Дифференциальные уравнения первого порядка

Дифференциальными уравнениями называются такие уравнения, в которых неизвестными являются функции одного или нескольких переменных, причем в уравнения входят явно производные искомых функций до некоторого порядка. Если неизвестными являются функции двух или более переменных, то уравнения называются уравнениями в частных производных. В противном случае, то есть если искомая функция зависит только от одного вещественного независимого переменного, уравнения называются обыкновенными дифференциальными уравнениями. В этом курсе будем иметь дело только с последними.

Так как во многих физических приложениях независимым переменным, от которого зависят неизвестные искомые функции, является время, то в дальнейшем, как правило, независимое переменное будет обозначаться через t. Неизвестные функции будут обозначаться через x, y, z и т. д.

Рассмотрим в первую очередь одно дифференциальное уравнение первого порядка. Общий вид такого уравнения следующий:

Здесь t — независимое переменное, x — неизвестная функция, зависящая от t. — ee производная. F — заданная функция трех вещественных переменных. Функция F, вообще говоря, может быть задана не для всех значений своих аргументов, поэтому следует говорить об области? задания функции F, имея в виду область координатного пространства трех (вещественных) переменных t, x, .

Уравнение (1.1) называется уравнением первого порядка потому, что в него входит лишь производная первого порядка от неизвестной функции x.

Решением уравнения (1.1) называется такая функция x =??(t) независимого переменного t, определения на некотором интервале r₁ < t < r₂ (случаи r₁ = ?? и r₂ = + ? не исключаются), которая дифференцируема в каждой точке этого интервала и при подстановке ее вместо x в соотношение (1.1) мы получаем тождество (по t) на всем интервале r₁ < t < r₂.

Интервал r₁ < t < r₂ называется интервалом определения решения ?(t).

Очевидно, что подстановка функции x =??(t) в соотношение (1.1) возможна только в том случае, когда точка с координатами (t,??(t),) принадлежит области? определения функции F при произвольном t из интервала r₁ < t < r₂.

Соотношение (1.1) связывает три переменные: t, x,. В некоторых случаях из (1.1) переменная может быть выражена в виде однозначной функции переменных t, x. В этом случае дифференциальное уравнение (1.1) равносильно дифференциальному уравнению вида.

Дифференциальное уравнение (1.2) называется разрешенным относительно производной или уравнением нормального вида; Именно уравнения нормального вида мы и будем теперь рассматривать. Мы не будем уже считать, что соотношение (1.2) получено в результате разрешения относительно уравнения вида (1.1), а будем исходить из функции f(t, x) как из заданной функции двух независимых переменных t, x.

Для того, чтобы пользоваться геометрическими представлениями и терминологией, введем в рассмотрение координатную плоскость R² переменных t и x. Функцияf, определяющая дифференциальное уравнение (1.2), может быть задана не для всех значений своих аргументов t и x, т. е. не на всей плоскости R²(t, x), а лишь в точках некоторого множества D этой плоскости. Относительно множества D в дальнейшем всегда будем предполагать, что оно является открытым, а функция fявляется непрерывной относительно пары переменных t, x на всем множестве D.

График ?_?={(t,??(t)), r₁ < t < r₂} решения x =??(t) уравнения (1.2) называется интегральной кривой этого дифференциального уравнения.

Интегральная кривая представляет собой кривую в плоскости R² с уравнением x =??(t), имеющую в каждой точке касательную и полностью проходящую в открытом множестве D.

Итак, интегральная кривая — геометрическая интерпретация решения дифференциального уравнения. Возможна геометрическая интерпретация и самого уравнения (1.2). Именно, через каждую точку (t,x) множества D проведем прямую l_{t, x} с угловым коэффициентом f(t,x). Мы получаем поле направлений,соответствующее уравнению (1.2), что и является геометрической интерпретацией этого уравнения.

Связь между геометрической интерпретацией уравнения и геометрической интерпретацией его решения заключается в том, что любая интегральная кривая x =??(t) в каждой своей точке (t,?(t)) касается прямой l_t,?(t).