Точность аппроксимации многомерными устойчивыми законами
Асриев А. В. Оценка скорости сходимости в метрикев случае устойчивого предельного закона для разнораспре-деленных случайных величин. В кн: Некоторые вопросы прикладной математики и программного обеспечения ЭВМ. — М.: Изд-во Моск. ун-та, 1982, с.69−71. Золотарев В. М. Аналог асимптотического разложения ЭднЕорта-Крамера для случая сближения с устойчивыми законами распределения. Труды 1У… Читать ещё >
Точность аппроксимации многомерными устойчивыми законами (реферат, курсовая, диплом, контрольная)
Содержание
- 1. ВВЕДЕНИЕ
Глава I. Определения и свойства многомерных устойчивых законов устойII, Оценки дяя расстояния по вариации скорости сходимости к многомерноглу чивому закону Г Л, А В, А I I I Оценки интегрального типа в тер1№нах псевдомоментов
lu риации, полученную в работе [V2] справедливую при достаточной малости урезанных псевдомоментов, Теорема С В. В, Сазонов, В. В, Ульянов [72] Пусть распределение х имеет нулевое среднее и единичную ковариационную матрицу I 1 rt распределение нормированной суммы Yi стандартный гауссовокий закон, l,-J|x||?-N|(dcc)ajN|f-N|(da). Существуют положительные постоянные ц, Q такие что если 1 г?-(к:+3)Ук: а С то Оценка в равномерной метрике, полученная в работе ?43] приведена в диссертации в главе 4, Предложение V-i-Оценка для расстояния по вариации найдена нами впервые, менее общие оценки интегрального типа рассматривались В. Г. Миранцевым и В. В. Ульяновым [ЗО] С однако, доказательства в [ЗО] содержат существенные пробелы). Оценки скорости сходимости к устойчивым законам строились также в случае банаховозначных случайных величин В.И.ПаулаускасомЦзб]-, однако полученные там результаты в применении к конечномерному случаю дают оценки более грубые, чем полученные нами. Идеальные метрики в задачах аппроксимации распределений сумм нормированных случайных величин были введены В. М. Золотаревым [19] и использовались для оценок скорости сходимости в гауссовском случав [43 В случае предельного устойчивого закона идеальные метрики используются нами впервые.
Введение
урезанII ных поевдомоментов и идеальных метрик позволило повысить точность аппроксимации. Для вероятностных распределений г и ф ющие метрики: равномерную метрику определим следугде, А принадлежит классу 11 всех выпуклых борелевоких множеств о К. и идеальные метрики где S 5> о класс всех таких дейотвихельных фикций -(c на d fc) что %Н%) oi->f j 4- це— у лов число Jf и 0<р>4. таковы, что «PS производная в смысле Фреше Сом. 25 Между рассматриваемыми в диссертации характернотикавди имеют место следующие соотношения: -?0(Р, Ф) 1Р-Ф1(Г) з (Р.Ф),< Г (5) Г ($) I SK У Г для любого (У/0 и натурального К1 В настоящее время представляет открытый вопрос зависимость постояшшх в оценках различного типа от размерности пространства и параметров устойчивого распределения, в частности, от свойств спектральной меры. Ответы на некоторые вопросы были даны В. И. Паулаускасом в работе 36] В диссертации проведено исследование зависимости постоянных в оценках от размерности пространства для сферически симметричных устойчивых законов т. е. случай спектральной меры, равномерно распределенной на единичной fC-мерной сфере S и дано сравнение с гауссовским случаем. Аналогия в оценках обеспечивается тем фактом, что любой многомерный сферически симметричный устойчивый закон является гауссовской смесью. Перейдем к краткому изложению результатов диссертации. Пусть GyfOCpA) -невыровденный устойчивый закон в К. о показателем oL О об 5. параметрем (ШТА, У0, (1=0 спектральной мерой Г заданной на единичной сфере S/j. размерности Ю Q (/A) сферически симметричный устойчивый закон с характеристической функцией 3<(Х/А) плотность распределения закона Ьи (ССД) Полоаим &-(Х) &-Л (-Х, i) Qjl[Х] QJL (Х, d.) Пусть X.±-X$i-последовательность независимых, одинаково распределенных случайных векторов (св.) со значениями в К Рраспределение с в Х и EY-O если существуетLfi распределение нормированной суммы 1=1 где векторы ДK L имеют вид: M и закон b (ai} симметричен, flEflа WГ (o (u,)-o (.=d и закон &dL (oc) несимметричен, 0- W i определим псевдомомент (вариация с весом) и урезанный псевдомомент порядка QtO (здесь и далее всюду знак интеграла без указания области интегрирования означает интегрирование по всему пространству). Положш t +?
