Моделирование с применением дифференциальных уравнений

Скорость многих как нормальных, так и патологических процессов зависит от того, насколько далеко уже «продвинулось» развитие этих процессов за предшествующее время. Например, скорость роста объема опухоли зависит от того, какого объема опухоль уже достигла. Это объясняется тем, что скорость роста зависит от числа имеющихся опухолевых клеток, а этому числу пропорционален занимаемый ими объем. Если x (t)—зависимость результата некоторого процесса х от времени, то производная этой функции по времени х'(t) характеризует скорость этого процесса. Поскольку скорость процесса часто находится в зависимости от его результата, в одном уравнении оказываются как x (t), так и x'(t). Подобные уравнения называются дифференциальными. В них могут входить вторые производные, характеризующие ускорения, с которыми происходят процессы, и производные еще более высоких порядков. Таким образом, дифференциальное уравнение для функции x (t)—это уравнение, в которое входят производные этой функции по аргументу t. Порядок дифференциального уравнения определяется наивысшим порядком производных, встречающихся в этом уравнении.

Дифференциальные уравнения являются одним из важнейших разделов математики, который имеет очень большое прикладное значение. Кроме общематематического и теоретического интереса, дифференциальные уравнения находят широкое практическое применение. Например, при решении задач, связанных с электродинамикой, распространением тепла, радиоактивным распадом, оптимальным управлением и т. д.

Традиционным примером прикладной задачи, приводящей к простейшему обыкновенному дифференциальному уравнению первого порядка, является задача о радиоактивном распаде вещества. Дифференциальные уравнения описывают процессы распространения тепла и диффузии газов. Изучение электромагнитных полей базируется на знаменитых уравнениях Максвелла. Фундаментальную роль в квантовой механике играет дифференциальное уравнение, называемое уравнением Шредингера. Опираясь на решение системы дифференциальных уравнений, был сконструирован автопилот. Дифференциальные уравнения использовались при создании аппарата «искусственная почка», поскольку процесс гемодиализа (т.е. очищения крови при помощи искусственной почки) описывается системой дифференциальных уравнений. А ведь этот аппарат спасает жизни многих и многих.

Несколько десятков лет назад нелинейные уравнения мало кого интересовали. А сейчас они переживают взлет. Одиночные волны, которые описываются этими уравнениями, сейчас играют большую роль. Просто раньше такие уравнения не умели решать.

Теория дифференциальных уравнений является самым большим разделом современной математики. Чтобы охарактеризовать ее место в современной математической науке, прежде всего, необходимо подчеркнуть основные особенности теории дифференциальных уравнений, состоящей из двух обширных областей математики: теории обыкновенных дифференциальных уравнений и теории уравнений с частными производными. Для составления математической модели в виде дифференциальных уравнений нужно, как правило, знать только локальные связи, и не нужна информация обо всем физическом явлении в целом. Математическая модель дает возможность изучать явление в целом, предсказать его развитие, делать количественные оценки изменений, происходящих в нем с течением времени. Важно отметить, что для проверки правильности математической модели очень важны теоремы существования решений соответствующих дифференциальных уравнений, так как математическая модель не всегда адекватна конкретному явлению и из существования решения реальной задачи (физической, химической, биологической и т. д.) не следует существование решения соответствующей математической задачи.

Задачи различных естественных наук снабжают теорию дифференциальных уравнений проблемами, из которых вырастают богатые содержанием теории. Однако бывает и так, что математическое исследование, рожденное в рамках самой математики, через значительное время после его проведения находит приложение в конкретных «жизненных» проблемах в результате их более глубокого изучения. Таким примером может служить задача Трикоми для уравнений смешанного типа, которая спустя более четверти века после ее решения нашла важные применения в задачах современной газовой динамики при изучении сверхзвуковых течений газа. Д. Гильберт писал, что «математика сопровождала по пятам физическое мышление и, обратно, получила наиболее мощные импульсы со стороны проблем, выдвигавшихся физикой». Таким образом, дифференциальные уравнения находятся как бы на перекрестке математических дорог.

