Обобщение теоремы Чебышева

Мы рассмотрели алгебраические и тригонометрические многочлены на некотором интервале и сформулировали для них теорему Чебышева об аппроксимации этих функций. Теперь рассмотрим произвольную, непрерывную на [a, b] вещественную функцию.

Рассмотрим систему вещественных непрерывных функций f1(x), f2(x)…fn (x) в конечном или бесконечном интервале [a, b], которая удовлетворяет условиям Хаара: единственность полинома наименьшего уклонения для каждой функции f (P) будет тогда и только тогда, когда каждый полином F (P, x)0 имеет в ограниченном замкнутом точечном множестве не более n-1 различных нулей.

Такую систему называют системой Чебышева относительно интервала [a, b].

Лемма: Пусть x1, x2…xn-1 произвольно взятые различные точки из интервала [a, b]. В таком случае существует (и с точностью до постоянного множителя только 1) нетривиальный полином, который имеет своими нулями следующие точки:

Других нулей у этого полинома нет, и, если т. xk лежит внутри [a, b], то при переходе через неё полином F (x,) меняет знак.

Обобщение: Если Sесть система Чебышева относительно интервала [a, b], а f (x) — произвольная непрерывная в [a, b] вещественная функция, то полином F (x,), который в метрике С наименее уклоняется в [a, b] от f (x) вполне определяется тем, что разность принимает с чередующимися знаками своё максимальное значение по крайней мере в n+1 последовательных точках интервала [a, b].

Теперь мы можем рассматривать функции в произвольных нормированных пространствах.