Исследование аттракторов для некоторых уравнений неньютоновой гидродинамики

Понятие аттрактора служит для описания динамики систем при больших значениях времени. Часто такое поведение (так называемые предельные режимы) характеризуют и сам процесс в целом, что обуславливает актуальность изучения аттракторов в математических проблемах современного естествознания и, в частности, гидродинамики. Грубо говоря, аттрактор — это множество, в определённом смысле притягивающее к себе траектории системы с течением времени. В различных задачах используются разные варианты понятия аттрактора, но главным его свойством является притягивание траекторий.

Понятие «аттрактор» возникло в теории динамических систем, которая изначально была тесно связана с теорией обыкновенных дифференциальных уравнений. Во второй половине XX в. для уравнений с частными производными в работах О. А. Ладыженской, А. В. Бабина, М. И. Вишика, Р. Темама и других математиков была построена теория бесконечномерных динамических систем. Одним из первых её приложений было доказательство существование глобального аттрактора двумерной системы Навье— Стокса в работах О. А. Ладыженской (см. [18]).

Однако применение теории аттракторов динамических систем в задачах математической физики и, в частности, в гидродинамике ограничено тем, что для построения динамической системы требуется однозначная разрешимость задачи с заданным начальным условием. Однако уже для трёхмерной системы Навье—Стокса не установлено ни существование глобального сильного решения, ни единственность слабого, так что построить динамическую систему не удаётся.

В обход указанных трудностей возникла теория траекторных аттракторов, позволяющая строить глобальные аттракторы для ряда эволюционных уравнений. Эта теория была предложена российскими учёными М. И. Ви-шиком и В. В. Чепыжовым (см., например, статью [29] и монографию [28]) и независимо американским учёным Дж. Шеллом (см. [32]), а впоследствии была усовершенствована с целью применения в задачах неньютоновой гидродинамики в работах В. Г. Звягина и Д. А. Воротникова (см. монографию [36], а также статьи [4,34,35]. Именно этот последний подход к аттракторам используется в настоящей работе.

Принцип, лежащий в основе этого нового подхода, заключается в рассмотрении вместо полугруппы эволюционных операторов некоторого множества функций времени, принимающих значения в фазовом пространстве. Такое множество функций называют пространством траекторий, а отдельные принадлежащие ему функции — траекториями. Согласно своему смыслу, каждая траектория представляет собой некий сценарий развития системы. В самом общем случае на пространство траекторий накладываются только условия непустоты и принадлежности определённому классу функций, поэтому использования пространства траекторий является очень гибким способом описания динамики: например, из некоторой точки фазового пространства могут выходить несколько траекторий.

Для пространств траекторий рассматриваются глобальные и траектор-ные аттракторы. Глобальный аттрактор является обобщением аналога аттрактора динамической системыон представляет собой некоторое множество в фазовом пространстве, притягивающее ограниченные семейства траекторий. Траекторный аттрактор — это определённое множество функций времени со значениями в фазовом пространстве, на которые с течением времени «становятся похожи» траектории. Между понятиями траекторного и глобального аттрактора существует тесная связь: например, если существует минимальный (по включению) траекторный аттрактор, то его сечение в произвольный момент времени (то есть множество значений в некоторый момент времени всех функций, составляющих этот аттрактор), является глобальным аттрактором.

В приложениях к дифференциальным уравнениям в качестве пространства траекторий в принципе можно выбрать любое семейство решений, определённых на неотрицательной полуоси, причём понятие решения тоже можно трактовать любым удобным способом. Конечно, чтобы получить содержательную теорию, нужно показать, что траекторий существует «достаточно много». Типичный случай — рассмотрение в качестве пространства траекторий множества слабых решений, удовлетворяющих некоторой оценке диссипативного типа.