С одной стороны, новые важные достижения в топологии, алгебре, функциональном анализе, теории функций и других областях математики сразу же приводят к прогрессу в теории дифференциальных уравнений и тем самым находят путь к приложениям. С другой стороны, проблемы физики и техники, биологии и медицины, химии и т. д., сформулированные на языке дифференциальных уравнений, вызывают к жизни новые направления в математике, приводят к необходимости совершенствования математического аппарата, дают начало новым математическим теориям, имеющим внутренние законы развития, свои собственные проблемы. Ф. Клейн в книге «Лекции о развитии математики в XIX столетии» писал: «Математика в наши дни напоминает оружейное производство в мирное время. Образцы восхищают знатока. Назначение этих вещей отходит на задний план». Несмотря на эти слова, можно сказать, что нельзя стоять за «разоружение» математики.

Вспомним, например, что древние греки изучали конические сечения задолго до того, как было открыто, что по ним движутся планеты. Действительно, созданная древними греками теория конических сечений не находила своего применения почти две тысячи лет, пока Кеплер не воспользовался ею для создания теории движения небесных тел. Исходя из теории Кеплера, Ньютон создал механику, являющуюся основой всей физики и техники. Другим таким примером может служить теория групп, зародившаяся в конце XVIII века (Лагранж, 1771 год) в недрах самой математики и нашедшая лишь в конце XIX века плодотворное применение сначала в кристаллографии, а позднее в теоретической физике и других естественных науках.

Многие разделы теории дифференциальных уравнений так разрослись, что стали самостоятельными науками. Можно сказать, что большая часть путей, связывающих абстрактные математические теории и естественнонаучные приложения, проходит через дифференциальные уравнения. Все это обеспечивает теории дифференциальных уравнений почетное место в современной науке. Таким образом, в теории дифференциальных уравнений ясно прослеживается основная линия развития математики: от конкретного и частного через абстракцию к конкретному и частному.

Для реализации математических моделей в настоящее время широко используются компьютеры. С помощью ЭВМ проводят так называемые «машинные эксперименты», при исследовании патологических процессов в кардиологии, развития эпидемий и т. д. При этом можно легко изменять масштаб по времени: ускорить или замедлить течение процесса, рассмотреть процесс в стационарном режиме, как это предложено в модели сокращения мышцы (модель Дещеревского) и по пространству. Например, ввести локальную пространственную неоднородность параметров, изменить конфигурацию зоны патологии. Изменяя коэффициенты или вводя новые члены в дифференциальные уравнения, можно учитывать те или иные свойства модулируемого объекта или теоретически создавать объекты с новыми свойствами, так, например, получать лекарственные препараты более эффективного действия. С помощью ЭВМ можно решать сложные уравнения и прогнозировать поведение системы: течение заболевания, эффективность лечения, действия фармацевтического препарата и т. д.

По возможности нужно применять чисто математические методы исследования модели, так как это позволяет наиболее полно использовать мощные аналитические возможности. К сожалению, во многих случаях получить решение основных уравнений аналитическими методами не удается и необходимо обращаться к численным решениям. Численный анализ полон ловушек, подстерегающих неосторожного исследователя. Однако при соблюдении достаточной осторожности численные решения часто дают значительный объем полезной информации о свойствах модели. По мере усложнения моделей и приближения их к реальным процессам уменьшается возможность получения лаконичных изящных решений в явном виде, и все более возрастает необходимость обращаться к тем или иным формам численных решений. Поэтому в настоящее время исключительно важное значение приобретают быстродействующие вычислительные машины.

В некоторых случаях возникают более серьезные трудности. Может оказаться, что полученные дифференциальные уравнения движения для некоторого сложного биологического процесса (это могут быть дифференциальные уравнения в частных производных высокого порядка) не только неразрешимы аналитически, но и не поддаются решению существующими методами численного анализа.