Булево усреднение в моделях систем управления и в моделях статистической механики

ОБЪЕКТЫ ИССЛЕДОВАНИЯ. Объектами исследования в диссертации являются:

1) Булева усредняющая процедура 1, если < фип = (0.1) 0, если Ъип-{ > Ф, где ф — действительное число, (7^) (г Е ЛГ) — последовательность действительных чисел, (глп) (п 6 Z) — двусторонняя последовательность из нулей и единиц. Булева усредняющая процедура была введена в 1992 г. М. М. Кипнисом [14] и применялась для описания моделей статистической механики и систем управления (аналого-цифровых преобразователей и широтно-импульсных систем управления).

2) Модели статистической механики, в которых энергия выражается формально определенным гамильтонианом Хаббарда н = -ф X) щ + X ц-зщщ. (0.2) гег ег, j? Z

Здесь — энергия взаимодействия частиц на расстоянии г единицип указывает на наличие (ип = 1) или отсутствие (ип — 0) частицы в п-ом месте на прямойф — химический потенциал. В других моделях ип = 1 указывает на положительную направленность спина частицы, занимающей п-ое место на прямой, а ф — напряженность внешнего поля. Булева усредняющая процедура (0.1) минимизирует формальный гамильтониан (0.2).

Линейный КвантоБлок фильтр ватель усреднения

Рис. 0.1: Аналого-цифровой преобразователь с сигма-дельта модуляцией и неполным суммированием.

3) Системы управления и их компоненты: а) Аналого-цифровые преобразователи с сигма-дельта модуляцией и неполным суммированием (leaky integration) (рис. 0.1). Здесь ип указывает выход двухуровневого квантователя на тг-ом такте работыхп — аналоговый сигнал- (ji) есть последовательность коэффициентов в передаточной функции линейного фильтра. Булева усредняющая процедура (0.1) описывает выходной сигнал ип квантователя Q в аналого-цифровом преобразователе для постоянного входного аналогового сигнала хп = х при обозначении ф = х E^i Ъб) Широтно-импульсная система управления со структурой, указанной на рис. 0.2.

Импульсный Объект элемент управления

РЕ и

Рис. 0.2: Широтно-импульсная система управления.

Здесь и — выходной сигнал импульсного элемента РЕ, — импульсная переходная функция объекта управления. Булева усредняющая процедура (0.1) описывает релейные режимы широтно-им-пульсных систем, в которых ип указывает полярность управляющего сигнала на тг-ом такте работы импульсного элемента в релейном режимеф — внешний сигнал- ^ есть интеграл от импульсной переходной функции по г-ому периоду модуляции.

ЦЕЛЬ РАБОТЫ. Целью работы является исследование моделей систем управления и статистической механики посредством изучения динамики булева усреднения.

НАУЧНАЯ НОВИЗНА. В работе получены следующие новые результаты: доказано, что доля единиц в последовательности, порожденной булевой усредняющей процедурой (1.4), зависит только от значения параметра ф и не зависит от начальных условий булева усреднения (последовательности (ип) при п < 0), указанная зависимость имеет вид канторовой лестницысформулированы достаточные условия образования периодической последовательности в булевой усредняющей процедуре.

Приложение абстрактных результатов о булевом усреднении к моделям статистической механики позволяет утверждать, что кан-торова лестница описывает зависимость концетрации частиц газа в основном состоянии от химического потенциала при любом (в том числе непериодическом) начальном распределении частиц на прямой. В предшествующих работах Дж. Хаббарда [25] (1978), П. Бака и Р. Бруинсмы [18] (1982), С. Буркова и Я. Синая [9] (1983), М. Кипниса [13] (1994) аналогичный результат был получен только для периодических распределений частиц на прямой.

Из полученных результатов следует, что для аналого-цифровых преобразователей с сигма-дельта модуляцией и обобщенным неполным суммированием [22, 23, 26, 28, 35, 30] в произвольных режимах существует однозначная зависимость выходного сигнала от постоянного входного аналогового сигнала, имеющая вид канторовой лестницы. До сих пор этот результат был известен только для периодических режимов работы аналого-цифрового преобразователя. Получена оценка выходного сигнала при изменяющемся аналоговом сигнале.

Теоретические исследования диссертации дополнены серией численных экспериментов по сравнению быстроты установления доли единиц в последовательности, генерируемой булевой усредняющей процедурой, при различных условиях. Разработана программа, позволяющая исследовать процесс булева усреднения с помощью вычислительной техники.