Одна из первых задач, в которой нашла приложение теория траектор-ных аттракторов, — трёхмерная система Навье—Стокса (см. [3], [28], [29]). Подход Вишика и Чепыжова накладывал на пространство траекторий ограничительное требование транляционной инвариантности, поэтому его приложение к многим задачам неньютоновой гидродинамики было затруднено, поскольку требовало получения инвариантных относительно сдвигов по времени оценок решений. После того, как в работах В. Г. Звягина и Д. А. Воротникова условие трансляционной инвариантности было снято, удалось построить аттракторы для различных моделей движения вязкоупругих сред, в частности, для системы Джеффриса с полной производной (см. [34]). Изложение теории аттракторов пространств траекторий, от которых не требуется трансляционной инвариантности, можно найти в [34,36].

Следующим шагом в развитии этой теории естественно должно быть приближённое вычисление аттракторов или их каких-то характеристик для конкретных течений, получение некоторой визуализации. В широком смысле под визуализацией объектов мы понимаем некоторый способ наглядного графического их представления.

Настоящая диссертационная работа посвящена исследованию вопросов существования траекторных и глобальных аттракторов ряда задач гидродинамики: модели движения слабоконцентрированных водных растворов полимеров, системы уравнений движения жидких сред с памятью, а также визуализации аттракторов системы Джеффриса с полной производной.

Приведём обзор содержания диссертации по главам.

В первой главе для модели движения слабоконцентрированных водных растворов полимеров в автономном случае доказывается теорема существования слабых решений, вводится пространство траекторий и доказывается существование минимального траекторного и глобального аттрактора. Также рассматриваются аттракторы аппроксимационного уравнения и показывается, что они сходятся к соответствующим аттракторам (минимальному траекторному и глобальному) исходной системы.

Движение несжимаемой жидкости единичной плотности описывается системой в форме Коши где — вектор скорости частицы жидкости, находящейся в точке х в момент времени р (х, — давление жидкости в точке х в момент времени /(х, ?) — вектор плотности внешних сил (в рассматриваемом автономном случае / = /(х)) — о = (<�з^(х)) —девиатор тензора напряжений (симметрическая матрица порядка п) символ Бит означает вектор, компоненты которого равны дивергенции соответствующих строк матрицы.

В системе (1), (2) неизвестными являются V, р, а, и общее число неизвестных превосходит число уравнений. Поэтому эта система обычно дополняется некоторыми соотношениями между девиатором тензора напряжений, а и тензором скорости пргьппи/гяиыы? — (р. л.

Эти соотношения называются реологическимиразличные реологические соотношения описывают различные классы жидкостей. Самое известное реологическое соотношение имеет вид п.

1) сЦу у = О,.

2) о = 2у£,.

3) где V > 0, при котором система (1), (2) превращается в уравнения Навье— Стокса.

Реологическое соотношение (3) является адекватным для описания движения большей части встречающихся на практике вязких несжимаемых жидкостей при умеренных скоростях. Однако оно неприменимо для жидкостей, обладающих релаксационными свойствами. В таких жидкостях равновесное состояние устанавливается не мгновенно после изменения внешних условий, а с некоторым запаздыванием, которое характеризуется значением времени релаксации. Это запаздывание объясняется процессами внутренней перестройки (например, связанными с магнитными свойствами жидкости).

В работе [23] для учёта релаксационных свойств было предложено реологическое соотношение.

4) где V — кинематический коэффициент вязкости, к — время ретардации (положительные величины) — й д д г=1 полная производная по времени. После подстановки о в уравнение (1) приходим к следующей системе: ду. ^ ду дАу /^ д?(у), ., г. а — + ЕК1Г -2к 1I? ¦+ ^ = ¦(5) г=1 г=1 /.

Ну V = 0. (6).

Отличие данной системы от системы Навье—Стокса состоит в присутствии члена 2к. ТУч{6?/(1?). Если течение жидкости близко к установившемуся, то этот дополнительный член оказывает малое влияние, и жидкость ведёт себя практически как ньютонова. В случае же турбулетного или ламинарного пульсирующего течения (то есть при наличии местных ускорений) значение дополнительного члена возрастает, и движение значительно отличается от движения ньютоноской жидкости. Экспериментально было установлено (см. [ 1 ]), что именно такое поведение характерно для слабокон 0- (7) ап V центрированных водных растворов полимеров (полиэтиленоксида, полиа-криламида), поэтому система (5), (6) стала называться математической моделью движения слабоконцентрированных водных растворов полимеров.

