Применение математических методов в моделировании экономических процессов

Контрольная работа Применение математических методов в моделировании экономических процессов

Задача № 24

Построить на плоскости область допустимых решений системы линейных неравенств и найти максимальное и минимальное значения линейной функции цели в этой области.

Решение

целевая функция затрата товарооборот

Необходимо найти минимальное значение целевой функции F = 3x₁+6x₂ > min, при системе ограничений:

Построим область допустимых решений, т. е. решим графически систему неравенств. Для этого построим каждую прямую и определим полуплоскости, заданные неравенствами (полуплоскости обозначены штрихом).

Или Границы области допустимых решений Пересечением полуплоскостей будет являться область, координаты точек которого удовлетворяют условию неравенствам системы ограничений задачи. Обозначим границы области многоугольника решений.

Рассмотрим целевую функцию задачи F = 3x₁+6x₂ > min. Построим прямую, отвечающую значению функции F = 0: F = 3x₁+6x₂ = 0. Будем двигать эту прямую параллельным образом. Поскольку нас интересует минимальное решение, поэтому двигаем прямую до первого касания обозначенной области. На графике эта прямая обозначена пунктирной линией.

Равный масштаб Область допустимых решений представляет собой многоугольник.

Прямая F (x) = const пересекает область в точке A. Так как точка A получена в результате пересечения прямых (5) и (3), то ее координаты удовлетворяют уравнениям этих прямых:

Решив систему уравнений, получим: x₁ = 0, x₂ = 0

Откуда найдем минимальное значение целевой функции:

F (X) = 30 + 60 = 0

Рассмотрим целевую функцию задачи F = 3x₁+6x₂ > max. Построим прямую, отвечающую значению функции F = 0: F = 3x₁+6x₂ = 0. Будем двигать эту прямую параллельным образом. Поскольку нас интересует максимальное решение, поэтому двигаем прямую до последнего касания обозначенной области. На графике эта прямая обозначена пунктирной линией.

Равный масштаб Область допустимых решений представляет собой многоугольник.

Прямая F (x) = const пересекает область в точке G. Так как точка G получена в результате пересечения прямых (2) и (4), то ее координаты удовлетворяют уравнениям этих прямых:

Решив систему уравнений, получим: x₁ = 4, x₂ = 2.5

Откуда найдем максимальное значение целевой функции:

F (X) = 34 + 62.5 = 27

Поскольку функция цели F (x) параллельна прямой (2), то на отрезке GE функция F (x) будет принимает одно и тоже максимальное значение. Для определения координат точки E решим систему двух линейных уравнений:

Решив систему уравнений, получим: x₁ = 3, x₂ = 3

Откуда найдем максимальное значение целевой функции:

F (X) = 33 + 63 = 27

Ответ: минимальное значение целевой функции F (X) = 0; максимальное значение целевой функции: F (X) = 27.

Задача № 38

Для реализации трех групп товаров коммерческое предприятие располагает тремя видами ограниченных материально-денежных ресурсов в количестве b_{1 ,}b₂, b₃ единиц. При этом для продажи 1 группы товаров на 1 тыс. руб. товарооборота расходуется ресурса первого вида в количестве а₁₁ единиц, ресурса второго вида в количестве а₂₁ единиц, ресурса третьего вида в количестве а₃₁ единиц. Для продажи 2 и 3 групп товаров на 1 тыс. руб. товарооборота расходуется соответственно ресурса первого вида в количестве а_12, а₁₃ единиц, ресурсов второго вида в количестве а₂₂, а₂₃ единиц, ресурсов третьего вида в количестве а₃₂, а₃₃ единиц. Прибыль от продажи трех групп товаров на 1 тыс. руб. товарооборота составляет соответственно с_1, с_2, с₃ (тыс. руб.).

Определить плановый объем и структуру товарооборота так, чтобы прибыль торгового предприятия была максимальной.

38. а₁₁=18, а₁₂=9, а₁₃=6, а₂₁=4, а₂₂=2, а₂₃=4, а₃₁=3, а₃₂=3, а₃₃=1,

b₁=540, b₂=340, b₃=120, c₁=3, c₂=4, c₃=3.

