Применение производной к исследованию производственных функций в экономике

Вступление Современный экономист должен хорошо владеть количественными методами анализа. К такому выводу нетрудно прийти практически с самого начала изучения экономической теории. При этом важны как знания традиционных математических курсов (математический анализ, линейная алгебра, теория вероятностей), так и знания, необходимые непосредственно в практической экономике и экономических исследованиях (математическая и экономическая статистика, теория игр, эконометрика и др.).

Математика является не только орудием количественного расчета, но также методом точного исследования. Она служит средством предельно четкой и ясной формулировки экономических понятий и проблем.

Ф. Энгельс в своё время заметил, что «лишь дифференциальное исчисление даёт естествознанию возможность изображать математически не только состояния, но и процессы: движение». Поэтому целью моей работы является выяснить, каков экономический смысл производной, какие новые возможности для экономических исследований открывает дифференциальное исчисление, а также исследовать применение производной при решении различных видов задач по экономической теории.

1. Определение производной Пусть функция y=f (х) определена в некоторой окрестности точки х0. Для любой точки х из этой окрестности приращение x определяется формулой x=х — х0, откуда х=х0+x.

Приращением функции y=f (x) в точке х0 называется разность у=f (x) — f (x0)=f (x0+x) — f (x0).

Производной от функции у=f (x) в точке х0 называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента (), когда приращение аргумента стремится к нулю (x>0).

Производная функции у=f (x) в точке х0 обозначается y'(х0) или f'(х0). Определение производной можно записать в виде формулы:

производная дифференциал маржинализм спрос

'()== .

Если функция в точке х0 имеет конечную производную, то она называется дифференцируемой в точке х0. Если она дифференцируема во всех точках промежутка X, то говорят, она дифференцируема на всём этом промежутке.

Конечно, может не существовать. В этом случае говорят, что функция f (x) не имеет производной в точке х0. Если равен или, то говорят, что функция f (x) имеет в точке х0 бесконечную производную (равную или, соответственно).

1.1 Геометрический смысл понятия производной Пусть на плоскости x0y дана непрерывная кривая y=f (x) (см. рис. 1).

Рассмотрим на графике кривой точки Mo (xo;f (xo)) и M1(xo+x; f (xo+x)). Проведем секущую MoM1. Пусть — угол наклона секущей MoM1 относительно оси 0х. Если существует предел, то прямая, проходящая через Mo и образующая с осью 0х угол, называется касательной к графику данной кривой в точке Mo. Таким образом, под касательной к кривой y=f (х) в точке Mo естественно понимать предельное положение секущей MoM1, к которому она стремится, когда x0.

Пусть N (xo+x; f (xo)) — точка, дополняющая отрезок MoM1 до прямоугольного треугольника MoM1N. Так как сторона MoN параллельна оси 0х, то Переходя к пределу в левой и правой частях этого равенства при x>0, получим Поэтому геометрический смысл производной состоит в том, что f'(x0) — это тангенс угла наклона (угловой коэффициент) касательной к графику y=f (х) в точке (xo; f (xo)).

Найдём уравнение касательной к графику в точке Mo (xo; f (xo)) в виде y=kx+b. Так как Mof (x), то должно выполняться равенство f (x0)=kx0+b, откуда b= f (x0) — kx0. Следовательно, касательная задаётся уравнением

y=kx+f (x0) — kx0=f (x0)+k (x — x0).

Поскольку k=f'(x0), то уравнение касательной имеет вид

y=f (x0)+f'(x0)(x — x0).

Как вычисляют производную?

1. Записывают функцию в виде y=f (х).

2. Вычисляют y — приращение функции: у=f (x+x) — f (x).

3. Составляют отношение

4. Представляют, что x стремится к нулю, и переходят к пределу = y'(х0).

5. Вычисляют производную в точке х0: y'(х)= y'(х0).

Операция вычисления производной называется дифференцированием.

Примеры дифференцирования:

y=a (x+x)2 — ax2=2axx+ax2;

=2ax+x; =2ax, (ах2)'=2ax.

;

=;

=3×2, (x3)'=3×2.

;

= -,

1.2 Дифференциал функции Дифференциалом функции f (х) в точке х0 называется линейная функция приращения вида

Дифференциал функции y=f (х) обозначается dy или df (x0). Главное назначение дифференциала состоит в том, чтобы заменить приращение на линейную функцию от, совершив при этом, по возможности, меньшую ошибку.

Наличие конечной производной даёт возможность представить приращение функции в виде где при. Из этого следует, что ошибка в приближённом равенстве (равная) является бесконечно малой более высокого порядка, чем, когда. Это часто используют при приближённых вычислениях.