АКТУАЛЬНОСТЬ. В 1978 г. Хаббардом [25] была рассмотрена модель решетчатого газа с антиферромагнитным взаимодействием. Энергия в этой модели выражалась с помощью гамильтониана, минимум которого достигался на периодических распределениях частиц на прямой. Позднее эта же модель рассматривалась П. Баком и Р. Бруинсмой [18] (1982), С. Бурковым и Я. Синаем [9] (1983). Основным результатом этих работ явилось утверждение о том, что в случае выпуклой функции взаимодействия зависимость концентрации газа в основном состоянии от химического потенциала среды имеет вид канторовой лестницы, и что эта канторова лестница полна. В 1994 М. Кипнис [13], применяя идеи теории управления, использовал булево усреднение для минимизации гамильтониана Хаббарда. Такой подход позволил получить те же результаты и при функциях взаимодействия, свободных от условия выпуклости. Во всех перечисленных работах вопрос о непериодическом распределении частиц на прямой не ставился. В настоящей диссертации показано, что существование и полнота канторовой лестницы в исследуемой модели сохраняются и при произвольном непериодическом распределении частиц.

В аналого-цифровых преобразователях (АЦП) с сигма-дельта модуляцией с 60-х годов исследовалась идеальная сигма-дельта модуляция [26]. Описание работы таких моделей систем управления сводилось к динамике группы вращений окружности. С конца восьмидесятых годов появились работы Р. Грея [35], Д. Дельчампса [41], Л. Чуа [23] по АЦП с сигма-дельта модуляцией и неполным суммированием утечкой). Модель с утечкой оказалась более адекватной реальным АЦП. В этом случае работа АЦП описывалась при помощи итераций кусочно-линейных отображений. В диссертации доказывается полнота канторовой лестницы для итераций кусочно-линейного отображения, являющегося обобщением отображения, используемого в [35]. В 1993 г. в работе Д. Дельчампса [22] была рассмотрена модель АЦП с линейным фильтром (рис. 0.1), передаточная функция H (z) которого имеет вид оо 1

H{z) =? -г (0.3) г'= 1 2 или т = ?4> (°-4) i= 1 zl где р есть утечка (leakage), 0 < р < 1, или

ОО гу.

H (z) = z (0.5) i=1 2 где (71) — произвольная последовательность. Фильтр с передаточной функцией (0.3) соответствует идеальному сигма-дельта модулятору. Переход от (0.3) к (0.4) представляет собой переход к сигма-дельта модуляции с неполным суммированием. Передаточная функция (0.5) есть обобщение (0.4) и соответствует сигма-дельта модуляции с «неравномерной утечкой» суммирования. В этом случае АЦП будем называть сигма-дельта модулятором с обобщенным неполным суммированием. В 1995 г. М. Кипнис [12] разработал полную теорию периодических режимов в АЦП указанного вида. Однако, вопрос о непериодических режимах остался открытым. В диссертации показано, что канторова лестница описывает зависимость выхода АЦП от постоянного входа в произвольных непериодических режимах. В диссертации ослаблено необходимое в работах предшественников требование постоянства входного аналогового сигнала и дана оценка выхода АЦП по оценке входа.

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЗНАЧИМОСТЬ. Основная часть диссертации развивает теорию булева усреднения и имеет теоретический характер. Результаты, приведенные в диссертации, доказывают универсальность канторовой лестницы как графической харатеристики зависимости доли единиц в траектории булева усреднения от значения параметра ф. В приложениях теории булева усреднения это означает, что канторова лестница характеризует зависимость концентрации газа в основном состоянии от химического потенциала среды в модели Хаббарда и зависимость «вход-выход» сигма-дельта модулятора с обобщенным неполным суммированием как в периодических, так и в произвольных непериодических режимах.

ПРАКТИЧЕСКАЯ ЦЕННОСТЬ. В статистической механике модели с гамильтонианом Хаббарда, как указал П. Бак [18], описывают свойства интеркалированных графитов и органических проводников, интенсивно изучаемых в настоящее время в связи с обнаруженной в некоторых из них сверхпроводимостью. В диссертации получен результат о независимости концентрации газа в основном состоянии от начального распределения частиц на прямой. Тем самым снимается ограничение на периодичность конфигураций, что проясняет ситуацию в этой области статистической механики и в некотором смысле подтверждает правомерность использования процедуры булева усреднения для минимизации гамильтониана.

