Расчет сложных электрических цепей постоянного тока

РАСЧЕТ СЛОЖНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ ПОСТОЯННОГО ТОКА Цель: освоить методы расчета сложных электрических цепей.

Содержание: по заданным ЭДС и сопротивлениям, определить величины и направления токов во всех ветвях, мощности на всех участках и составить баланс мощностей. Значения ЭДС заданы в вольтах, а сопротивления в Омах.

Необходимо: рассчитать сложную электрическую цепь методами законов Кирхгофа, контурных токов и двух узлов. Электрическая схема приведена на рис. 1.

Рис. 1:

Построим…

Рис. 2:

Схема (рис. 2) состоит из 4 ветвей и 2 узлов (m = 4, n = 2).

На схеме обозначены выбранные положительные направления всех токов.

По первому закону Кирхгофа составляем:

n — 1 = 2 — 1 = 1.

Уравнение для узла А:

I₁ — I₂ + I₃ — I₄ = 0.

По второму закону Кирхгофа составляем:

m — 1 = 4 — 1 = 3.

Уравнения для контуров (направление обхода принимаем по движению часовой стрелки):

E₂ = I₁ (R₂ + R₄) + I₂ R₅ — E₁ = - I₂ R₅ — I₃ R₁ — E₁ + E₃ = I₃ R₁ + I₄ R₃).

Подставим в систему уравнений числовые значения:

I₁ — I₂ + I₃ — I₄ = 06I₁ + 6I₂ = 10 — 6I₂ — 4I₃ = - 122I₃ + 2I₄ = 18.

Решив эту систему уравнений, получим:

I₂ = I₄ = 1, 41 A, I₅ = 0, 26 A, I₁ = 2, 62 A, I₂ = 3, 77 A.

Выбираем в схеме взаимно независимые контуры I, II и III. (рис. 3).

Для выбранных независимых контуров принимаем произвольно направления контурных токов в них.

Рис. 3:

По второму закону Кирхгофа составим уравнения для контурных токов I_I, I_II и I_III:

(E₂ = I₁ (R₂ + R₄ + R₅) — I_II R₅ @E₁ = - I₁ R₅ + I_II (R₁ + R₅) — I_III) R_1@E₁ + E₃ = - I_II R₁ + I_III (R₁ + R₃).

Подставим в систему уравнений числовые значения:

12I_I — 6I₂ = 10 @ - 6I_I + 10I_II — 4I_III = - 12@ - 4I_II + 6I_III = 18.

Решив эту систему уравнений, получим:

I₁ = 1,41A I_II = 1,15A I_III = 3,77 A.

Определим значение токов в ветвях:

I₂ = I₄ = I_I = 1,41 A, I₅ = I_I — I_II = 1,41 — 1,15 = 0, 26 A.

I₁ = I_III — I_II = 3,77 — 1,15 = 2,62 A I₃ = I_III = 3,77 A.

Токи в ветвях цепи:

I₂ = I₄ = (E₂ — U_AB) g₁ = (10 — 1,538)•1 ч (2 + 4) = 1,41 A.

I₅ = U_AB ч R₅ = 1,538 ч 6 = 0,26 A.

I₁ = (E₁ — U_AB) g₃ = (12 — 1,538)•1 ч 4 = 2,62 A.

I₃ = (E₃ + U_AB) g₄ = (6 + 1,538)•1 ч 2 = 3,77 A.

Вычислим узловое напряжение: ток электрический заряд.

U_AB = (E₂ g₁ + E₁ g₃ + E₃ g₄) ч (g₁ + g₂ + g₃ + g₄) = (E₂ ч (R₂ + R₄) + E₁ ч R₁ — E₃ ч R₃) ч (1 ч (R₂ + R₄) + 1 ч R₅ + 1 ч R₁ + 1 ч R₃) = (10 ч (2 + 4) + 12 ч 4 — 6 ч 2) ч (1 ч (2 + 4) + 1 ч 6 + 1 ч 4 + 1 ч 2) = 1, 538 В Рис. 4:

Составим баланс мощностей и проверим правильность решения вопроса:

E₁ I₁ + E₂ I₂ + E₃ I₃ = I₁^2 R₁ + I₂^2 R₂ + I₃^2 R₃ + I₄^2 R₄ + I₅^2 R₅.

Подставим заданные и полученные значения параметров цепи:

12•2,62 + 10•1,41 + 6•3,77 = 2,62²•4 + 1,41²•2 + 3,77²•2 + 1,41²•4 + 0,26²•6 = 68,2 Вт = 68,2.

Результаты расчетов, показывают, что баланс верен.