Момент импульса системы

Запишем уравнение движения для /-й частицы системы:

Преобразуя левую часть (см. п. 2.2.9), перепишем уравнение в виде.

Здесь L — момент импульса /'-й частицы. Величина.

где г — радиус-вектор точки приложения силы называется моментом силы.

Суммируя уравнения (3.34) по всем частицам системы, получим.

Двойная сумма в правой части этого равенства, как можно показать, равна нулю на основе третьего закона Ньютона. Таким образом,.

Здесь? = — момент импульса системы, М = ^Л/, — сумма.

/ / моментов внешних сил, действующих на систему.

Итак, система имеет две динамические характеристики — импульс и момент импульса. Изменения этих величин со временем определяются уравнениями (3.3) и (3.36).

Обратите внимание. Импульс системы определяется массами и скоростями частиц и не зависит от выбора начала координат. Момент импульса зависит еще и от координат частиц и поэтому зависит от выбора начала координат. Однако уравнение (3.36) не зависит от этого выбора, так как в правой части стоит момент сил, который также зависит от выбора начала координат, и при другом выборе меняются обе части равенства, поэтому уравнение остается справедливым. С этой разницей между импульсом и моментом импульса связано еще одно важное обстоятельство. При применении уравнения (3.3) точки приложения сил не важны. Силы, как и импульсы частиц, можно считать свободными векторами. С уравнением (3.36) не так. Импульсы привязаны к частицам, и важны точки приложения сил.

Рассмотрим, как меняется момент импульса при изменении начала координат. Пусть а — радиус-вектор нового начала координат. Тогда ? = а+г', где г' — радиус-вектор частицы в новой системе координат. Имеем:

Здесь L' — момент импульса в новой системе координат, Р = mV — импульс системы. Если начало координат перенести в центр масс системы, то.

где S — собственный момент импульса (момент импульса в системе центра масс).

Обратите внимание. Если импульс системы равен нулю, момент импульса не зависит от выбора начала координат и равен собственному моменту импульса.

Величина RxP в формуле (3.38) называется орбитальным моментом импульса.

Например, орбитальный момент импульса Земли в системе координат, начало которой находится в центре Солнца, связан с ее годовым вращением вокруг Солнца, а собственный — с ее суточным вращением вокруг собственной оси. Мы уже видели, что орбитальный момент частицы в поле центральных сил сохраняется, поэтому орбитальный момент Земли не изменяется со временем. Далее мы увидим, что и ее собственный момент также сохраняется. Собственные моменты планет много меньше орбитальных, однако, например, в атомах собственный момент электрона (а электрон обладает «врожденным» собственным моментом — спином) того же порядка, что и орбитальный.

Атомы вещества, как правило, обладают собственным моментом импульса, однако из-за их хаотической ориентации неподвижный кусок вещества не имеет результирующего момента. Если по какимлибо причинам моменты импульса атомов ориентируются преимущественно в одном направлении, неподвижный кусок вещества обладает отличным от нуля собственным моментом импульса. При этом он окажется намагниченным, но это уже не имеет отношения к механике.

Задача 3.13. Найти момент импульса системы, описанной в задаче 3.12 (далее будем называть эту систему гантелью).

Решение. По формуле (3.38) находим.

Найдем собственный момент импульса S. По определению это момент импульса в системе центра масс. Пусть r_v г₂ — радиусы-векторы частиц m_v т₂ в системе центра масс. Имеем:

Здесь со — угловая скорость вращения гантели. Воспользовавшись тождеством.

приведем эту формулу к виду.

(см. решение задачи 3.12). Как видим, собственный момент импульса гантели по направлению совпадает с вектором угловой скорости, однако так бывает не для всех систем.

Задача 3.14. Как будет двигаться гантель из предыдущей задачи в поле тяжести?

Решение. Исходим из уравнений (3.3) и (3.36). Первое из них для ускорения центра масс дает.

Это уравнение движения частицы в поле тяжести. Его решение хорошо известно. Траектория центра масс — парабола.

Обратимся к уравнению для момента импульса. С учетом (3.39) будем иметь При вычислении производной от момента импульса было учтено, 6R —.