Решение

Запишем исходные данные в таблицу:

1. Запишем математическую модель задачи.

Определить =(х₁, х₂, х₃), который удовлетворяет условиям и обеспечивают максимальное значение целевой функции

F ()= (3x₁+4x₂+3x₃)

Для построения первого опорного плана систему неравенств приведем к системе уравнений путем введения дополнительных переменных (переход к канонической форме).

В 1-м неравенстве смысла (?) вводим базисную переменную x₄. В 2-м неравенстве смысла (?) вводим базисную переменную x₅. В 3-м неравенстве смысла (?) вводим базисную переменную x₆.

18x₁ + 9x₂ + 6x₃ + 1x₄ + 0x₅ + 0x₆ = 540

4x₁ + 2x₂ + 4x₃ + 0x₄ + 1x₅ + 0x₆ = 340

3x₁ + 4x₂ + 3x₃ + 0x₄ + 0x₅ + 1x₆ = 120

Матрица коэффициентов A = a (ij) этой системы уравнений имеет вид:

Базисные переменные это переменные, которые входят только в одно уравнение системы ограничений и притом с единичным коэффициентом.

Решим систему уравнений относительно базисных переменных:

x₄, x₅, x₆,

Полагая, что свободные переменные равны 0, получим первый опорный план:

X1 = (0,0,0,540,340,120)

Базисное решение называется допустимым, если оно неотрицательно.

Переходим к основному алгоритму симплекс-метода.

Итерация № 0

1. Проверка критерия оптимальности.

Текущий опорный план неоптимален, так как в индексной строке находятся отрицательные коэффициенты.

2. Определение новой базисной переменной.

В качестве ведущего выберем столбец, соответствующий переменной x₂, так как это наибольший коэффициент по модулю.

3. Определение новой свободной переменной.

Вычислим значения D_i по строкам как частное от деления: b_i / a_i2 и из них выберем наименьшее:

min (540: 9, 340: 2, 120: 4) = 30

Следовательно, 3-я строка является ведущей.

Разрешающий элемент равен (4) и находится на пересечении ведущего столбца и ведущей строки.

4. Пересчет симплекс-таблицы Формируем следующую часть симплексной таблицы.

Вместо переменной x в план 1 войдет переменная x₂ .

Строка, соответствующая переменной x₂ в плане 1, получена в результате деления всех элементов строки x₆ плана 0 на разрешающий элемент РЭ=4

На месте разрешающего элемента в плане 1 получаем 1.

В остальных клетках столбца x₂ плана 1 записываем нули.

Таким образом, в новом плане 1 заполнены строка x₂ и столбец x₂ .

Все остальные элементы нового плана 1, включая элементы индексной строки, определяются по правилу прямоугольника.

Для этого выбираем из старого плана четыре числа, которые расположены в вершинах прямоугольника и всегда включают разрешающий элемент РЭ.

НЭ = СЭ — (А*В)/РЭ СТЭ — элемент старого плана, РЭ — разрешающий элемент (4), А и В — элементы старого плана, образующие прямоугольник с элементами СТЭ и РЭ.

Представим расчет каждого элемента в виде таблицы:

Получаем новую симплекс-таблицу:

1. Проверка критерия оптимальности Среди значений индексной строки нет отрицательных. Поэтому эта таблица определяет оптимальный план задачи.

Окончательный вариант симплекс-таблицы:

Оптимальный план можно записать так:

x₄ = 270

x₅ = 280

x₂ = 30

F (X) = 4*30 = 120

Ответ: Оптимальный план:

x₄ = 270

x₅ = 280

x₂ = 30

F (X) = 4*30 = 120

Задача № 51

Используя вариант предыдущего контрольного задания, необходимо:

— к прямой задаче планирования товарооборота, решаемой симплексным методом, составить двойственную задачу линейного программирования;

— установить сопряженные пары переменных прямой и двойственной задач;

— согласно сопряженным парам переменных из решения прямой задачи получить решение двойственной задачи, в которой производится оценка ресурсов, затраченных на продажу товаров.

Решение Составим двойственную задачу к прямой задаче.

