Использование математической индукции в процессе обучения алгебре

Одним из самих универсальных методов доказательств математических утверждений, в которых фигурируют слова «для произвольного натурального n» является метод математической индукции.

Метод математической индукции можно сравнить с прогрессом. Мы начинаем с низшего, в результате логического мышления приходим к высшему.

Область применения метода математической индукции очень выросла, но в школьной программе ему отводится очень мало времени.

Возможность применения метода математической индукции в курсе алгебры предоставляется в следующих областях:

1. задачи на суммирование Пример 1.

Вычислить сумму первых n нечетных натуральных чисел Решение.

S (1) = 1, S (2) = 1 + 3 = 4, S (3) = 1 + 3 + 5 = 9, S (4) = 1 + 3 + 5 + 7 = 16, S (5) = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25.

Замечаем, что сумма первых n нечетных чисел натурального ряда равна n2, т. е.

S (n) = n²

Докажем это.

• 1. Для n = 1 формула верна.
• 2. Предположим, что она верна для какого-либо натурального n = k, т. е.

S (k) =k²

Докажем, что тогда она будет верна и для.

n = k +1, т. е. S (k+1) = (k + 1)²:

S (k + 1) = 1 + 3 + 5 +…+(2k — 1) + (2k + 1) = S (k) + (2k + 1) = k² + 2k + 1 = (k + 1)²

Следовательно, формула верна для всех натуральных значений n, т. е.

S (n) = n²

2. доказательство неравенств Пример 2.

Доказать, что при любом натуральном n>1.

>

Решение.

Обозначим левую часть неравенства через .

• 1., следовательно, при n=2 неравенство верно.
• 2. Предположим, что оно верно при некотором k:

Докажем, что тогда и >. Имеем.

Сравнивая и, имеем.

т. е.

При любом натуральном k правая часть последнего равенства положительна. Поэтому < .

Но >, значит, и >

3. задачи на делимость:

Пример 3.

Доказать, что при любом натуральном n значение выражения n 3 + 11n делится на 6.

Доказательство.

• 1. Начало индукции. Проверим утверждение при n = 1
• 13 + 11•1 = 12

Так как 12: 6 = 2, то утверждение справедливо при n = 1.

• 2. Индуктивное допущение. Предположим, что утверждение справедливо при n = k, т. е. выражение k 3 + 11k делится на 6.
• 3. Индуктивный шаг. Докажем, что утверждение выполняется при

n = k +1.

(k+1) 3 + 11(k+1) = k 3+3k 2+3k+1+11k+11 = (k 3+11k)+3k (k+1)+12.

Первое слагаемое делится на 6. При любом натуральном k одно из чисел к ним k + 1 является чётным, поэтому второе слагаемое делится на 6. Третье слагаемое делится на 6.

По методу математической индукции получаем, что утверждение справедливо при любом.

4. доказательство некоторых тождеств:

Пример 4.

Доказать, что при любом натуральном n верно равенство:

Доказательство.

1. Начало индукции. Проверяем утверждение при n = 1.

Неравенство выполняется.

2. Индуктивное допущение. Предположим, что равенство верно при n = k:

3. Индуктивный шаг. Докажем утверждение при n = k +1:

Таким образом, что доказываемое утверждение справедливо при n = k+1. По методу математической индукции получаем, что утверждение справедливо при любом.