Алгебра множеств. 
Теория множеств

В этой главе будут даны ответы на следующие вопросы с наглядной демонстрацией для лучшего понимания учащимися: что такое алгебра множеств, и какими операциями она определена. А также будет рассказано о некоторых свойства данной алгебры.

В советской математической энциклопедии сказано, что алгебра множеств — это непустая совокупность подмножеств некоторого множества W, замкнутая относительно теоретико-множественных операций (объединения, пересечения, образования дополнения), производимых в конечном числе. Для того чтобы некоторый класс подмножеств множества W был алгеброй множеств, достаточно (и необходимо), чтобы он был замкнут относительно образования объединений и дополнений.

Иными словами можно сказать, под алгеброй множеств подразумеваются операции над множествами. Их немного: объединение, пересечение, разность и дополнение.

Объединением или суммой множеств, А и В называется множество С, элементы которого принадлежат хотя бы одному из множеств, А или В.

Запись. С: A? B = {x: x? A или x? B}.

Рис. 1. Операция объединения множеств, А и В

Пересечением или произведением множеств, А и В называется множество С, элементы которого принадлежат как множеству А, так и множеству В.

Запись: С: A? B = {x: x? A и x? B}.

Рис 2. Операция пересечение множеств, А и В.

Разностью множеств, А и В называется множество С, состоящее из элементов множества, А и не принадлежащих множеству В.

Запись. C: A B = {x: x? A и x? B}.

Рис 3. Операция разности множеств, А и В.

Симметрической разностью множеств, А и В называется множество С, состоящее из объединения элементов А, не входящих в В, с элементами В не входящими в А.

Запись. С: А Д В= (А В)? (В А).

Рис 4. Операция симметрической разности множеств, А и В.

Дополнением множества, А есть множество, элементы которого принадлежат универсальному множеству (т.е. содержащему все возможные множества) U и не принадлежат А.

Запись. C (A) = {x: x? U и x? A}.

Необходимо добавить, что операции сложения и пересечения множеств удовлетворяют условиям сочетательности и переместительности (иначе ассоциативности или коммутативности).