Уравнения (5), (6) будем рассматривать в ограниченной области с К" (п = 2,3). На границе области рассмотрим условие прилипания: V.

Также система снабжается начальным условием V где, а — функция из некоторого функционального пространства.

Разрешимость в сильном и слабом смысле различных начально-краевых задач для системы (5), (6) рассматривалась в работах А. П. Осколкова [21], [22] (результаты которого о слабых решениях содержали ошибки, что отмечалось самим автором), а также В. Г. Звягина и М. В. Турбина [9]. Метод доказательства существования слабых решений, предложенный в последней работе, не позволяет получить оценок диссипативного типа, необходимых для доказательства существования аттракторов. В связи с этим оказалось необходимым найти новое доказательство существования, дающее нужную оценку.

Для доказательства существования слабых решений используется ап-проксимационно-топологический метод. Для используемых аппроксимаций также устанавливается существование минимальных траекторных и глобальных аттракторов, а также устанавливается их сходимость к соответствующим аттракторам исходной задачи. Подобные задачи (для га-лёркинских приближений рассматривались в работах М. И. Вишика и В. В. Чепыжова [28,29] и в работе автора [16] в контексте теории аттракторов инвариантных пространств траекторий. Однако установление сходимости аттракторов неинвариантных пространств представляет дополнительные трудности, поскольку минимальный траекторный аттрактор может не содержаться в пространстве траекторий, а в таком случае мы не обладаем непосредственной информацией о составляющих его функциях.

Во второй главе исследуются траекторный и глобальный аттракторы автономной регуляризованной системы уравнения движения жидких сред с памятью: + Е'- ^ Div J* e-{t~s)/xS (v)(S, Z5(st, x)) dsjioDiv5(v) = — gradp + /, divv = 0. (9).

Показано, что если параметры системы удовлетворяют неравенству цо — —цД > 0, то система имеет минимальный траекторный и глобальный аттракторы.

В системе (9) участвует Z5(st, х) — траектория, определённая по ре-гуляризованному полю скоростей Ss (v) (Sg— оператор регуляризации). Необходимость его введения оператора регуляризации связана с тем, что само слабое решение v € L2(0,TV) не обладает достаточной гладкостью, чтобы определить траекторию.

Введение

той или иной регуляризации является стандартной операцией при исследовании задач гидродинамики, в которые входит определение траекторий точки через вектор-функцию скорости (см., например, [24,30]).

Существование слабых решений уравнений движения (9) в более общем неавтономном случае устанавливается в работах В. Г. Звягина, В.Т.Дмит-риенко [10,11]. Она подробно описана в монографии [36].

Во второй главе настоящей работы для слабых решений, построенных в работах [10,11], устанавливаются оценки диссипативного типа. На их основе определяется пространство траекторий, для которого доказывается существование минимального траекторного и глобального аттракторов.

В третьей главе рассматривается визуализация аттракторов возмущений двумерного течения Пуазёйля среды, описываемой уравнениями Джеф-фриса.

Существование траекторного и глобального аттракторов системы Джеффриса (а также равномерных аттракторов в неавтономном случае) рассматривалось в работах В. Г. Звягина и Д. А. Воротникова [4,34,35]. С целью получения визуализации в главе 3 настоящей работы рассматривается более узкое пространство траекторий, состоящее из течений, близких к течению Пуазёйля.

Опишем рассматриваемую модель подробнее.

В плоском канале {(х, х2) е Е2: — 1 ^ х2 ^ 1} рассматривается движение вязкоупругой среды, удовлетворяющей реологическому соотношению Джеффриса с").

