Интервальный прогноз на основе линейного уравнения регрессии

В прогнозных расчетах по уравнению регрессии определяется предсказываемое значение как точечный прогноз при то есть путем подстановки в линейное уравнение регрессии соответствующего значения x. Однако точечный прогноз явно нереален, поэтому он дополняется расчетом стандартной ошибки то есть, и соответственно мы получаем интервальную оценку прогнозного значения :

(2.29).

Для того чтобы понять, как строится формула для определения величин стандартной ошибки тогда уравнение регрессии примет вид:

(2.30).

Отсюда следует, что стандартная ошибка зависит от ошибки и ошибки коэффициента регрессии b, то есть:

(2.31).

Из теории выборки известно, что.

Используя в качестве оценки остаточную дисперсию на одну степень свободы, получим формулу расчета ошибки среднего значения переменной y:

(2.32).

Ошибки коэффициента регрессии, как уже было показано, определяется формулой.

(2.33).

Считая, что прогнозное значение фактора, получим следующую формулу расчета стандартной ошибки предсказываемого по линии регрессии значения, то есть.

. (2.34).

Соответственно имеет выражение:

(2.35).

Рассмотренная формула стандартной ошибки предсказываемого среднего значения y при заданном значении характеризует ошибку положения линии регрессии. Величина стандартной ошибки достигает минимума при и возрастает по мере того, как «удаляется» от в любом направлении. Иными словами, чем больше разность между и, тем больше ошибки, с которой предсказывается среднее значение y для заданного значения. Можно ожидать наилучшие результаты прогноза, если признак-фактор х находится в центре области наблюдений х, и нельзя ожидать хороших результатов прогноза при удалении от. Если же значение оказывается за пределами наблюдаемых значений х, используемых при построении линейной регрессии, то результаты прогноза ухудшаются в зависимости от того, насколько отклоняется от области наблюдаемых значений фактора х. [И. И. Елисеева с. 72].