Левая часть ограничений определяет стоимость ресурсов в теневых (альтернативных) ценах, затраченных на x_j.

18y₁ + 4y₂ + 3y₃?3

9y₁ + 2y₂ + 4y₃?4

6y₁ + 4y₂ + 3y₃?3

540y₁ + 340y₂ + 120y₃ > min

y₁? 0

y₂? 0

y₃? 0

Решение двойственной задачи дает оптимальную систему оценок ресурсов. Используя последнюю итерацию прямой задачи найдем, оптимальный план двойственной задачи. Из теоремы двойственности следует, что Y = C*A^-1.

Составим матрицу A из компонентов векторов, входящих в оптимальный базис.

Определив обратную матрицу D = А^-1 через алгебраические дополнения, получим:

Как видно из последнего плана симплексной таблицы, обратная матрица A^-1 расположена в столбцах дополнительных переменных.

Тогда Y = C*A^-1 =

Оптимальный план двойственной задачи равен:

y₁ = 0

y₂ = 0

y₃ = 1

Z (Y) = 540*0+340*0+120*1 = 120

Критерий оптимальности полученного решения. Если существуют такие допустимые решения X и Y прямой и двойственной задач, для которых выполняется равенство целевых функций F (x) = Z (y), то эти решения X и Y являются оптимальными решениями прямой и двойственной задач соответственно.

Определение дефицитных и недефицитных (избыточных) ресурсов. Вторая теорема двойственности.

Подставим оптимальный план прямой задачи в систему ограниченной математической модели:

180 + 930 + 60 = 270 < 540

40 + 230 + 40 = 60 < 340

30 + 430 + 30 = 120 = 120

1-ое ограничение выполняется как строгое неравенство, т. е. ресурс 1-го вида израсходован не полностью. Значит, этот ресурс не является дефицитным и его оценка в оптимальном плане y₁ = 0.

Неиспользованный экономический резерв ресурса 1 составляет 270 (540−270).

Этот резерв не может быть использован в оптимальном плане, но указывает на возможность изменений в объекте моделирования (например, резерв ресурса можно продать или сдать в аренду).

2-ое ограничение выполняется как строгое неравенство, т. е. ресурс 2-го вида израсходован не полностью. Значит, этот ресурс не является дефицитным и его оценка в оптимальном плане y₂ = 0.

Неиспользованный экономический резерв ресурса 2 составляет 280 (340−60).

Этот резерв не может быть использован в оптимальном плане, но указывает на возможность изменений в объекте моделирования (например, резерв ресурса можно продать или сдать в аренду).

3-е ограничение прямой задачи выполняется как равенство. Это означает, что 3-ий ресурс полностью используется в оптимальном плане, является дефицитным и его оценка согласно второй теореме двойственности отлична от нуля (y₃>0).

Таким образом, отличную от нуля двойственные оценки имеют лишь те виды ресурсов, которые полностью используются в оптимальном плане. Поэтому двойственные оценки определяют дефицитность ресурсов.

Обоснование эффективности оптимального плана.

При подстановке оптимальных двойственных оценок в систему ограничений двойственной задачи получим:

180 + 40 + 31 = 3 = 3

90 + 20 + 41 = 4 = 4

60 + 40 + 31 = 3 = 3

1-ое ограничение двойственной задачи выполняется как равенство. Это означает, что 1-ый ресурс экономически выгодно использовать, а его использование предусмотрено оптимальным планом прямой задачи (x₁>0).

2-ое ограничение двойственной задачи выполняется как равенство. Это означает, что 2-ой ресурс экономически выгодно использовать, а его использование предусмотрено оптимальным планом прямой задачи (x₂>0).

3-е ограничение двойственной задачи выполняется как равенство. Это означает, что 3-ий ресурс экономически выгодно использовать, а его использование предусмотрено оптимальным планом прямой задачи (x₃>0).

Влияние запасов ресурсов на оптимальное решение прямой задачи.

Величина двойственной оценки показывает, на сколько возрастает значение целевой функции F (x) при увеличении дефицитного ресурса на единицу.

Анализ устойчивости оптимального плана.

Проведем анализ устойчивости оптимального плана и оценим степень влияния изменения ресурсов на значение целевой функции.