Аналого-цифровые преобразователи с сигма-дельта модуляцией широко применяются в аудиотехнике. Переход к сигма-дельта модуляции с утечкой трактуется в работах американских исследователей Р. Грея [35], Д. Дельчампса [41] и Л. Чуа [23] как указание на ро-бастность АЦП с сигма-дельта модуляцией. Переход к сигма-дельта модуляции с обобщенным неполным суммированием усиливает представление об этой робастности. Снятие условности характеристики «вход-выход» АЦП, обусловленной требованием периодичности последовательности сигналов квантователя, и оценка выхода АЦП по оценке переменного входа дают теоретическое обоснование для конструирования АЦП с заданными характеристиками в широких пределах.

В программе, разработанной для экспериментов по сравнению быстроты установления доли единиц в булевом усреднении, осуществлена имитация булевой усредняющей процедуры. Это позволяет исследовать динамику и рассчитывать параметры булева усреднения.

МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ. В доказательствах теорем, связанных с числом вращения булевой усредняющей процедуры, используется геометрическая теория равномерного 2-раскрашивания. При исследовании итераций отображений использовался метод ренорма-лизации.

АПРОБАЦИЯ РАБОТЫ. Результаты диссертации были представлены на международном семинаре «Устойчивость и колебания нелинейных систем управления» (Москва 1996 г.), международном семинаре ММАЯ 97 (Польша), российской конференции «Современные проблемы математики накануне третьего тысячелетия» (Челябинск 1997 г.), Воронежской школе «Современные проблемы механики и прикладной математики» (1998 г.), международном семинаре КБРСО 98 (Челябинск), семинаре проф. Б. М. Гуревича в Московском государственном университете.

ОПИСАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ. Диссертация состоит из введения, двух глав и списка литературы. Объем диссертации — 71 страница.

Список литературы

содержит 41 наименование.

1. Асарин Е. А., Козякин B.C., Красносельский М. А., Кузнецов H.A. Анализ устойчивости рассинхронизированных дискретных систем. 1,11. М.: Наука. 1992.

2. Бакалинский JI.K. Булево усреднение в модели Хаббарда// Тез. докл. школы. Современные проблемы механики и прикладной математики. Воронеж. 1998. С. 35.

3. Бакалинский JI.K. Булево усреднение в случае быстро убывающей весовой последовательности// Сб. научных трудов преподавателей и аспирантов физико-математического ф-та Магнитогорского госпединститута. Магнитогорск. 1997. С.41−45.

4. Бакалинский JI.K. Динамика булева усреднения в одномерных решетчатых моделях с антиферромагнитным взаимодействием// Теоретическая и математическая физика. 1998. Т.117. № 3. С.435−441.

5. Бакалинский JI.K. Инвариантность числа вращения булевой усредняющей процедуры// Тез. докл. Российской конф. «Математика накануне третьего тысячелетия». Челябинск. 1997. С. 7.

6. Бакалинский JI.K. Канторова лестница для описания работы аналого-цифровых преобразователей// Тез. докл. IV Международного семинара «Устойчивость и нелинейные системы управления». Москва. 1996. С. 77.

7. Бакалинский Л. К. Периодические траектории в контрпримере Данжуа// Фундаментальная и прикладная математика. (В печати).

8. Бакалинский JI.K. Полнота канторовой лестницы для итераций некоторого кусочно-линейно го отображения прямой в себя// Кибернетика и вычислительная техника. Киев. 1998. Вып. 120. С. 16−23.

9. Бурков С. Е., Синай Я. Г. Фазовые диаграммы одномерных решетчатых моделей с дальнодействующим антиферромагнитным взаимодействием// УМН. 1983. Т.38. Вып.4. С.205−225.

10. Гелиг А. Х., Чурилов А. Н. Колебания и устойчивость нелинейных импульсных систем. СПб.: Изд-во СПбГУ. 1993.

11. Керимов A.A. Об основных состояниях одномерных антиферромагнитных моделей с дальнодействием// Теор. и мат. физ. 1984. Т.З. С.473−479.

12. Кипнис М. М. Диссертация. доктора физ.-мат. наук Теория булева усреднения для исследования явления равномерного 2-раскрашивания в сигналах управления, в преобразователях сигналов и в моделях статистической механики. Институт сист. анализа РАН. 1995.

13. Кипнис М. М. Одномерные модели статистической механики с гамильтонианом Хаббарда и функцией взаимодействия, свободной от условия выпуклости// ДАН. 1994. Т.336. № 3. С.316−319.

14. Кипнис М. М. Символическая и хаотическая динамика широтно-импульсной системы управления// ДАН. 1992. Т.324. № 2. С.273−276.