1.3 Применение производной к исследованию функций Очень часто при решении экономических задач возникает необходимость принять решение на основе исследования и анализа функций спроса, предложения, издержек, прибыли и т. д. При этом удобно пользоваться дифференциальным исчислением.

1. Возрастание/убывание функции Если дифференцируемая функция y=f (х), х возрастает на интервале то f'(x0) для любого х0

Если дифференцируемая функция y=f (х), х убывает на интервале то f'(x0) для любого х0

2. Экстремумы функции Точка х0 из области определения функции f (х) называется точкой минимума этой функции, если найдётся такая — окрестность точки х0, что для всех из этой окрестности выполняется неравенство f (х)> f (х0).

Точка х0 из области определения функции f (х) называется точкой максимума этой функции, если найдётся такая — окрестность точки х0, что для всех из этой окрестности выполняется неравенство f (х)< f (х0).

Точки минимума и максимума называются точками экстремума, а значения функции в этих точках называются экстремумами функции.

Необходимые условия существования экстремума даёт теорема Ферма:

Пусть функция y = f (x) определена на интервале (a, b) и в некоторой точке x0 этого интервала принимает наибольшее или наименьшее значение. Тогда возможны только два случая:

1) производная функции f'(x0) не существует;

2) f'(x0)=0.

Точки, в которых производная функции обращается в нуль или не существует, называются критическими точками (первого рода). Экстремум функции, если он существует, может быть только в критических точках. Однако не во всякой критической точке функция имеет экстремум. Поэтому, чтобы выяснить, в каких точках функция имеет экстремум, необходимо знать достаточные условия существования экстремума.

Первое достаточное условие экстремума. Пусть функция y=f (х) непрерывна в точке х0 и в некоторой её — окрестности имеет производную, кроме, быть может, самой точки х0. Тогда:

1) если производная f'(x) при переходе через точку х0 меняет знак с плюса на минус, то х0 является точкой максимума.

2) если производная f'(x) при переходе через точку х0 меняет знак с минуса на плюс, то х0 является точкой минимума.

3) если производная при переходе через точку х0 не меняет знак, то в точке х0 функция f (x) не имеет экстремума.

Второе достаточное условие экстремума. Если функция y=f (х) определена и дважды дифференцируема в некоторой окрестности точки х0, причём f'(x0)=0, а f''(x0)0, то в точке х0 функция f (х) имеет максимум, если f''(x0)<0, и минимум, если f''(x0)>0.

3. Выпуклость графика функции График функции y=f (х), х (a, b) называется выпуклым вверх (вогнутым вниз) на интервале (a, b), если график расположен ниже (точнее не выше) любой своей касательной. Сама функция f (х) также называется выпуклой вверх (вогнутой вниз).

График функции y=f (х), х (a, b) называется выпуклым вниз (вогнутым вверх) на интервале (a, b), если график расположен выше (точнее не ниже) любой своей касательной. Сама функция f (х) также называется выпуклой вниз (вогнутой вверх).

На интервале выпуклости вверх (вогнутости вниз) производная функции убывает. На интервале выпуклости вниз (вогнутости вверх) производная f'(x) возрастает.

Достаточное условие выпуклости графика функции. Если на интервале (a, b) дважды дифференцируемая функция y=f (х), х (a, b) имеет отрицательную (положительную) производную второго порядка, то график функции является выпуклым вверх (вниз).

Исследовать на выпуклость график функции y=f (х) означает найти те интервалы из области её определения, в которых вторая производная f''(x) сохраняет свой знак. Необходимо заметить, что f''(x) может менять свой знак лишь в точках, где f''(x)=0 или не существует. Такие точки принято называть критическими точками второго рода.

2. Экономический смысл понятия производной

2.1 Предельные величины Если спросить экономиста «Что такое производная?», то он ответит: «маржинализм». Слово «маржинализм» охватывает целый комплекс понятий в современной экономической науке.

В ХIХ в. в области экономической теории произошло событие, которое впоследствии привело к подлинному перевороту в методах экономического поведения людей или фирм, изменило характер научно-экономического мышления. Классическая наука обычно имела дело со средними величинами: средняя цена, средняя производительность труда и т. д. Но постепенно сложился иной подход к анализу экономических процессов и явлений. Во второй половине ХIХ в. была сформулирована теория маржинализма. Классиками этой теории стали экономисты австрийской школы К. Менгер (1840−1921), Ф. фон Визер (1851−1926), Е. фон Бём-Баверк (1851−1914), а также английский экономист У. С. Джевонс (1835−1882).

