрического моделирования перед исследователем стоит выбор между моделью регрессии, внутренне нелинейной и линейной моделью регрессии (или сводящейся к линейному виду), то предпочтение отдаётся линейным формам моделей.

Проверка предположения о возможной нелинейной зависимости между исследуемыми переменными осуществляется с помощью коэффициента детерминации r2 и индекса детерминации R2.

Выдвигается основная гипотеза Н0о наличии линейной зависимости между переменными. Альтернативной является гипотеза Н1 о нелинейной зависимости между переменными.

Данные гипотезы проверяются с помощью t-критерия Стьюдента.

Наблюдаемое значение t-критерия (вычисленное на основе выборочных данных) сравнивают с критическим значением t-критерия, которое определяется по таблице распределения Стьюдента.

При проверке гипотезы о линейной зависимости между переменными критическое значение t-критерия определяется как tкрит (а;n-l-1), где, а — уровень значимости, n — объём выборочной совокупности, l — число оцениваемых по выборке параметров, (n-l-1) — число степеней свободы, которое определяется по таблице распределений t-критерия Стьюдента.

При проверке основной гипотезы Н0 наблюдаемое значение t-критерия Стьюдента рассчитывается по формуле:

где нR-r — величина ошибки разности (R2-r2), которая определяется по формуле:

при проверке основной гипотезы возможны следующие ситуации.

Если наблюдаемое значение t-критерия (вычисленное по выборочным данным) больше критического значения t-критерия (определённого по таблице распределения Стьюдента), т. е. tнабл›tкрит, то с вероятностью, а основная гипотеза о линейной зависимости между переменными отвергается. В этом случае построение нелинейной модели регрессии считается целесообразным.

Если наблюдаемое значение t-критерия (вычисленное по выборочным данным) меньше или равно критического значения t-критерия (определённого по таблице распределения Стьюдента), т. е. tнабл? tкрит, то основная гипотеза о линейной зависимости между переменными принимается. Следовательно, взаимосвязь между данными переменными можно аппроксимировать простой линейной формой зависимости.