15. Козякин B.C. Об анализе устойчивости рассинхронизованных систем методами символической динамики// ДАН СССР. 1990. Т.311 № 3. С.549−552.

16. Леонов Н. Н. О точечном отображении прямой в прямую// Изв. ВУЗ. Радиофизика. 1959. Т.2. № 6. С.942−956.

17. Шарковский А. Н., Коляда С. Ф., Сивак А. Г., Федоренко В. В. Динамика одномерных отображений. Киев: Наукова думка. 1989.

18. Bak P., Bruinsma R. One-dimensional Ising model and the complete devil’s staircase// Phys. Rev. Lett. 1982. V.49. No.4. P.249−251.

19. Bakalinski L. On class of analog-to-digital converters// Proc. of International Workshop NDPCO 98. Chelyabinsk. 1998. P.36−37.

20. Bernoulli III J. Sur une nouvelle espece de calcul. Recueil pour les astronomes 1 (Berlin) 1772. P.255−284.

21. Christoffel E.B. Observatio arithmetica// Annali Mathemat. 1875. 2nd series. V.6. P.148−152.

22. Delchamps D. Nonlinear dynamics of oversampling A-to-D converters// Proc. of the 32nd IEEE CDC. Dec. 1993. San-Antonio.

23. Feely O. and Chua L. The effect of Integrator leak in Sigma-delta modulation// IEEE Trans, on Circuit and Systems. 1991. V.38. P. 1293−1305.

24. Gelig A.Kh. and Churilov Stability and Oscilations of Nonlinear Pulse-Modulated Systems. Birkhauser, Boston-Basel-Berlin. 1998. 362 p.

25. Hubbard J. Generelised Wigner lattices in one dimension and some applications to tetracianoquinodimethane (TCNQ) salts// Phys. Rev. B. 1978. V.17. P.494−505.

26. Inose M., Yasuda Y. and Murakami J. A telemetring system by code modulation E — A-modulation// IRE Trans. Space Electron. Telemetry. Sept. 1962. V. SET-8. P.204−209.

27. Khanin K.M., Sinay Ya.G. A new proof of M. Herman's theorem// Commun. Math. Phis. 1987. V.112. P.89−101.

28. Kieffer J.C. Analysis of dc input Response for a Class One-Bit Feedback Encoders// IEEE Trans. Comm. 1990. No.3. P.337−340.

29. Kieffer J.C. Sturmian minimal systems associated with the iterates of certain functions on an interval// Dynamical Systems. Lect. Notes in Math. V.1342. Springer-Verlag. N.Y. 1988. P.354−361.

30. Kipnis M. Boolean averaging in a model of Statistical Mechanics and in an Analog-to-Digital Converter// Russ. J. of Math. Phys. 1996. V.4. No 3. P.397−402.

31. Markoff A.A. Sur une question de Jean Bernoulli// Mat. Ann. 1882. V.19. P.27−36.

32. Milnor J. and Thurston W. On iterated maps of the interval// Lect. Notes in Math. V.1342. Springer-Verlag. N.Y.: 1988. P.465−563.

33. Morse M. and Hedlund G.A. Symbolic dynamics II: Sturmian trajectories// Amer. J. of Math. 1940, v.62, p.1−42.

34. Nitecki Z. Differentiate dynamics. MIT Press. Cambridge. 1971.

35. Park S.J., Gray R. Sigma-delta modulation with leaky integration and constant input// IEEE Trans, on Inf. Theory. Sept. 1992. V.38. No.4. P.1512−1533.

36. Pokrovsky V.L., Uimin G.V. On the properties of monolayers of adsorbed atoms// J. Phys. C.: Solid State Phys. 1978. Noll. P.3535−3549.

37. Siegel R., Tresser C. and Zettler G. A decoding problem in dynamics and in number theory// Chaos. 1992. V.2. No2. P.473−494.

38. Smith H.J.S. Note on continued fraction// Messenger Math. 1877. V. VI. P. l-14.

39. Stark J. Smooth conjugacy and renormalization for diffeomorphisms of the circle// Nonlinearity. 1988. No.l. P.541−575.

40. Veerman P. Symbolic dynamics of order-preserving orbits// Physica. 1987. V.29D. P.191−201.

41. Winchel C. and Delchamps D. Quantisation noice in sigma-delta modulators with multiple stages, imperfect integrators and time-varying inputs// Proc. of 1992 Conf. on Info Sciences and Systems. March 1992. Princeton. P. 156−161.