1. Асриев А. В. Оценка скорости сходимости в метрикев случае устойчивого предельного закона для разнораспре-деленных случайных величин. В кн: Некоторые вопросы прикладной математики и программного обеспечения ЭВМ. — М.: Изд-во Моск. ун-та, 1982, с.69−71.
.
2. Банис И. И. Об оценке остаточного члена в многомерной интегральной теореме при сходимости к устойчивому закону. -Лит.матем.сб., 1969, т.9, I4, с.731−739.
.
3. Банис И. И. Об интегральной предельной теореме при сходимости к устойчивому закону в многомерном случае. Лит. ма-тем.сб., 1970, т.10, J? 4, с.665−672.
.
4. Банис И. И. Оценка скорости сходимости в многомерной предельной теореме в случае сходимости к устойчивому симметрическому закону. Лит.матем.сб., 1971, т. II, В 3, с.497−507.
.
5. Банис И. И. Некоторые оценки скорости сходимости в интегральных и локальных теоремах в случае предельного устойчивого закона. Канд.диссерт.- Вильнюс, 1972.
.
6. Банис И. И. Оценка скорости сходимости в интегральной предельной теореме.- Лит.матем.сб., 1972, т.12, с.41−46.
.
7. Банис И. И. Оценка скорости сходимости в метрикев случае предельного устойчивого закона.- Лит.матем.сб., 1973, т.13, 1Ь 3, с.45−52.
.
8. Банис И. И. О неравномерной оценке остаточного члена в интегральной предельной теореме.- Лит.матем.сб., 1974, т.14, 1Ь 3, с.
.
9. Бенткус В. Ю., Рачкаускас А. К). Оценки скорости сближениясумм независимых случайных величин в банаховом пространстве. I. -Лит.матем.сб., 1982, т.22, Я 3, с.12−28.
.
10. Банис И., Калинауекайте Н., Вайткус П. О скорости сходимости к устойчивым распределениям в локальной теореме.-Лит.матем.сб., 1971, т. II, с.511−516.
.
11. Бхаттачария Р. Н., Ранга Рао Р. Аппроксимация нормальным распределением и асимптотические разложения.М.: Наука, 1982.
.
12. Гнеденко Б. В., Колмогоров Л. Н. Предельные распределения для сумм независимых случайных величин. М., Гостехиздат, 1949.
.
13. Градштейн И. О., Рыжик И. М. Таблицы интегралов, суш, рядов и произведений. Изд. 4-е. М.: Госуд. изд-Ео физико-матем. лит-ры, 1963.
.
14. Золотарев В. М. Аналог асимптотического разложения ЭднЕорта-Крамера для случая сближения с устойчивыми законами распределения. Труды 1У Всесоюзного Совещания по теории вероятностей и математической статистике. Вильнюс, 1962, с.49−50.
.
15. Золотарев В. М. Метрические расстояния в пространствах случайных величин и их распределений. Матем.сб., 1976, т.101 (43), й 3 (II), с.416−454.
.
16. ЗолотареЕ В.М. О псевдомоментах. Теория вероят. и ее примен., 1978, т.23, Л 2, с.284−294.
.
17. Золотарев В. М. Статистические оценки параметров устойчивых законов распределений. Труды Международного математического Центра им. Стефана Банаха, 1978.
.
18. Золотарев В. М., Петрова О. Л. Оценки параметров устойчивых распределений. Тезисы докладов Второй Вильнюсской конш. по теории ьероят. и матем, статистике, 1977.
.
19. Золотареь В. М. Идеальные метрики в проблеме аппроксимации распределений сумм независимых случайных величин. Теория Еероят. и ее примен., 1977, т.22, is 3, с.449−465.
.
20. Золотарев В. М. О свойствах и связях некоторых типов метрик. Записки науч. семинароЕ ЛОМИ, 1979, т.87, с.18−35.
.
21. Ибрагимов И. Л., Линник Ю. В. Независимые и стационарно связанные случайные величины. М: Наука, 1965, с.25−73.
.