Чувствительность решения к изменению коэффициентов целевой функции.

Так как любые изменения коэффициентов целевой функции оказывают влияние на оптимальность полученного ранее решения, то наша цель — найти такие диапазоны изменения коэффициентов в целевой функции (рассматривая каждый из коэффициентов отдельно), при которых оптимальные значения переменных остаются неизменными.

Пусть каждое значение параметра целевой функции изменится на? с_i. Найдем интервалы, при которых будет экономически выгодно использование ресурсов.

Допустимые диапазоны изменения коэффициентов в целевой функции определятся из соотношений:

2-ой параметр целевой функции может изменяться в пределах:

?c₂^- = min [y_k/d_2k] для d_2k>0.

?c₂⁺ = |max [y_k/d_2k]| для d_2k<0.

Таким образом, 2-параметр может быть уменьшен на 4 или увеличен на 0. Интервал изменения равен:

(c₂ — ?c₂^-; c₂ + ?c₂⁺)

[4−4; 4+0] = [0;4]

Если значение c₂ будет лежать в данном интервале, то оптимальный план не изменится. Чувствительность решения к изменению запасов сырья.

Из теоремы об оценках известно, что колебание величины b_i приводит к увеличению или уменьшению f (X). Оно определяется величиной y_i в случае, когда при изменении величин b_i значения переменных у_i в оптимальном плане соответствующей двойственной задачи остаются неизменными. Поэтому необходимо найти такие интервалы изменения каждого из свободных членов системы ограничений исходной ЗЛП, в которых оптимальный план двойственной задачи не менялся бы.

Найдем интервалы устойчивости ресурсов.

3-ий запас может изменяться в пределах:

?b₃^- = min [x_k/d_k3] для d_k3>0.

?b₃⁺ = |max [x_k/d_k3]| для d_k3<0.

Таким образом, 3-ый запас может быть уменьшен на 120 или увеличен на 120

Интервал изменения равен:

(b₃ — ?b₃^-; b₃ + ?b₃⁺)

[120−120; 120+120] = [0;240]

В оптимальный план не вошла основная переменная x₁, т. е. ее не выгодно использовать. Определим максимально возможное значение в рамках полученных двойственных оценок:

1-ый запас может изменяться в пределах:

0? ?b₁? 24

[540−24; 540] = [516;540]

В оптимальный план не вошла основная переменная x₂, т. е. ее не выгодно использовать. Определим максимально возможное значение в рамках полученных двойственных оценок:

2-ой запас может изменяться в пределах:

0? ?b₂? 30

[340−30; 340] = [310;340]

Ответ: Оптимальный план двойственной задачи равен:

y₁ = 0

y₂ = 0

y₃ = 1

Z (Y) = 120

Задача № 76

Поставщики товара — оптовые коммерческие предприятия А_1, А₂,…, А_m имеют запасы товаров соответственно в количестве а₁, а₂,…, а_m ед. и розничные торговые предприятия В₁, В₂,…, В_n. — подали заявки на закупку товаров в объемах соответственно: b₁, b₂, b₃,…, b_n. Тарифы перевозок единицы груза с каждого из пунктов поставки в соответствующие пункты потребления заданы в виде матрицы С=(с_ij)(i=)

Найти такой план перевозки груза от поставщиков к потребителям, чтобы совокупные затраты на перевозку были минимальными.

76.

а₁=222, b₁=125,

а₂=188, b₂=75,

а₃=210, b₃=200,

а₄=380, b₄=380,

b₅=220.

Решение

Математическая модель транспортной задачи:

F = ??c_ijx_ij, (1)

при условиях:

?x_ij = a_i, i = 1,2,…, m, (2)

?x_ij = b_j, j = 1,2,…, n, (3)

Стоимость доставки единицы груза из каждого пункта отправления в соответствующие пункты назначения задана матрицей тарифов

Проверим необходимое и достаточное условие разрешимости задачи.

?a = 222 + 188 + 210 + 380 = 1000

?b = 125 + 75 + 200 + 380 + 220 = 1000

Условие баланса соблюдается. Запасы равны потребностям. Следовательно, модель транспортной задачи является закрытой.