что —х Р = 0. В правой части равенства (3.42) стоит сумма моменd /.

тов сил, действующих на гантель. Полагая г, = R + г. приведем правую часть равенства (3.42) к виду.

Но выражение в скобках равно нулю, так как оно дает радиус-вектор центра масс в системе, начало которой совпадает с центром масс. Таким образом, момент сил тяжести равен R*mg, и окончательно уравнение (3.42) приобретает вид.

Обратите внимание. Сумма моментов сил тяжести всегда равняется Rxg^m_r Хотя силы тяжести «размазаны» по всей системе, их можно заменить одной силой, приложенной в центре масс.

Сопоставляя уравнения (3.43) и (3.41) и вспоминая, что Р = mV, находим.

Это важный результат, справедливый не только для гантели, но и для любой системы: силы тяжести не изменяют собственного момента импульса системы.

Обращаясь к формуле (3.40), заключаем, что угловая скорость вращения гантели не изменяется по величине и ось вращения переносится параллельно самой себе. Так движутся, например, двухатомные молекулы газа от столкновения до столкновения.

Задача 3.15. Будет ли бумеранг выполнять свои функции на Луне?

Ответ. В безвоздушном пространстве бумеранг будет двигаться как гантель в предыдущей задаче. На Луне атмосферы нет, и центр масс бумеранга, как и любого другого тела, будет двигаться по параболе. Сложная траектория бумеранга — результат его взаимодействия с воздухом.

Задача 3.16. Найти собственный момент импульса системы Земля-Луна.

Решение. Как известно, Луна вращается вокруг Земли с периодом около месяца. Точнее, система Земля—Луна вращается как гантель из задачи 3.13 вокруг их общего центра масс. (Масса Земли примерно в 80 раз больше массы Луны, поэтому центр масс системы лежит внутри Земли.) Собственный момент импульса системы складывается из орбитальных моментов Земли и Луны (это момент импульса гантели из задачи 3.13) и собственных моментов Земли и Луны, связанных с их суточным вращением. Будем считать Землю однородным шаром. Задача сводится, таким образом, к нахождению момента импульса вращающегося с угловой скоростью со однородного шара массой М и радиусом R.

Из соображений симметрии ясно, что вектор момента направлен вдоль вектора угловой скорости. Легко показать, что собственный момент импульса тонкого однородного кольца радиусом R и массой т, вращающегося вокруг оси симметрии, равен.

Шар можно представить как совокупность таких колец, и собственный момент импульса шара найдется как сумма моментов колец. Можно показать (далее мы вернемся к этому), что момент импульса вращающегося шара равен.

Таким образом, для момента импульса системы Земля—Луна получим.

Здесь М — масса Земли; т — масса Луны; / — расстояние между центрами масс Земли и Луны; <�Ь — угловая скорость вращения системы вокруг общего центра масс (период — около месяца); ю₀ — угловая скорость суточного вращения Земли; <�о, = со — угловая скорость суточного вращения Луны; г — радиус Луны. Первое слагавмо мое в правой части равенства (3.47) дает сумму орбитальных моментов Земли и Луны, два других — собственные моменты Земли и Луны. Легко видеть, что третье слагаемое много меньше первых двух, а первое мало отличается от орбитального момента Луны, поскольку т <�К А/.

Найденный момент импульса сохраняется, чего нельзя сказать о его слагаемых. Дело в том, что на Землю действует сила тяготения со стороны Луны, которая зависит от расстояния. Из-за этой зависимости поверхность Мирового океана имеет не сферическую, а эллипсоидальную форму с большой полуосью, лежащей на линии Земля—Луна. Земля в своем суточном вращении прокручивается под этой поверхностью, что и является причиной морских приливов. При этом возникают силы трения, тормозящие вращение Земли. Таким образом, второе слагаемое в правой части равенства (3.47) уменьшается, и поэтому первое (орбитальный момент Луны) должно увеличиваться. Механизм этого усмотреть нелегко, однако законы сохранения тем и хороши, что избавляют от необходимости отслеживать механизмы явлений.