Подходящие дроби как наилучшие приближения

Приближение подходящей дробью дает большую точность при значительно меньшем знаменателе, чем приближение десятичной дробью. Покажем это.

Округляя десятичное выражение действительного до n-го знака после запятой, мы тем самым представляем приближенно дробью со знаменателем, причем погрешность, если же подходящая дробь к, то, так что при сколько-нибудь значительном q величина во много раз меньше, чем .

Пример: Десятичное выражение числа в виде рациональной дроби со знаменателем имеет вид. Если же разложить в цепную дробь, получается =(3, 7, 15, …);

Наибольшей подходящей дробью для со знаменателем является число, известное уже Архимеду, причем. Итак, мы получили, что приближение подходящей дробью дает большую точность, чем приближение десятичной дробью.

Это объясняется тем, что знаменатели подходящих дробей определяются арифметической природой изображаемого числа, а знаменатели же приближающих десятичных дробей не могут быть иными, как только .

Теорема: Если рациональное число ближе к действительному числу, чем его подходящая дробь.

.

где k>1, то, то есть если, то .

Доказательство: Рассмотрим случай, когда (иначе теряет смысл). Тогда всегда лежит между любыми двумя последующими подходящими дробями так, что для k>1 всегда лежит между и, причем ближе к, чем к. Поэтому, если ближе к, чем, то оно находится между и. В случае четного можно записать << (в случае нечетного k доказательство существенно не меняется), откуда.

.

,.

откуда, домножая неравенство на, получаем. Так как — число целое и положительное, то из предыдущего равенства следует, что и требовалось доказать.

Попутно мы установили, что любая рациональная дробь, принадлежащая интервалу, k>1, имеет знаменатель. Для k=1 теорема неверна:

может оказаться ближе к, чем его подходящая дробь.

.

хотя .

Доказанная теорема приводит нас к следующему определению:

Рациональную дробь называют наилучшим приближением действительного, если любая более близкая к рациональная дробь имеет больший знаменатель, чем, то есть если из следует d>b.

Таким образом, подходящие дроби являются наилучшими приближениями, например, Архимедово число для является наилучшим приближением. Ранее мы доказали, что для оценки погрешности, возникающей при замене любого действительного его подходящей дробью, можно пользоваться неравенством. Выразим этот результат по отношению к действительному иррациональному, имеющим бесконечное множество подходящих дробей, следующим образом: для любого действительного иррационального существует при c=1 бесконечное множество несократимых дробей таких, что.

(1).

Такими дробями являются, например, все подходящие дроби для.

.

Возникает вопрос: При каких меньших значениях c (чем c=1) существует для любого действительного иррационального бесконечное множество (несократимых) рациональных приближений, погрешность которых .

Теорема: Для любого действительного иррационального числа существует при бесконечное множество несократимых рациональных дробей таких. Такими рациональными дробями могут быть только подходящие дроби к .

Доказательство: Докажем первую часть теоремы. Допустим, что ни одна из этих дробей не удовлетворяет неравенству (). Тогда имеем:

. .

Но так как лежит между и, то.

.

вследствие чего, или, а это для k>1 невозможно. Мы пришли к противоречию, значит наше допущение неверно, а верно то, что требуется доказать.

Для доказательства второй части теоремы докажем достаточный признак подходящей дроби к действительному числу: если, где Q>0, несократимая дробь и для действительного имеет место неравенство (), то является подходящей дробью к .

Доказательство: Покажем, что если.

=()= (.

удовлетворяет условию теоремы) подходящая дробь к, то соответствующее остаточное число разложения данного в цепную дробь окажется >1. Действительно,.

.

откуда следует.

так как .

Теорема доказана полностью.

Достаточный признак подходящей дроби не является ее необходимым признаком; могут существовать подходящие дроби для, которые ему не удовлетворяют.

Крайнюю возможность уменьшения c в указанном раньше смысле выражает теорема Гурвица-Бореля:

Теорема: Для любого действительного иррационального числа существует при бесконечное множество несократимых рациональных дробей таких, что выполняется неравенство (1), то есть неравенство.

().

если же, то существуют такие действительные иррациональные, для которых неравенство (1) имеет не более конечного числа рациональных решений Доказательство: Докажем первую часть. Разложим в цепную дробь. Мы докажем, что из трех любых соседних подходящих дробей.

i=k, k+1, k+2.

по крайней мере одна удовлетворяет условию. Доказательство этого утверждения будем вести методом от противного. Предположим, что для каких-либо трех соседних подходящих дробей выполняются неравенства:

, (2).

и расположены по разные стороны от и поэтому при нечетном k из (2) следует.

.

а при четном:

.

так что и в том, и в другом случае имеем:

или, умножая на и перенося все члены в одну сторону.

то есть ,.

или, поскольку и целые,.

. (3).

Так как и также расположены по разные стороны от, из (2) аналогично получаем:

. (4).

Пользуясь еще тем, что из (3) и (4) получаем:

.

Предположение, что выполнены все три неравенства (2), привело нас к противоречию, поэтому по крайней мере для одной из трех подходящих дробей, ,, взятой в качестве, должно выполняться неравенство ().

Придавая k различные значения, получим бесконечное множество дробей, удовлетворяющих неравенству ().

Эта теорема была опубликована Гурвицем в 1891 году. Тот факт, что из трех соседних подходящих дробей по крайней мере одна даст приближение вида, был доказан Борелем в 1903 году.

Последним теоремам можно дать и другое очень важное истолкование.

Рассмотрим для этого уравнение, где — любое действительное иррациональное число. Исключая тривиальное решение x=y=0, это уравнение не может иметь решение в целых числах. Однако можно поставить задачу о приближенном его решении в целых числах, то есть о нахождении таких пар чисел x (x>0) и y, чтобы: или .

Теорема Гурвица-Бореля показывает, что для всегда существует бесконечное множество таких пар; если же, то существуют такие действительные числа, для которых таких пар имеется лишь конечное множество.

Новая точка зрения получает в содружестве с методом Дирихле весьма значительное применение в теории диофантовых приближений.