Занесем исходные данные в распределительную таблицу.

Этап I. Поиск первого опорного плана

1. Используя метод наименьшей стоимости, построим первый опорный план транспортной задачи.

Суть метода заключается в том, что из всей таблицы стоимостей выбирают наименьшую, и в клетку, которая ей соответствует, помещают меньшее из чисел a_i, или b_j.

Затем, из рассмотрения исключают либо строку, соответствующую поставщику, запасы которого полностью израсходованы, либо столбец, соответствующий потребителю, потребности которого полностью удовлетворены, либо и строку и столбец, если израсходованы запасы поставщика и удовлетворены потребности потребителя.

Из оставшейся части таблицы стоимостей снова выбирают наименьшую стоимость, и процесс распределения запасов продолжают, пока все запасы не будут распределены, а потребности удовлетворены.

Искомый элемент равен 2

Для этого элемента запасы равны 188, потребности 380. Поскольку минимальным является 188, то вычитаем его.

x₂₄ = min (188,380) = 188.

Искомый элемент равен 2

Для этого элемента запасы равны 210, потребности 125. Поскольку минимальным является 125, то вычитаем его.

x₃₁ = min (210,125) = 125.

Искомый элемент равен 3

Для этого элемента запасы равны 222, потребности 220. Поскольку минимальным является 220, то вычитаем его.

x₁₅ = min (222,220) = 220.

Искомый элемент равен 4

Для этого элемента запасы равны 85, потребности 192. Поскольку минимальным является 85, то вычитаем его.

x₃₄ = min (85,192) = 85.

Искомый элемент равен 8

Для этого элемента запасы равны 2, потребности 107. Поскольку минимальным является 2, то вычитаем его.

x₁₄ = min (2,107) = 2.

Искомый элемент равен 8

Для этого элемента запасы равны 380, потребности 105. Поскольку минимальным является 105, то вычитаем его.

x₄₄ = min (380,105) = 105.

Искомый элемент равен 9

Для этого элемента запасы равны 275, потребности 75. Поскольку минимальным является 75, то вычитаем его.

x₄₂ = min (275,75) = 75.

Искомый элемент равен 21

Для этого элемента запасы равны 200, потребности 200. Поскольку минимальным является 200, то вычитаем его.

x₄₃ = min (200,200) = 200.

В результате получен первый опорный план, который является допустимым, так как все грузы из баз вывезены, потребность магазинов удовлетворена, а план соответствует системе ограничений транспортной задачи.

2. Подсчитаем число занятых клеток таблицы, их 8, а должно быть m + n — 1 = 8. Следовательно, опорный план является невырожденным.

Значение целевой функции для этого опорного плана равно:

F (x) = 8*2 + 3*220 + 2*188 + 2*125 + 4*85 + 9*75 + 21*200 + 8*105 = 7357

Этап II. Улучшение опорного плана Проверим оптимальность опорного плана. Найдем предварительные потенциалы u_i, v_i. по занятым клеткам таблицы, в которых u_i + v_i = c_ij, полагая, что u₁ = 0.

u₁ + v₄ = 8; 0 + v₄ = 8; v₄ = 8

u₂ + v₄ = 2; 8 + u₂ = 2; u₂ = -6

u₃ + v₄ = 4; 8 + u₃ = 4; u₃ = -4

u₃ + v₁ = 2; -4 + v₁ = 2; v₁ = 6

u₄ + v₄ = 8; 8 + u₄ = 8; u₄ = 0

u₄ + v₂ = 9; 0 + v₂ = 9; v₂ = 9

u₄ + v₃ = 21; 0 + v₃ = 21; v₃ = 21

u₁ + v₅ = 3; 0 + v₅ = 3; v₅ = 3

Опорный план не является оптимальным, так как существуют оценки свободных клеток, для которых u_i + v_i > c_ij

(1;3): 0 + 21 > 11; ?₁₃ = 0 + 21 — 11 = 10

(2;3): -6 + 21 > 5; ?₂₃ = -6 + 21 — 5 = 10

(3;3): -4 + 21 > 8; ?₃₃ = -4 + 21 — 8 = 9

(4;1): 0 + 6 > 3; ?₄₁ = 0 + 6 — 3 = 3

max (10,10,9,3) = 10

Выбираем максимальную оценку свободной клетки (1;3): 11

Для этого в перспективную клетку (1;3) поставим знак «+», а в остальных вершинах многоугольника чередующиеся знаки «-», «+», «-».

