Моделирование в решении текстовых задач

Метод моделирования заключается в том, что для исследования какого-либо объекта или явления выбирают или строят другой объект, в каком-то отношении, подобный исследуемому. Построенный или выбранный объект изучают и с его помощью решают исследование задачи, а затем результаты решения этих задач переносят на первоначальные явления или объект.

Под моделью (от лат. modulus — мера, образец, норма) понимают такой материальный или мысленно представляемый объект, который в процессе познания (изучения) замещает объект — оригинал, сохраняя некоторые важные для данного исследования типичные черты. Процесс построения и использования модели, называется моделированием [9].

В математике широко используется метод моделирования при решении задач.

Математической моделью можно назвать специальное описание (часто приближенное) некоторой проблемы, ситуации, которое дает возможность в процессе ее анализа применять формально — логический аппарат математики. При математическом моделировании имеем дело с теоретической копией, которая в математической форме выражает основные закономерности, свойства изучаемого объекта [29].

Основная цель моделирования — исследовать эти объекты и предсказать результаты будущих наблюдений. Однако моделирование — это еще и метод познания окружающего мира, дающий возможность управлять им.

В процессе математического моделирования выделяют три этапа:

1. Формализация — перевод предложенной задачи (ситуации) на язык математической теории (построение математической модели задачи).

• 2. Решение задачи в рамках математической теории (говорят: решение внутри модели).
• 3. Перевод результата математического решения задачи на тот язык, на котором была сформулирована исходная задача (интерпретация решения) [30].

Чаще всего математическая модель представляет собой несколько упрощенную схему (описание) оригинала, а значит, обладает определенным уровнем погрешности.

Одна и та же модель может описывать различные процессы, объекты, поэтому результаты внутри модельного исследования одного явления зачастую могут быть перенесены на другое. В этом состоит одно из основных достоинств математического моделирования.

Требований в заданиях тоже может быть несколько. Они могут быть сформулированы, как в вопросительной, так и в утвердительной форме. Условия и требования взаимосвязаны. Систему взаимосвязанных условий и требований называют высказывательной моделью (словесной).

Чтобы структура задачи стала предметом анализа и изучения, необходимо отделить ее от всего несущественного и представить в таком виде, который обеспечивал бы необходимые действия. Сделать это можно путем особых знаково-символических средств — моделей, однозначно отображающих структуру задачи и достаточно простых для восприятия школьниками.

В структуре любой задачи выделяют:

• 1. Предметную область, то есть объекты, о которых идет речь в задаче.
• 2. Отношения, которые связывают объекты предметной области.
• 3. Требования задачи [13].

Все модели можно разделить на схематизированные и знаковые по видам средств, используемых для их построения.

Схематизированные модели, в свою очередь, делятся на вещественные и графические в зависимости от того, какое действие они обеспечивают. Вещественные (или предметные) модели текстовых задач обеспечивают физическое действие с предметами. Они могут строиться из каких-либо предметов, они могут быть представлены разного рода исценировками сюжета задач. К этому виду моделей причисляют и мысленное воссоздание реальной ситуации, описанной в задаче, в виде представлений.

Графические модели используются, как правило, для обобщенного, схематического воссоздания ситуации задачи. К графическим следует отнести следующие виды моделей:

• · рисунок;
• · условный рисунок;
• · чертеж;
• · схематический чертеж (или просто схема).

Знаковые модели могут быть выполнены как на естественном языке, так и на математическом языке. К знаковым моделям, выполненным на естественном языке, можно отнести:

краткую запись задачи;

таблицы [31].

Таблица как вид знаковой модели используется главным образом тогда, когда в задаче имеется несколько взаимосвязанных величин, каждая из которых задана одним или несколькими значениями.

Знаковыми моделями текстовых задач, выполненными на математическом языке, являются:

выражение;

уравнение;

система уравнений;

запись решения задачи по действиям.

Схематизированные, графические и знаковые модели, выполненные на естественном языке — вспомогательные модели, а знаковые модели, выполненные на математическом языке — решающие.

Уровень овладения моделированием определяет успех решающего. Поэтому обучение моделированию занимает особое и главное место в формировании умения решать задачи.

Полезно применять чертежи и схематические рисунки, блок — схемы, моделирование с помощью отрезков и таблиц.

Графические модели и таблицы позволяют сравнивать пары понятий: левая — правая, верхняя — нижняя, увязывать пространственную информацию с информацией меры, тем самым, формируя умение решать задачи [20].

Итак, модель нужна для того, чтобы понять, как устроен конкретный объект, какова его структура, основные свойства, законы развития; научиться управлять объектом или процессом, определять наилучшие способы управления при заданных целях и критериях.

Текстовая задача — это словесная модель некоторого явления (ситуации, процесса). Чтобы решить такую задачу, надо перевести ее на язык математических действий, то есть построить ее математическую модель.

Решение любой задачи — процесс сложной умственной деятельности. Реальные объекты и процессы в задаче бывают столь многогранны и сложны, что лучшим способом их изучения часто является построение и исследование модели как мощного орудия познания [21].

Подробнее остановимся на моделировании и использовании этого метода при работе над текстовой задачей.

