Критическая область, область принятия гипотезы. 
Критические точки. 
Основной принцип проверки нулевой гипотезы. 
Право-, лево-и двусторонняя критические области

Критической областью называется множество возможных значений статистического критерия, при которых основная гипотеза отвергается.

Областью принятия гипотезы или областью допустимых значений называется множество возможных значений статистического критерия, при которых основная гипотеза принимается.

Если наблюдаемое значение статистического критерия, рассчитанное по данным выборочной совокупности, принадлежит критической области, то основная гипотеза отвергается. Если наблюдаемое значение статистического критерия принадлежит области принятия гипотезы, то основная гипотеза принимается.

Критическими точками или квантилями называются точки, разграничивающие критическую область и область принятия гипотезы.

Критические области могут быть как односторонними, так и двусторонними.

Процедура проверки нулевой гипотезы в общем случае включает следующие этапы:

• 1. задается допустимая вероятность ошибки первого рода (Ркр=0,05).
• 2. выбирается статистика критерия (Т).
• 3. ищется область допустимых значений.
• 4. по исходным данным вычисляется значение статистики Т.
• 5. если Т (статистика критерия) принадлежит области принятия нулевой гипотезы, то нулевая гипотеза принимается (корректнее говоря, делается заключение, что исходные данные не противоречат нулевой гипотезе), а в противном случае нулевая гипотеза отвергается и принимается альтернативная гипотеза. Это основной принцип проверки всех статистических гипотез.

Обычно первые три этапа выполняют профессиональные математики, а последние два — пользователи для своих частных данных.

В современных статистических пакетах на ЭВМ используются не стандартные уровни значимости, а уровни, подсчитываемые непосредственно в процессе работы с соответствующим статистическим методом. Эти уровни, обозначенные буквой P, могут иметь различное числовое выражение в интервале от 0 до 1, например, 0,7 0,23 0,012. Понятно, что в первых двух случаях полученные уровни значимости слишком велики и говорить о том, что результат значим нельзя. В последнем случае результаты значимы на уровне 12 тысячных. Это достоверный результат.

При проверке статистических гипотез с помощью статистических пакетов, программа выводит на экран вычисленное значение уровня значимости Р и подсказку о возможности принятия или неприятия нулевой гипотезы.

Если вычисленное значение Р превосходит выбранный уровень Ркр, то принимается нулевая гипотеза, а в противном случае — альтернативная гипотеза. Чем меньше вычисленное значение Р, тем более исходные данные противоречат нулевой гипотезе.

Число степеней свободы у какого-либо параметра определяют как число опытов, по которым рассчитан данный параметр, минус количество одинаковых значений, найденных по этим опытам независимо друг от друга.

Величина Ф называется мощностью критерия и представляет собой вероятность отклонения неверной нулевой гипотезы, то есть вероятность правильного решения. Мощность критерия — вероятность попадания критерия в критическую область при условии, что справедлива альтернативная гипотеза. Чем больше Ф, тем вероятность ошибки 2-го рода меньше.

Правосторонняя критическая область. Левосторонняя и двусторонняя критические области.

При проверке статистических гипотез используют правосторонние, левосторонние и двусторонние критические области.

Правосторонняя критическая область характеризуется неравенством вида:

L>lкр, где L — это наблюдаемое значение статистического критерия, вычисленное по данным выборки; lкр, — это положительное значение статистического критерия, определяемое по таблице распределения данного критерия.

Следовательно, для определения правосторонней критической области необходимо рассчитать положительное значение статистического критерия lкр.

Предположим, что вероятность совершения ошибки первого рода или уровень значимости равен значению а. При условии справедливости основной гипотезы Н0, вероятность того, что значение статистического критерия L будет больше значения lкр, равна заданному уровню значимости, т. е. P (L>lкр)=a.

Для каждого статистического критерия рассчитаны специальные таблицы, с помощью которых определяют критическую точку, удовлетворяющую заданному уровню значимости.

Левосторонняя критическая область характеризуется неравенством вида:

L.

Следовательно, для определения левосторонней критической области необходимо найти рассчитать отрицательное значение статистического критерия lкр.

Предположим, что вероятность совершения ошибки первого рода или уровень значимости равен значению а. При условии справедливости основной гипотезы Н0, вероятность того, что значение статистического критерия L будет меньше значения lкр, равна заданному уровню значимости, т. е. P (L.

Двусторонняя критическая область характеризуется двумя неравенствами вида:

L>lкр1 и L.

где L — это наблюдаемое значение статистического критерия, вычисленное по данным выборки; lкр1 — это положительное значение статистического критерия, определяемое по таблице распределения данного критерия; lкр2 — это отрицательное значение статистического критерия, определяемое по таблице распределения данного критерия;

lкр1> lкр2.

Предположим, что вероятность совершения ошибки первого рода или уровень значимости равен значению а. При условии справедливости основной гипотезы Н0, сумма вероятностей того, что значение статистического критерия L будет больше значения lкр1 или меньше значения lкр2, равна заданному уровню значимости, т. е. P (L>lкр1)+(L.

Выбор критической области осуществляется исходя из вида конкурирующей гипотезы Н1. При этом применяются следующие правила:

• 1) правосторонняя критическая область выбирается в том случае, если Н1:>;
• 2) левосторонняя критическая область выбирается в том случае, если Н1:‹;
• 3) двусторонняя критическая область выбирается в том случае, если Н1:?.

Предположим, что заданы следующие параметры:

• 1) статистический критерий L;
• 2) критическая область W, где H0 отклоняется;
• 3) область принятия гипотезы, где H0 не отклоняется;

• 4) вероятность совершить ошибку первого рода a;
• 5) вероятность совершить ошибку второго рода.

Тогда справедливо утверждение о том, что выражение:

.

является вероятностью того, что статистический критерий L попадёт в критическую область, если верна гипотеза H.

При построении критической области учитываются два требования:

1) вероятность того, что статистический критерий L попадёт в критическую область, если верна Н0, равна а:

Данное равенство задаёт вероятность совершения ошибки первого рода;

2) вероятность того, что статистический критерий L попадёт в критическую область (область отклонения гипотезы Н0 в пользу гипотезы Н1), если верна гипотеза Н1:

данное равенство задаёт вероятность принятия правильной гипотезы.