" Marginal" в переводе с английского языка означает «находящийся на самом краю», «предельный», «граничный». К предельным величинам в экономике относятся: предельные издержки, предельный доход, предельная полезность, предельная производительность, предельная склонность к потреблению и т. д. Понятие предельных величин позволило создать совершенно новый инструмент исследования и описания экономических явлений, посредством которого стало возможно решать научные проблемы, прежде не решённые или решённые неудовлетворительно. Все эти величины самым тесным образом связаны с понятием производной. Предельные величины характеризуют не состояние (как суммарная или средняя величины), а процесс, изменение экономического объекта. Следовательно, производная выступает как скорость изменения некоторого экономического объекта (процесса) с течением времени или относительно другого исследуемого фактора.

Конечно, экономика не всегда позволяет использовать предельные величины в силу неделимости многих экономических расчетов, а также прерывности (дискретности) экономических показателей во времени (например, годовых, квартальных, месячных и т. д.). В то же время во многих случаях можно эффективно использовать предельные величины.

Рассмотрим ситуацию: пусть q — количество произведённой продукции, ТC (q) — соответствующие данному выпуску совокупные издержки (total costs), тогда q — прирост продукции, а ТС — прирост издержек производства.

Предельные издержки МС (marginal costs) выражают дополнительные затраты на производство каждой дополнительной единицы продукции. Другими словами, где Используя равенство получим Итак, предельные издержки есть не что иное, как первая производная от совокупных издержек, если последние представлены как функция от выпускаемого количества продукции.

Аналогичным образом определяются и многие другие экономические величины, имеющие предельный характер.

Предельная выручка MR (marginal revenue) — это дополнительный доход, полученный при переходе от производства n-ной к (n+1)-ой единице продукта. Она представляет собой первую производную от выручки:

.

Для хозяйствующего субъекта, который действует в условиях совершенной конкуренции: TR = P*Q, где TR — выручка (total revenue); P — цена (price). Таким образом, MR= P. Это равенство верно для рынка совершенной конкуренции.

Любой индивид использует свой доход Y после уплаты налогов на потребление C и сбережение S. Ясно, что лица с низким доходом целиком используют его на потребление, а на сбережение средств не остается. С ростом дохода субъект не только больше потребляет, но и больше сберегает. Как установлено экономической наукой, потребление и сбережение зависят от размера дохода:

Y= C (Y) + S (Y).

Использование производной позволяет определить такую категорию, как предельную склонность к потреблению MPC (marginal property to consume), показывающую долю прироста личного потребления в приросте дохода:

.

По мере увеличения доходов MPC уменьшается. Долю прироста сбережений в приросте дохода показывает предельная склонность к сбережению MPS (marginal propensity to save):

С увеличением доходов MPS увеличивается.

Поскольку ограниченность ресурсов принципиально не устранима, то решающее значение приобретает отдача от факторов производства. Здесь также применима производная, как инструмент исследования. Пусть применяемый капитал постоянен, а затраты труда увеличиваются. Можно ввести в экономический анализ следующую категорию — предельный продукт труда MPL (marginal product of labor) — это дополнительный продукт, полученный в результате дополнительных вложений труда при неизменной величине капитала:

.

Если вложения осуществляются достаточно малыми порциями, то

так как dY — результат, dL — затраты, то MPL — предельная производительность труда.

Аналогично, MPK (marginal product of capital) — предельный продукт капитала — дополнительный продукт, полученный в результате дополнительных вложений капитала K при неизменной величине труда:

.

Если вложения осуществляются малыми порциями, то

.

MPk характеризует предельную производительность капитала.

Категория предельной полезности MU (marginal utility) выражает дополнительную полезность от каждой дополнительной потреблённой единицы блага:

При бесконечно малых изменениях предельная полезность есть производная от совокупной полезности, которая представлена как функция от потребляемого количества продукта:

2.2 Эластичность спроса и предложения Для исследования экономических процессов часто используется понятие эластичности функции.

Понятие эластичности было введено Аланом Маршаллом в связи с анализом функции спроса. По существу, это понятие является чисто математическим.

Эластичностью функции Еxy (x0) называется предел отношения относительного приращения функции y к относительному приращению переменной x при x0:

.

Коэффициент эластичности y по х показывает приближенно, на сколько процентов изменится функция y = f (x), при изменении независимой переменной x на 1%.

Очень широко применяется понятие эластичности в экономическом анализе.

В экономике существует несколько видов эластичности.

— Эластичность спроса по цене (прямая) показывающая относительное изменение (выраженное в процентах) величины спроса на какое-либо благо при изменении цены этого блага на один процент и характеризующая чувствительность потребителей к изменению цен на продукцию.

