Принцип Даламбера

Принцип Даламбера Задания и методические указания для выполнения расчетно-графических и контрольных работ Составители: В. Ф. Мущанов, д.т.н., профессор, Ф. Ф. Стифеев, к.т.н., доцент, С. А. Фоменко, ассистент.

1.

ВВЕДЕНИЕ

Если к каждой материальной точке движущейся механической системы приложить силу инерции этой точки, то все эти силы инерции будут уравновешены заданными (внешними) силами и реакциями связей, приложенными к данной системе. В этом и состоит сущность принципа Даламбера для механической системы.

Таким образом, если заданную силу, приложенную к i — той точке механической системы, состоящей из n материальных точек, обозначим, реакцию связей, приложенной к той же точке, обозначим и силу инерции этой точки, то будем иметь:

(i = 1, 2, …, n).

При этом т. е. сила инерции материальной точки равна по модулю производной массы этой точки на ее ускорение и направлена противоположно этому ускорению.

Отсюда следует, что система заданных (внешних) сил, реакций связей и сил инерции удовлетворяет уравнениям статики, т. е. сумма проекций всех этих сил на любую ось и сумма их моментов относительно любой точки или любой оси равны нулю.

Принцип Даламбера дает общий прием составления уравнений, необходимых для решения задач динамики системы, причем эти уравнения имеют ту же форму, как и уравнения статики. Этот прием оказывается особенно полезным при решении тех задач, в которых требуется найти динамические реакции связей, т. е. реакции, возникающие при движении системы.

Применяя принцип Даламбера, следует иметь в виду, что он как и основной закон динамики, относится к движению, рассматриваемому по отношению к инерциальной системе отсчета. При этом на точки механической системы, движение которой изучается, действуют только внешние (заданные) силы и реакции связей, возникающие в результате взаимодействия точек системы с телами, не входящими в систему. Под действием этих сил точки системы i движутся с соответствующими ускорениями. Силы же инерции, о которых говорится в принципе Даламбера, на движущиеся точки не действует.

Введение

сил инерции — это прием, позволяющий составлять уравнения динамики с помощью более простых методов статики.

На основании принципа Даламбера должно быть:

Введем обозначения:

и.

Величины и представляют собой главный вектор и главный момент относительно центра О системы сил инерции.

Главный вектор сил инерции тела, совершающего любое движение, равен произведению массы тела на ускорение его центра масс и направлен противоположно этому ускорению:

где: m — масса тела;

ас — ускорение центра масс.

Если ускорение разложить на нормальное и касательное, то вектор разложится на составляющие:

и .

Главный момент сил инерции зависит от вида движения твердого тела.

1. Поступательное движение.

При поступательном движении главный момент сил инерции относительно центра масс и все силы инерции приводятся только к главному вектору, проходящему через центр масс тела.

2. Плоскопараллельное движение.

При плоскопараллельном (или плоском) движении твердого тела система сил инерции приводится к главному вектору, равному и приложенному к центру масс С тела, и к лежащей в плоскости симметрии тела паре, момент которой:

где: Ic — момент инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс тела;

? — угловое ускорение тела.

Знак «минус» в этой формуле показывает, что направление противоположно направлению углового ускорения тела.

3. Вращение вокруг оси, не проходящей через центр масс тела.

В этом случае, так же, как и при плоском движении тела все силы инерции приводятся к главному вектору и к главному моменту сил инерции.

4. Вращение вокруг оси, проходящей через центр масс тела.

При этом движении ускорение центра масс, а, следовательно, и главный вектор .

В рассматриваемом случае система сил инерции приводится к одной паре, лежащей в плоскости, перпендикулярной к оси вращения тела, и имеющей момент где: Iz — момент инерции тела относительно оси вращения z.

2. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ Задачи, относящиеся к данному разделу, можно разделить на два основных типа:

I. Задачи, в которых силы, приложенные к каждому телу системы (внешние, реакции связей и силы инерции) лежат в одной плоскости.

II. Задачи, в которых внешние силы, силы реакции связей и силы инерции образуют произвольную пространственную систему сил.

2.1 Задачи I типа Поскольку в задачах этого типа рассматривается механическая система, находящаяся в равновесии под действием плоской произвольной системы сил, то составляем три уравнения равновесия: два уравнения проекций сил на координатные оси и одно уравнение моментов всех сил относительно выбранной точки.

Обычно искомыми величинами в этих задачах являются ускорения тел и реакции связей.