22. Калинауекайте Н. Некоторые разложения многомерных симметричных устойчивых плотностей. Лит.матем.сб., 1970, т.10, В 4, с.727−732.
.
23. Калинауекайте Н. О точности аппроксимации функций распределения сумм независимых случайных величин устойчивыми распределениями, — Лит.матем.сб., 1974, т.14, 2, с.41−51.
.
24. Калинаускайте Н. Некоторые разложения плотностей многомерных устойчивых распределений с показателем Лит.матем.сб., 1970, т.10, й 3, с.491−496.
.
25. Картан А. Дифференциальное исчисление. Дифференциальные формы.- М.: Мир, 1971.
.
26. Колмогоров А. Н. Основные понятия теории вероятностей.-М.: Наука, 1974.
.
27. Лоэв М. Теория вероятностей.- М.: ИД, 1962.
.
28. Миталаускас А. Асимптотическое разложение для независимых случайных Ееличин в случае устойчивого предельного распределения. -Лит.матем.сб, 1963, т.1, JS 3, с.189−193.
.
29. Мальков А. С., Ульянов В. В. О неравномерной оценке скорости сходимости б локальной предельной теореме в случае устойчивого предельного распределения, — Теория Еероят, и ее примен., 1982, с.
.
30. Миталаускас А. Оценка остаточного члена е интегральной предельной теореме в случае сходимости к устойчивому предельному закону. Лит.матем.сб., 1971, т. II, № 3, с.627−639.
.
31. Паулаускас В. И. Оценка скорости сходимости в многомерной предельной теореме в случае устойчивого предельного закона.-ДАН СССР, 1974, т.219, В I, с.43−45.
.
32. Паулаускас В. И. Оценки остаточного члена в предельной теореме в случае устойчивого предельного закона, — Лит.матем. сб., 1979, т.14, № I, с.165−187.
.
33. Паулаускас В. И. Равномерные и неравномерные оценки остаточного члена в предельной теореме с устойчивым предельным законом. Лит.матем.сб., 1974, т.14, В 4, с.171−185.
.
34. Паулаускас В. И. Об аппроксимации распределений сумм независимых случайных В-значных величин устойчивыми распределениями.- Теория вероят. и ее примен., 1979, т.25, № I, с.
.
35. Паулаускас В. И. О скорости сходимости в многомерной предельной теореме в случае устойчивого предельного закона. -Лит.матем.сб., 1975, т.15, J6 I, с.207−226.
.
36. РвачеЕа Е. Л. Многомерная локальная теорема для предельных устойчивых распределений, — Труды Института математики и механики АН Узбекской ССР, вып.10, ч.1, 1952, с.106−121.
.
37. Рвачева Е. Л. Об областях притяжения многомерных устойчиеых распределений. Уч.зап. Львовского гос. ун-та, сер. мех.-мат., 1954, т.29, й I (6), с.5−44.
.
38. Сакалаускас В. П. О неравномерном сближении с устойчивыми законами в пространствах Банаха. Канд.диссерт.- Вильнюс, 1932.
.
39. СакоЕИЧ Г. Н. Единая форма услоЕИй притяжения к устойчивому закону.- Теория Еероят. и ее примен., 1956, т.1, Je 3, с.
.
40. Сатыбалдина К. И. Об оценке скорости сходимости к устойчивым законам, — Вестник АН Каз. ССР, Алма-Ата, 1973, $ 4, с.57−65.
.
41. Сатыбалдина К. И. Уточнение оценок остаточных членоЕв предельных теоремах для сумм независимых случайных Ееличин. Канд.диссерт. Москва, 1972.
.
42. Сенатов В. В. Равномерные оценки скорости сходимости.-Теория Еероят. и ее приглен., I960, т.25, 4, с.757−770.
.
43. Стейшунас С. П. Об оценке скорости сходимости в предельной теореме в случае устойчивого предельного закона.- Лит. ма-тем.сб., 1974, т.14, В 2, с.
.
44. Ткачук С. Г. Предельные теоремы для суш независимых случайных величин, принадлежащих области притяжения устойчивого закона. Канд.диссерт.- Ташкент, 1977.
.
45. Ульянов В. В. Уточнение оценок скорости сходимости в центральной предельной теореме. Канд.диссерт. М., 1978.
.
46. Ротарь В. И. Неравномерная оценка скорости сходимостие многомерной центральной предельной теореме. Теория Еероят. и ее примен., 1970, т.15, В 4, с.647−665.