Здесь г| обозначает вязкость среды, Х — её время релаксации, Х2 — её время ретардацииц, %1 и Х2 — положительные постоянные, и ^ > ?12- Полная система, описывающая движение, состоит из уравнения (10) и уравнений движения несжимаемой среды (1), (2), причём в уравнении (1) полагаем / = 0, что соответствует потенциальному полю внешних сил. На границе канала рассматривается условие несжимаемости.

Двумерное течение Пуазёйля — это стационарное ламинарное течение вязкой несжимаемой жидкости через канал в виде слоя между параллельными прямыми под действием постоянной разности давлений. Скорость любой частицы жидкости при этом течении параллельна прямым, ограничивающим канал. Течение Пуазёйля имеет параболическое распределение скорости: скорость жидкости максимальна в точках, равноудалённых от ограничивающих прямых, и равна нулю около самих этих прямых. Течение Пуазёйля является точным решением как в случае уравнений Навье— Стокса, так и в случае уравнений неньютоновой гидродинамики, в том числе, уравнений Джеффриса.

Мы рассматриваем возмущения течения Пуазёйля в виде бегущих волн, которые могут быть затухающими, возрастающими или периодическими. Изучение таких возмущений сводится к спектральной задаче для некоторого линейного обыкновенного дифференциального уравнения четвёртого порядка с переменными коэффициентами, снабжённого краевыми условиями.

В случае системы Навье—Стокса аналогичный подход приводит к уравнению Орра—Зоммерфельда.).

Показано, что в рассматриваемой модели фазовый аттрактор в общем случае состоит из некоторого количества компонент, каждая из которых представляет собой объединение семейства гомотетичных эллипсов в вещественном гильбертовом простанстве. (Отметим попутно, что отдельные такие эллипсы являются множествами значений траекторий, принадлежащих траекторному аттрактору.) Для визуализации этих эллипсов мы изображаем их проекции на трёхмерные подпространства гильбертова пространства. С другой стороны, функции, задающие полуоси этих эллипсов, изображаются с помощью графиков.

Для конкретного набора параметров системы производится численный анализ, с помощью которого устанавливается существование периодических возмущений. В соответствии с результатами численного анализа строится визуализация.

Изучению течений, близких к течению Пуазёйля для ньютонових жидкостей, посвящён ряд работ, среди которых отметим [26,27,31,33]. В частности, в этих работах используются численные методы. Однако вопросы визуализации аттракторов в этих работах не рассматриваются, как не рассматриваются и неньютоновы жидкости.

Суммируя вышеизложенное, отметим, что в диссертации получены следующие новые результаты:

1. Доказано существование минимального траекторного и глобального аттракторов слабых решений для модели движения слабоконцентрированных водных растворов полимеров в автономном случае, а также сходимость минимальных траекторных и глобальных аттракторов ап-проксимационной задачи к аттракторам исходной задачи.

2. Доказано существование минимального траекторного и глобального аттракторов слабых решений регуляризованной системы уравнений движения жидких среде памятью при условии определённого ограничения на параметры системы.

3. Предложена визуализация аттракторов возмущений течения Пуазёйля в модели Джеффриса.

Результаты диссертации докладывались и обсуждались на воронежской зимней математическая школе «Современные методы теории функций и смежные проблемы» (Воронеж, 2011) — международной научной конференции, посвященной 70-летию члена-корреспондента АН Республики Таджикистан Мухамадиева Эргашбоя Мирзоевича (Душанбе, Таджикистан, 2011) — семинаре под руководством профессора В. Г. Звягинасеминаре под руководством профессора А. Л. Скубачевского (РУДН, 2011).

Исследования, включённые в настоящую диссертацию, поддержаны грантами РФФИ-04−01−81-а, РФФИ-07−01−137-а, РФФИ-10−01−143-а и федеральной целевой программой «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России на 2009—2013 годы» (руководитель грантов и программы — профессор В. Г. Звягин).