Последовательность решения задач:

а) выполняем рисунок (расчетную схему) строго в соответствии с условием задачи;

б) выбираем систему координат;

в) на расчетной схеме показываем внешние (заданные) нагрузки, реакции связей и силы инерции, причем, определяя главный вектор и главный момент сил инерции руководствуемся видом движения твердого тела и, при плоском или вращательном движениях, положением центра масс тела;

г) составляем уравнение равновесия; при этом учитываем, что неизвестных величин должно быть не более числа уравнений равновесия;

д) при составлении уравнений проекций сил на координатные оси пользуемся правилами нахождения проекции вектора на ось;

е) при составлении уравнения моментов целесообразно за рассматриваемую точку, относительно которой берутся моменты, выбрать точку, через которую проходит линия действия двух искомых реакций;

ж) если в задаче рассматривается составная конструкция, состоящая из двух или более тел, то приходится, расчленив эту систему, составлять уравнения равновесия для каждого тела в отдельности;

з) рассматривая вращательное движение тела вокруг неподвижной оси, следует учитывать, что ускорение каждой точки этого тела равно геометрической сумме ускорений нормального и касательного. Если тело вращается равномерно, то касательные ускорения, а, следовательно, и касательные силы инерции всех его материальных точек равны нулю.

2.2 Задачи II типа К этой группе относятся задачи, в которых требуется определить реакции двух закрепленных точек твердого тела (двух подшипников или подшипника и подпятника), возникающие при вращении твердого тела вокруг неподвижной оси, проходящей через эти точки.

В отличие от задач I типа, здесь, после приложения всех внешних нагрузок, реакций связей и всех сил инерции, можем рассматривать равновесие тела под действием произвольной пространственной системы сил. При этом, в общем случае, можем составить шесть известных из «пространственной» статики уравнений равновесия: три уравнения проекций сил и три уравнения моментов сил относительно координатных осей. С учетом этого обстоятельства в остальном порядок решения задач II типа аналогичен последовательности решения задач I типа.

При решении задач этой группы по принципу Даламбера следует иметь в виду, что в уравнение моментов всех сил относительно оси вращения искомые реакции подшипников не войдут, так как их моменты относительно этой оси равны нулю. Поэтому эти реакции определяются из остальных пяти уравнений равновесия. Если в задаче, как это нередко бывает, требуется найти только реакции, перпендикулярные к оси вращения, то достаточно составить четыре уравнения равновесия (два уравнения проекций на оси, перпендикулярные оси вращения и два уравнения моментов относительно этих же осей).

ЗАДАНИЕ Д6.

Применение принципа Даламбера для определения реакций связей механической системы Механическая система (рис. Д6.1), расположенная в вертикальной плоскости, состоит из двух блоков 1 и 2 жестко соединенных между собой и насаженных на общую ось, которая через шарнир (подшипник) О опирается на стержни АО и ВО. На каждый из блоков намотана невесомая нерастяжимая нить, на концах которой прикреплены грузы 3 и 4. Блоки считать сплошными однородными цилиндрами, массы m1 и m2 и радиусы R1 и R2 которых приведены в таблице Д6−1.

Однородные стержни АО и ВО, погонная масса которых q, наклонены к вертикали или горизонтали под углами? и? соответственно. Длины стержней АО (l1) и ВО (l2) указаны в таблице Д6−1. Крепление стержней в опорах, А и В шарнирное.

К механической системе приложены внешние нагрузки: постоянная сила T или постоянный момент М.

Определить усилия в стержнях.

Указания: 1. Номер схемы на рис. Д6 выбирается в соответствии с последней цифрой шифра.

2. Данные из табл. Д6−1 выбираются в соответствии с предпоследней цифрой шифра.

3. Внешнюю нагрузку или М, не указанную в Вашем варианте, на расчетной схеме не показывать и в расчетах не учитывать.

механический система даламбер сила.

Рис. Д6.1.

Таблица Д6−1.

Пример выполнения задания Д6.

Краткое условие задачи (схема представлена на рис. Д6.2):

Дано: m1 = 55 кг; m2 = 105 кг; m3 = 90 кг; m4 = 80 кг; R1 = 0,35 м; R2 = 0,70 м; l1 = 0,95 м; l2 = 1,35 м;? = 45°;? = 90°; q = 200 кг/м; T = 2500 Н.

Найти: усилия в стержнях S1 и S2 — ?

Рис. Д6.2.

Решение.

1. Выполняем расчетную схему строго в соответствии с условием задачи (учитываем углы? и? и выбираем линейный масштаб). Расчетная схема, соответствующая условию задачи, представлена на рис. Д6.3.

Рис. Д6.3.

2. Для решения задачи воспользуемся принципом Даламбера для механической системы (или системы материальных точек): в любой момент времени векторная сумма главных векторов внешних сил, реакций связей и сил инерции и главных моментов этих сил относительно произвольного центра равняются нулю. Следовательно, необходимо выделить внешние силы, силы реакций связей и силы инерции.

3. Внешние силы.