Цикл приведен в таблице (1,3; 1,4; 4,4; 4,3;).

Из грузов х_ij стоящих в минусовых клетках, выбираем наименьшее, т. е. у = min (1, 4) = 2. Прибавляем 2 к объемам грузов, стоящих в плюсовых клетках и вычитаем 2 из Х_ij, стоящих в минусовых клетках. В результате получим новый опорный план.

Проверим оптимальность опорного плана. Найдем предварительные потенциалы u_i, v_i. по занятым клеткам таблицы, в которых u_i + v_i = c_ij, полагая, что u₁ = 0.

u₁ + v₃ = 11; 0 + v₃ = 11; v₃ = 11

u₄ + v₃ = 21; 11 + u₄ = 21; u₄ = 10

u₄ + v₂ = 9; 10 + v₂ = 9; v₂ = -1

u₄ + v₄ = 8; 10 + v₄ = 8; v₄ = -2

u₂ + v₄ = 2; -2 + u₂ = 2; u₂ = 4

u₃ + v₄ = 4; -2 + u₃ = 4; u₃ = 6

u₃ + v₁ = 2; 6 + v₁ = 2; v₁ = -4

u₁ + v₅ = 3; 0 + v₅ = 3; v₅ = 3

Опорный план не является оптимальным, так как существуют оценки свободных клеток, для которых u_i + v_i > c_ij

(2;3): 4 + 11 > 5; ?₂₃ = 4 + 11 — 5 = 10

(2;5): 4 + 3 > 4; ?₂₅ = 4 + 3 — 4 = 3

(3;3): 6 + 11 > 8; ?₃₃ = 6 + 11 — 8 = 9

(3;5): 6 + 3 > 3; ?₃₅ = 6 + 3 — 3 = 6

(4;1): 10 + -4 > 3; ?₄₁ = 10 + -4 — 3 = 3

(4;5): 10 + 3 > 4; ?₄₅ = 10 + 3 — 4 = 9

max (10,3,9,6,3,9) = 10

Выбираем максимальную оценку свободной клетки (2;3): 5

Для этого в перспективную клетку (2;3) поставим знак «+», а в остальных вершинах многоугольника чередующиеся знаки «-», «+», «-».

Цикл приведен в таблице (2,3; 2,4; 4,4; 4,3;).

Из грузов х_ij стоящих в минусовых клетках, выбираем наименьшее, т. е. у = min (2, 4) = 188. Прибавляем 188 к объемам грузов, стоящих в плюсовых клетках и вычитаем 188 из Х_ij, стоящих в минусовых клетках. В результате получим новый опорный план.

Проверим оптимальность опорного плана. Найдем предварительные потенциалы u_i, v_i. по занятым клеткам таблицы, в которых u_i + v_i = c_ij, полагая, что u₁ = 0.

u₁ + v₃ = 11; 0 + v₃ = 11; v₃ = 11

u₂ + v₃ = 5; 11 + u₂ = 5; u₂ = -6

u₄ + v₃ = 21; 11 + u₄ = 21; u₄ = 10

u₄ + v₂ = 9; 10 + v₂ = 9; v₂ = -1

u₄ + v₄ = 8; 10 + v₄ = 8; v₄ = -2

u₃ + v₄ = 4; -2 + u₃ = 4; u₃ = 6

u₃ + v₁ = 2; 6 + v₁ = 2; v₁ = -4

u₁ + v₅ = 3; 0 + v₅ = 3; v₅ = 3

Опорный план не является оптимальным, так как существуют оценки свободных клеток, для которых u_i + v_i > c_ij

(3;3): 6 + 11 > 8; ?₃₃ = 6 + 11 — 8 = 9

(3;5): 6 + 3 > 3; ?₃₅ = 6 + 3 — 3 = 6

(4;1): 10 + -4 > 3; ?₄₁ = 10 + -4 — 3 = 3

(4;5): 10 + 3 > 4; ?₄₅ = 10 + 3 — 4 = 9

max (9,6,3,9) = 9

Выбираем максимальную оценку свободной клетки (3;3): 8

Для этого в перспективную клетку (3;3) поставим знак «+», а в остальных вершинах многоугольника чередующиеся знаки «-», «+», «-».

