Является ли для произвольного знакочередующегося ряда необходимый признак сходимости также и достаточным?

Ответ:

Для знакочередующихся рядов имеет место достаточный признак сходимости Лейбница.

Теорема 1.7. (Признак Лейбница. Без доказательства).

Если в знакочередующемся ряде абсолютные величины членов убывают: u1 > u2 > u3 >…> un > … и общий член ряда стремится к нулю:, то ряд сходится, причем его сумма положительна и не превосходит первого члена ряда.

Условие, является необходимым для сходимости ряда, но не достаточным, так как согласно признака Лейбница, для полной сходимости ряда кроме этого признака, необходимо чтобы убывали абсолютные величины члены ряда.

Какие ряды называются абсолютно сходящимися и условно сходящимися? Сформулировать основные свойства абсолютно сходящихся рядов. Привести примеры абсолютно сходящихся и условно сходящихся рядов

Ответ:

Определение 1.4. Знакопеременный ряд u1 + u2 + u3 +…+ un + … называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд |u1| + |u2| + |u3| +…+ |un| + … составленный из абсолютных величин его членов.

На основании достаточного признака сходимости знакопеременного ряда всякий абсолютно сходящийся ряд является сходящимся.

Определение 1.5. Знакопеременный ряд u1 + u2 + u3 +…+ un + … называется условно сходящимся, если он сходится, а ряд |u1| + |u2| + |u3| +…+ |un| + …, составленный из абсолютных величин его членов, расходится.

Среди знакопеременных рядов абсолютно сходящиеся ряды занимают особое место. Это объясняется тем, что на такие ряды переносятся основные свойства конечных сумм. Особое значение имеем свойство переместительности, которым обладают только абсолютно сходящиеся ряды.

Это свойство, которое приводится без доказательства, формулируется следующим образом.

Сумма абсолютно сходящегося ряда не меняется от любой перестановки его членов.

В неабсолютно сходящемся ряде нельзя переставлять члены, так как в случае их перестановки может измениться сумма ряда и даже получиться расходящийся ряд.

Пример 1.1. Исследовать на сходимость знакопеременный ряд.

Решение: Рассмотрим ряд, составленный из абсолютных величин членов данного ряда: Этот ряд сходится, как абсолютный гармонический ряд с показателем p = 2 >1. Следовательно, на основании доказанного признака сходится и данный знакопеременный ряд. Такой ряд является абсолютно сходящимся.

Пример 1.2. Рассмотрим ряд Этот ряд сходится по признаку Лейбница. Между тем, ряд, составленный из абсолютных величин данного ряда, является гармоническим и, следовательно, расходится. Такой ряд является условно сходящимся.