Основные результаты диссертации опубликованы в работах автора [8, 13— 15], из них [8] и [ 14] соответствуют перечню ВАК для кандидатских диссертаций. Из совместной работы [8] в диссертацию вошли только принадлежащие автору результаты.

1. Амфилохиев В. Б. Течения полимерных растворов при наличии конвективных ускорений / В. Б. Амфилохиев, Я. И. Войткунский, Н. П. Мазаева, Я-С. Ходорковский // Труды Ленинградского ордена Ленина кораблестроительного института. — 1975. — Вып. 96.— С. 3−9.

2. Бетчов Р. Вопросы гидродинамической устойчивости / Р. Бетчов, В. Криминале. — М.: Мир, 1971. — 350 с.

3. Вишик М. И. Траекторный и глобальный аттракторы ЗЭ системы На-вье—Стокса / М. И. Вишик, В. В. Чепыжов // Матем. заметки.— 2002. — Т. 71, вып. 2. — С. 194—213.

4. Воротников Д. А. О траекторных и глобальных аттракторах для уравнений движения вязкоупругой среды / Д. А. Воротников, В. Г. Звягин // УМН. — 2006. — № 2. — С. 161 — 162.

5. Дмитриенко В. Т. Конструкции оператора регуляризации в моделях движения вязкоупругих сред// В. Т. Дмитриенко, В. Г. Звягин // Вестник ВГУ. —2004. — № 2. — С. 148—153.

6. Звягин В. Г. Аппроксимационно-топологичёский подход к исследованию задач гидродинамики. Система Навье—Стокса / В. Г. Звягин, В. Т. Дмитриенко. — М.: Едиториал УРСС, 2004. — 112 с.

7. Звягин В. Г. Аттракторы слабых решений регуляризованной системы уравнений движения жидких сред с памятью / В. Г. Звягин, С. К. Кондратьев. // Известия вузов. Математика. — 2011. — № 8. — С. 86— 89.

8. Звягин В. Г. Исследование начально-краевых задач для математических моделей движения жидкостей Кельвина—Фойгта / В. Г. Звягин, М. В. Турбин // Гидродинамика. СМФН. — 2009. — Т. 31. —С. 3— 144.

9. Звягин В. Г. О слабых решениях начально-краевой задачи для уравнения движения вязкоупругой жидкости / В. Г. Звягин, В. Т. Дмитриенко //Доклады РАН. —2001. Т. 380, № 3. —С. 308— 311.

10. Звягин В. Г. О слабых решениях регуляризованной модели вязкоупругой жидкости / В. Г. Звягин, В. Т. Дмитриенко // Дифференциальные уравнения. —2002. —Т. 38, № 12, —С. 1633—1645.

11. Картан А. Дифференциальное исчисление. Дифференциальные формы / А. Картан. — М.: Мир, 1971. — 392 с.

12. Кондратьев С. К. Визуализация аттракторов малых возмущений течения Пуазёйля для системы Джеффриса с полной производной /С.К.Кондратьев // Современные методы теории функций и смежные проблемы: материалы ВЗМШ-2011. — Воронеж, 2011.— 374 е. —С. 176—177.

13. Кондратьев С. К. Об аттракторах модели движения слабоконцентрированных водных растворов полимеров / С. К. Кондратьев // Вестник В ГУ. Сер. Физика. Математика.— 2010. — № 1. — С. 117—138.136.

14. Кондратьев С. К. О сходимости траекторных и глобальных аттракторов аппроксимаций автономной трехмерной системы Навье—Сток-са / С. К. Кондратьев // Вестник ВГУ. Сер. Физика. Математика.— 2009. —№ 1. —С. 126—137.

15. Крейн С. Г. Шкалы банаховых пространств / С. Г. Крейн, Ю. И. Петунин // УМН. — 1966. —Т. 21, вып. 2(128). —С. 89— 168.

16. Ладыженская O.A. О нахождении минимальных глобальных аттракторов для уравнений Навье—Стокса и других уравнений с частными производными / О. А. Ладыженская // УМН. — 1987. — Т. 42, вып. 6. — С. 25—60.