Цикл приведен в таблице (3,3; 3,4; 4,4; 4,3;).

Из грузов х_ij стоящих в минусовых клетках, выбираем наименьшее, т. е. у = min (4, 3) = 10. Прибавляем 10 к объемам грузов, стоящих в плюсовых клетках и вычитаем 10 из Х_ij, стоящих в минусовых клетках. В результате получим новый опорный план.

Проверим оптимальность опорного плана. Найдем предварительные потенциалы u_i, v_i. по занятым клеткам таблицы, в которых u_i + v_i = c_ij, полагая, что u₁ = 0.

u₁ + v₃ = 11; 0 + v₃ = 11; v₃ = 11

u₂ + v₃ = 5; 11 + u₂ = 5; u₂ = -6

u₃ + v₃ = 8; 11 + u₃ = 8; u₃ = -3

u₃ + v₁ = 2; -3 + v₁ = 2; v₁ = 5

u₃ + v₄ = 4; -3 + v₄ = 4; v₄ = 7

u₄ + v₄ = 8; 7 + u₄ = 8; u₄ = 1

u₄ + v₂ = 9; 1 + v₂ = 9; v₂ = 8

u₁ + v₅ = 3; 0 + v₅ = 3; v₅ = 3

Опорный план не является оптимальным, так как существуют оценки свободных клеток, для которых u_i + v_i > c_ij

(4;1): 1 + 5 > 3; ?₄₁ = 1 + 5 — 3 = 3

Выбираем максимальную оценку свободной клетки (4;1): 3

Для этого в перспективную клетку (4;1) поставим знак «+», а в остальных вершинах многоугольника чередующиеся знаки «-», «+», «-».

Цикл приведен в таблице (4,1; 4,4; 3,4; 3,1;).

Из грузов х_ij стоящих в минусовых клетках, выбираем наименьшее, т. е. у = min (3, 1) = 125. Прибавляем 125 к объемам грузов, стоящих в плюсовых клетках и вычитаем 125 из Х_ij, стоящих в минусовых клетках. В результате получим новый опорный план.

Проверим оптимальность опорного плана. Найдем предварительные потенциалы u_i, v_i. по занятым клеткам таблицы, в которых u_i + v_i = c_ij, полагая, что u₁ = 0.

u₁ + v₃ = 11; 0 + v₃ = 11; v₃ = 11

u₂ + v₃ = 5; 11 + u₂ = 5; u₂ = -6

u₃ + v₃ = 8; 11 + u₃ = 8; u₃ = -3

u₃ + v₄ = 4; -3 + v₄ = 4; v₄ = 7

u₄ + v₄ = 8; 7 + u₄ = 8; u₄ = 1

u₄ + v₁ = 3; 1 + v₁ = 3; v₁ = 2

u₄ + v₂ = 9; 1 + v₂ = 9; v₂ = 8

u₁ + v₅ = 3; 0 + v₅ = 3; v₅ = 3

Опорный план является оптимальным, так все оценки свободных клеток удовлетворяют условию

u_i + v_i <= c_ij.

Минимальные затраты составят:

F (x) = 11*2 + 3*220 + 5*188 + 8*10 + 4*200 + 3*125 + 9*75 + 8*180 = 4992

Ответ: Минимальные затраты составят: F (x) = 4992

Беляев А.А., Артамонов., Фомин Г. П. Прикладная математика ч.1. РГТЭУ, 2002.

Кузнецов Ю. П. Математическое программирование. — М.: Высшая школа, 1980.

Спирин А.А., Фомин Г. П. Экономико-математические методы и модели в торговле М.: Экономика, 1988.

Фомин Г. П. Математические методы и модели в коммерческой деятельности. Учебник. М.: Финансы и статистика. 2004.