Если =0, то спрос на данный товар называется абсолютно неэластичным. Поведение покупателя: цена снижается — количество покупаемого товара не изменяется; цена растёт — количество покупаемого товара также не изменяется. К подобным товарам относятся инсулин, товары Гиффена (товары первой необходимости) и т. д.

Если 0, то спрос на данный товар называется неэластичным или относительно неэластичным. Поведение покупателя: цена снижается — темп роста спроса ниже темпа снижения цены; цена растёт — темп снижения спроса ниже темпа роста цены.

Если =1, то говорят, что товар имеет единичную эластичность. Поведение покупателя: цена снижается — темп роста спроса равен темпу снижения цены; цена растёт — темп снижения спроса равен темпу роста цены.

Если >1, то спрос на данный товар называется эластичным или относительно эластичным. Поведение покупателя: цена снижается — темп роста спроса выше темпа снижения цены; цена растёт — темп снижения спроса выше темпа роста цены.

Если, то спрос на данный товар называется абсолютно эластичным. Поведение покупателя: цена снижается — объём покупок неограниченно возрастает; цена растёт — объём покупок падает почти до нуля.

— Эластичность спроса по доходу характеризующая относительное изменение (в процентах) величины спроса на какое-либо благо при изменении дохода потребителя этого блага на один процент. Положительная эластичность спроса по доходу характеризует качественные (супериорные) товары, отрицательная — некачественные (инфериорные) товары.

Так, высокий положительный коэффициент эластичности спроса по доходу в отрасли указывает, что её вклад в экономический рост больше, чем доля в структуре экономики, и она имеет шансы на расширение и процветание в будущем. Наоборот, если коэффициент эластичности спроса на продукцию отрасли имеет небольшое положительное или отрицательное значение, то её может ожидать застой и перспектива сокращения производства.

— Ценовая эластичность ресурсов характеризующая относительное изменение (в процентах) величины спроса на какой-либо ресурс (например, труд) при изменении цены этого ресурса (соответственно, заработной платы) на один процент.

3. Приложение производной в экономической теории Проанализировав экономический смысл производной, нетрудно заметить, что многие законы теории производства и потребления, спроса и предложения оказываются прямыми следствиями математических теорем. Для примера рассмотрим экономическую интерпретацию теоремы Ферма.

Пусть q — выпуск продукции (в натуральных единицах); TR (q) — выручка от продаж; TC (q) — издержки производства, связанные с выпуском q единиц продукции. Тогда прибыль Предположим, что выполняются следующие условия:

1) Функции TR (q), TC (q) определены на полуинтервале и дифференцируемы при q>0.

2) Максимум прибыли достигается в некоторой точке q*0.

В случае, когда максимум прибыли положителен, условие q*0 естественным образом выполняется, поскольку (нет выпуска — нет выручки, нет выручки — нет прибыли).

Итак, условия 1), 2) выполнены. Тогда функция дифференцируема и имеет на интервале максимум в точке q*0. По теореме Ферма,. Так как, то в точке q=q* получаем равенство

TR'(q*)=TC'(q*) или MR=MC.

В экономической теории данное равенство иллюстрирует один из базовых законов теории производства, согласно которому фирма, максимизирующая свою прибыль, устанавливает объём производства таким образом, чтобы предельная выручка была равна предельным издержкам.

В случае, когда объём производства q не влияет на цену продукции p, имеем TR (q)=p*q, TR'(q)=p. Равенство TR'(q*)=C'(q*) принимает вид p=TC'(q*).

Заключение

В результате проведенного исследования можно сделать следующие выводы:

Производная является важнейшим инструментом экономического анализа, позволяющим углубить геометрический и математический смысл экономических понятий, а также выразить ряд экономических законов с помощью математических формул.

При помощи производной можно значительно расширить круг рассматриваемых при решении задач функций.

Экономический смысл производной состоит в следующем: производная выступает как скорость изменения некоторого экономического процесса с течением времени или относительно другого исследуемого фактора.

Наиболее актуально использование производной в предельном анализе, то есть при исследовании предельных величин (предельные издержки, предельная выручка, предельная производительность труда или других факторов производства и т. д.).

Производная находит широкое приложение в экономической теории. Многие, в том числе базовые, законы теории производства и потребления, спроса и предложения оказываются прямыми следствиями математических теорем (например, представляет интерес экономическая интерпретация теоремы Ферма, выпуклости функции и т. д.).

Знание производной позволяет решать многочисленные задачи по экономической теории.