17. Лионе Ж.-Л. Неоднородные граничные задачи и их приложения /Ж.-Л. Лионе, Э. Мадженес. — М.: «Мир», 1971. —371 с.

18. Наймарк М. А. Линейные дифференциальные операторы / М. А. Наймарк. — М.: «Наука», 1969. — 528 с.

19. Осколков А. П. Начально-краевые задачи с краевым условием проскальзывания для модифицированных уравнений Навье — Стокса / А. П. Осколков // Зап. науч. семин. ПОМИ. — 1994. — Т. 213. — С. 93—115.

20. Осколков А. П. О некоторых нестационарных линейных и квазилинейных системах, встречающихся при изучении движения вязких жидкостей/А. П. Осколков//Зап. науч. семин. ЛОМИ. — 1976. — Т. 59. — С. 133—177.

21. Павловский В. А. К вопросу о теоретическом описании слабых водных растворов полимеров / В. А. Павловский // ДАН СССР. — 1971.— Т. 200, № 4. — С. 809—812.

22. Темам Р. Уравнения Навье—Стокса. Теория и численный анализ / Р. Темам. — М.: Мир, 1981, — 288 с.

23. Фурсиков А. В. Оптимальное управление распределёнными системами. Теория и приложения / А. В. Фурсиков. — Новосибирск: Научная книга, 1999, —350 с.

24. Afendikov A. Bifurcations of Poiseuille Flow between Parallel Plates: Three-Dimensional Solutions with Large Spanwise Wavelength / A. Afendikov, A. Mielke // Arch. Rational Mech. Anal.— 1995.— Vol. 129 —P. 101—127.

25. Afendikov A. Multi-pulse solutions to the Navier—Stokes problem between parallel plates / A. Afendikov, A. Mielke // Z. Angew. Math. Phys — 2001 — Vol. 52 — P. 79—100.

26. Chepyzhov V. V. Attractors for equations of mathematical physics / V. V. Chepyzhov, M. I.Vishik.— Providence, RI: AMS Colloquium Publications, 2002.— 363 p.

27. Chepyzhov V. V. Evolution equations and their trajectory attractors / V.V.Chepyzhov, M.I.Vishik // J. Math. Pures Appl— 1997 — Vol. 76 —P. 913—964.

28. Litviniv V. G. Regular model and nonstationary problem for the nonlinear viscoelastic fluid / V. G. Litvinov// Siberial Journal of Diff. Eq.— 1997.— V. 1. No. 4 —P. 351−382.

29. Orszag S. Accurate solution of the Orr—Sommerfeld stability equation / S. Orszag// J. Fluid Mech.— 1971— Vol. 50, Iss. 4 — P. 659—703.

30. Sell G.R. Dynamics of Evolutionary Equations / G. R. Sell, Y. You.— New York: Springer, 1998.—670 p.

31. Skorokhodov S: L. Numerical Analysis of the Spectrum of the Orr— Sommerfeld Problem / S. L. Skorokhodov // Computational Mathematics and Mathematical Physics.— 2007.— Vol. 47, Iss. 10.— P. 1603— 1621.

32. Vorotnikov D. A. Trajectory and global attractors of the boundary value problem for autonomous motion equations of viscoelastic medium / D. A. Vorotnikov, V. G. Zvyagin // J. Math. Fluid Mech — 2008 — Vol. 10.—P. 19—44.

33. Vorotnikov D. A. Uniform attractors for non-automous motion equations of viscoelastic medium / D. A. Vorotnikov, V. G. Zvyagin // J. Math. Anal. Appl.— 2007 — Vol. 325 — P. 438—458.

34. Zvyagin V. G. Topological Approximation Methods for Evolutionary Problems of Nonlinear Hydrodynamics / V. G. Zvyagin, D. A. Vorotnikov.— Berlin, New York: Walter de Gruyter, 2008 — 232 p.