Обучение с применением моделирования повышает активность мыслительной деятельности учащихся, помогает понять задачу, самостоятельно найти рациональный путь решения, установить нужный способ проверки, определить условия, при которых задача имеет или не имеет решение. Модель дает возможность более полно увидеть зависимость между данными и искомыми в задаче, представить задачу в целом, помогает обобщить теоретические знания. Постановка учебной задачи составляет мотивационно-ориентировочное звено — первое звено учебной деятельности.

Вторым (центральным) звеном учебной деятельности является исполнительское звено, то есть следующие учебные действия для решения учебной задачи:

• 1) преобразование условий предметной задачи с целью выявления в ней основного отношения;
• 2) моделирование выделенного в ней отношения в предметной, графической или буквенной форме;
• 3) преобразование модели отношения для изучения его свойств;
• 4) построение системы частных задач, решаемых общим способом.

Чтобы научить школьников самостоятельно и творчески учиться, нужно включать их в специально организованную деятельность, сделать хозяевами этой деятельности. Одним из способов включения учащихся в активную деятельность в процессе решения задач и является моделирование.

Умение решать задачи — один из основных показателей уровня математического развития, глубины усвоения учебного материала [18].

Одна из основных причин допускаемых ошибок в решении текстовых задач — неправильная организация первичного восприятия учащимися условия задачи и ее анализа, которые проводятся без должной опоры на жизненную ситуацию, отраженную в задаче, без ее графического моделирования [14].

В 5 классе, как правило, в процессе анализа используются разные виды краткой записи или готовые схемы, а создание модели задачи на глазах учеников или самими учащимися в процессе решения задач используется крайне редко. Учителя при фронтальном анализе и решении задачи нередко ограничиваются правильными ответами двух-трех учеников, а остальные записывают за ними готовые решения без глубокого их понимания.

Для устранения отмеченных недостатков следует, прежде всего, решительно улучшить методику организации первичного восприятия и анализа задачи, чтобы обеспечить осознанный и доказательный выбор арифметического действия всеми учащимися [5].

Главное для каждого ученика на этом этапе — понять задачу, то есть уяснить, о чем эта задача, что в ней известно, что нужно узнать, как связаны между собой данные, каковы отношения между данными и искомыми и т. п. Для этого, где возможно, следует применять метод моделирования ситуации, отраженной в задаче.

Используемый в науке метод моделирования заключается в том, что для исследования какого-либо явления или объекта выбирают или строят другой объект, в каком-то отношении подобный исследуемому; построенный или выбранный объект изучают и с его помощью решают исследовательские задачи, а затем результат решения этих задач переносят на первоначальное явление или объект [24].

Рассмотрим методику решения текстовой задачи с помощью таблицы, предложенную ленинградским учителем А. А. Окуневым. [24].

Он следующим образом организовывал процесс обучения решению задачи. Задавал следующую систему вопросов:

• 1) О каких процессах идет речь в данной задаче?
• 2) Сколько процессов описано в условии задачи?
• 3) Какими величинами характеризуется каждый процесс, описанный в задаче?

Затем учитель и учащиеся читают каждую фразу задачи и выясняют, о каких величинах идет речь.

Всю полученную информацию заносят в таблицу и выясняют, условие, которое лежит в основе уравнения. При помощи его и решалась задача.

Табличное изображение служит хорошим и удобным средством для организации коллективной и индивидуальной (дифференцированной) самостоятельной работы учащихся.

Также таблица помогает организовать соответствующую работу, так как наглядно иллюстрируют то, что известно и что нужно определить; на ней легче увидеть, каких именно данных не достает (или какие данные являются лишними) для того, чтобы, используя нужную зависимость, решить ту или иную задачу.

Рассмотрим пример решения задачи выделением 3-х этапов математического моделирования:

• 1) составление математической модели,
• 2) работа с математической моделью,
• 3) ответ на вопрос задачи.

Задача. Лодка плыла по течению реки 3 ч 12 мин, а затем против течения 1,5 ч. Найти собственную скорость лодки, если известно, что скорость течения реки 2 км/ч, а всего лодкой пройден путь 41 км.

Решение.

Первый этап. Составление математической модели.

Пусть х км/ч — собственная скорость лодки, тогда по течению она плывет со скоростью () км/ч, а против течения — со скоростью () км/ч.

По течению реки лодка плыла 3ч 12 мин. Поскольку скорость выражена в км/ч, это время надо записать в часах. Имеем: 12 мин=12/60 ч. Значит, 3ч 12 мин=3,2 ч. За это время со скоростью () км/ч лодкой пройден путь км.

Против течения лодка плыла 1,5 ч. За это время со скоростью () км/ч лодкой пройден путь км.

По условию весь ее путь составил 41 км. Так как он состоит из пути по течению и пути против течения, то получаем:

Это уравнение — математическая модель задачи.

Второй этап. Работа с составленной математической моделью.

Как всегда, на этом этапе думаем только о том, как решить модель — уравнение, а не о том, откуда эта модель взялась. Выполним в левой части уравнения умножение одночлена 3,2 на двучлен, одночлена 1,5 на двучлен х-2, а затем полученные многочлены сложим, получим:

Третий этап. Ответ на вопрос задачи.

Спрашивается, чему равна собственная скорость лодки, т. е. чему равен х? Но ответ на этот вопрос уже получен: х=8.

Ответ: собственная скорость лодки 8 км/ч.