.
47. Стейшунас С. П. Оценки скорости сходимости в предельных интегральных теоремах в случае устойчивого предельного закона. Канд.диссерт.- Вильнюс, 1974.
.
48. Прохоров Ю. В., Розанов Ю. А. Теория вероятностей. М.: Наука, 1973.
.
49. Паулаускас В. И. О безгранично делимых и устойчивых законах в сепарабельных банаховых пространствах. I. Лит. матем. сб., 1978, т.18, & 4, с.101−114.
.
50. Рачкаускас АЛО. Замечание об устойчивых мерах в бана-хоеых пространствах. Лит. мат ем. сб., 1979, т.19, ?2, с.161−165.
.
51. Паулаускас В. И., Рачкаускас Л. Ю. О безгранично делимых и устойчивых законах в сепарабельных банаховых пространствах. II. Лит.матем.сб., 1980, т.20, В 4, с.97−113.
.
52. Фихтенгольц Г. М. Курс д picTxd ер енциал ьн о г о и интегрального исчисления, т.2. М.: Наука, 1957.
.
53. Сакович Г. Н. Многомерные устойчиЕые распределения. Канд.диссерт. Киев, 1965.55″ В. von Bahr. Multidimensional integral limit theorems. -Arkiv for Matematik, 1967, v.7, К 6, p.71−88.
.
54. Banis J.J.Convergence rate estimation in the local limit theorem in a case of a stable limit law. Third international Vilnius conference on probability theory and mathematical statistics. Abstracts of communications. — Vilnius, 1981, p.18−19″
.
55. Basu S.K. On a local limit theorem concerning variables in the domain of normal attraction of a stable law of index l
.
56. Blondal P.H. Explizite Abschatzung des Fehlers im mehr-dimensionalen zentralen Grenzwertsatz. Dissert. KBln, 1973″
.
57. Feldheim M.E. E^le de la stabilite' des lois de probability. These de la Faculte des Sciences de Paris, 1957″
.
58. Pristedt B. Expansions for the density of the absolute value of a strictly stable vector. Ann.Math.Stat., 1972, v.43t N 2, p.669−672.
.
59. Ferguson T.S. A representation of the symmetric bivariate Cauchy distribution. Ann.Math.Statist., 1962, v.33, p.1256—1266.
.
60. Levy P. Theorie de 1*Addition des Variables Aleatoires, 2 nd ed. Gautheir-Villars, Baris, 1937″
.
61. Press S.J. Multivariate stable distributions. J. Multivar .Anal., 1972, v.2, p.444−462.
.
62. Paulauskas V.J. Some Remarks on Multivariate Stable Distributions. J.Multivar.Anal., 1976, v.6, N 3, p.356−368.
.
63. Sazonov V.V. On a bound for the rate of convergence in the multidimensional central limit theorem. Proceedings of the Sixth Berkley Symposium on Mathematical Statistics and Probability, v.II. University of California Press., 1972, p.563−581.
.
64. Sazonov V.V., Uljanov V.V. On the speed of convergence in the Central Limit Theorem. J.Appl.Probability, 1979, v.11, N 2, p.269−270.
.
65. Sazonov V.V., Uljandv V.V. On the accuracy of normal approximation. J.Multivar. Anal., 198″, v.'lot, H 3, р. т-зм.
.
66. Schilder M. Some structure theorems for the symmetric stable laws. Ann.Math.Statist., 1970, у.41, p.412−421.
.
67. Sa^onov V.V. tiwmi Appwocumatdwi-Sorru Recent Advances: Spunget VwioLfrMSl.П. Pnutt W.E., Tayeot S.^. ITU po-tmUae кешв and Ш (т pto6a6c&t&s |ot Ш gen&tafc sta?& process Cn Я * Ttans. А тегMaiA.Soc. Ш, p. гяя-ъзи.
.
68. Гнеденко Б. В. К теории областей притяжения устойчивых законов. Уч. записки МГУ, 19Ё0, т. 30, с. 61−72.
.
69. Золотарев В. М. Одномерные устойчивые распределения. М.: Наука, 1983.
.
70. Калинаускайте Н. О притяжении к устойчивым законам типа Леви Фельдхейма. — Лит.матем.сб., т.14, 1974, ЖЗ, с. 93 — 105.
.