Свойства пределов. 
Основы высшей математики

Обозначение предела Предел функции обозначается как или через символ предела:

Всюду ниже предполагается, что пределы функций существуют.

Предел суммы Предел суммы двух функций равен сумме пределов этих функций:

Расширенное правило суммы.

Предел постоянной величины Предел постоянной величины равен самой постоянной величине:

Предел произведения функции на постоянную величину Постоянный коэффициент можно выносить за знак предела:

Предел произведения Предел произведения двух функций равен произведению пределов этих функций (при условии, что последние существуют):

Расширенное правило произведения.

Предел частного Предел частного двух функций равен отношению пределов этих функций при условии, что предел знаменателя не равен нулю:

Предел степенной функции.

где степень p — действительное число. В частности,.

Если f (x) = x, то.

Предел показательной функции.

где основание a > 0.

Предел логарифмической функции.

где основание a > 0.

Теорема «о двух милиционерах» .

Предположим, что.

для всех x близких к a, за исключением, быть может, самой точкиx = a. Тогда, если.

То.

То есть функция f (x) остается «зажатой» между двумя другими функциями, стремящимися к одному и тому же пределу L.

Пример 1.

Найти предел.

.

Решение

Пример 2.

Найти предел.

.

Решение.

Используя основные свойства пределов (правило суммы, правило частного и предел степенной функции), получаем.