К внешним силам относятся: сила (направлена под углом 45° к горизонтали), силы тяжести, ,, и силы тяжести стержней АО и ВО — и соответственно. Силы и по модулю равны:

Н;

Н.

При этом, массы стержней равны:

кг;

кг.

Все вычисления выполняем с точностью до трех значащих цифр.

На рис. Д6.4 покажем эти силы. При этом учитываем, что, поскольку стержни.

Рис. Д6.4.

однородные, силы тяжести и приложены в геометрических центрах этих стержней. Таким образом, все внешние нагрузки, ,, ,, и на расчетной схеме (рис. Д6.4) показаны.

4. Силы реакций связей.

К силам реакций связей, которые в дальнейшем будем учитывать, относятся усилие в стержне АО и усилие в стержне ВО. Реакции в шарнире О не рассматриваются, т.к. для данной механической системы эти реакции являются силами внутренними.

На рис. Д6.4 покажем и. Эти силы показываем направленными вдоль стержней в произвольную сторону.

5. Силы инерции.

При вычислении главного вектора и главного момента сил инерции твердого тела необходимо учитывать вид движения этого тела.

Блоки 1 и 2 жестко соединены друг с другом, сидят на одной оси, поэтому, вращаясь, имеют равные угловую скорость и угловое ускорение. При вращательном движении твердого тела силы инерции приводятся к главному моменту сил инерции, равному.

(1).

и направленному в сторону, противоположную угловому ускорению.

В уравнении (1): — момент инерции блоков 1 и 2 относительно оси вращения;

— угловое ускорение блоков.

Момент инерции блоков где и — моменты инерции блока 1 и блока 2 относительно оси вращения соответственно.

Следовательно,.

кг· м2.

На данном этапе решение задачи определить угловое ускорение блоков по величине не представляется возможным. Поэтому, допустим, что угловое ускорение? блоков направлено по часовой стрелке (покажем на рис. Д6.4). Тогда, момент сил инерции направлен в противоположную сторону.

Грузы 3 и 4 совершают поступательное движение. В этом случае все силы инерции приводятся к главному вектору сил инерции, который, соответственно, равен:

и (2).

Знак «минус» в уравнениях (2) означает, что главный вектор сил инерции направлен в сторону, противоположную ускорению твердого тела.

По модулю силы инерции равны:

и.

Выразим ускорения и через угловое ускорение ?:

м/с2;

м/с2.

Направления и соответствуют выбранному ранее направлению ?.

С учетом изложенного, покажем на рис. Д6.4 силы инерции и .

6. Принцип Даламбера позволяет решать задачи «динамики» значительно более простыми методами «статики». В соответствии с условием задачи механическая система расположена в вертикальной плоскости. Следовательно, все силы располагаются именно в этой плоскости. Направления сил произвольны. Таким образом, применяя Принцип Даламбера, считаем, что имеет место равновесие механической системы под действием плоской произвольной системы сил. Составим три уравнения равновесия в выбранной и показанной на рис. Д6.4 системе координат:

1.

2.

3.

При составлении третьего уравнения равновесия за положительное направление момента силы принимаем направление момента внешней силы, т. е. по часовой стрелке.

Из уравнения (3), с учетом значений сил и момента сил инерции, получим:

Находим угловое ускорение:

с-2.

Силы инерции равны:

Н.

Н.

Из уравнения равновесия (2):

Н.

Из уравнения равновесия (1):

Н.

Ответ: S1 = 9610 Н; S2 = -8560 Н.

1. Яблонский А. А. Курс теоретической механики. Часть II. Динамика. М., 1984. — 430 с.

2. Добронравов В. В., Никитин Н. Н. Курс теоретической механики. М., 1983. — 575 с.

3. Бать М. И., Джанелидзе Г. Ю., Кельзон А. С. теоретическая механика в примерах и задачах. Часть II. Динамика. М., 1964. — 663 с.

4. Лук’янець О.Г., Євдокімов А.І., Калашнікова Т.Г., Татаренко К. О., Нестеренко Т. П. Методичний посібник (довідник) з теоретичної механіки для виконання завдань розрахунково-графічних робіт № 5 і № 6 (розділ «Динаміка»). Макіївка: ДонНАБА, 2008. — 32 с.

5. Мущанов В. П., Євдокімов А.І., Лук’янець О.Г., Калашнікова Т.Г. Термінологічний довідник (посібник) з теоретичної механіки для використання в навчальному процесі при вивченні курсу «Теоретична механіка». Макіївка, ДонНАБА, 2008. — 30с.

6. Мущанов В. П., Загребельний М.І., Лук’янець О.Г. Методичні вказівки для самостійної роботи студентів з курсу «Теоретична механіка» (Розділ «Динаміка»). Розрахунково-графічна робота РР4. Макіївка: ДонНАБА, 2008. — 35с.