Производные функций

Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«Национальный исследовательский Томский политехнический Университет»

Институт дистанционного образования Автоматизация технологических процессов и производств (в нефтегазовой области) Индивидуальное домашнее задание № 1

по дисциплине:

Математический анализ 2

Вариант 14

Томск 2013

1. Найдите частные производные первого порядка

1.1; 1.3. ;

1.2; 1.4. ;

Решение

1.1 ;

При нахождении частной производной переменную y рассматриваем как константу

.

При нахождении частной производной переменную x рассматриваем как константу

.

1.2

При нахождении частной производной переменную y рассматриваем как константу

.

При нахождении частной производной переменную x рассматриваем как константу

.

1.3

При нахождении частной производной переменную y рассматриваем как константу

.

При нахождении частной производной переменную x рассматриваем как константу

.

1.4

При нахождении частной производной переменную y рассматриваем как константу

.

При нахождении частной производной переменную x рассматриваем как константу

.

2. Найдите и постройте область определения функции

.

Решение Областью определения функции является множество всех точек плоскости, для которых определены выражения и. Выражение определенно тогда и только тогда, когда подкоренное выражение неотрицательно, т. е. при ?0. То же самое можно сказать и о выражении, т. е. ?0.

Таким образом, область определения данной функции задается системой неравенств Первому неравенству удовлетворяют координаты всех точек плоскости, расположенных выше и на прямой. Второму неравенству удовлетворяют координаты всех точек плоскости, расположенных выше и на прямой .

Область определения функции получается в результате пересечения указанных множеств.

Найдем хотя бы по две точке:

Указанной совокупности удовлетворяет множество точек плоскости, расположенных в первой и второй координатных четвертях.

3. Найдите производную от функции, заданной неявно

.

Решение Равенство F (x, y)=0 определяет функцию одной переменной y=y (x), заданную неявно. Для нахождения производной воспользуемся формулой

где .

Найдем сначала и

;

;

Подставим и в формулу. Получим

.

4. Найдите полный дифференциал dz функции

.

Решение Полный дифференциал функции двух переменных находится по формуле

.

Найдем сначала частные производные первого порядка и данной функции ;

;

;

Тогда .

5. Докажите, что функция удовлетворяет уравнению

.

Решение Найдем сначала частные производные первого порядка и данной функции ;

.

.

Теперь подставим частные производные. Получаем

.

.

.

Умножаем правую и левую часть на y и делим на .

Получаем

1=1.

Получили тождество, следовательно, функция удовлетворяет уравнению

6. Исследуйте функцию на экстремум.

Решение Сначала найдем стационарные точки заданной функции

.

Для этого:

Находим частные производные первого порядка

.

.

Приравниваем частные производные к нулю и решаем систему уравнений

Решим систему уравнений

? ?

? ?

Таким образом, у нас две точки. Точка М1(0;0) и точка М2(2/3;2/3), они являются стационарными для исследуемой функции. Проверим достаточные условия экстремума в точке М1(0;0). Для этого найдем частные производные второго порядка заданной функции и вычислим их значения в стационарной точке

.

.

.

.

Составим ?=.

Так как ?=0, это значит неопределенность. Для исследования привлекают высшие производные. Мы этого делать не будем, по крайней мере в этом семестре.

Рассмотрим точно также точку М2(2/3;2/3),

.

Составим ?=

.

Так как ?>0 и <0, то точка М2(2/3;2/3) является для исследуемой функции точкой максимума.

Чтобы найти значения максимума, координаты точки максимума x=2/3, y=2/3 подставим в функцию Ответ: .

7. Найдите наименьшее и наибольшее значения функции производная функция дифференциал экстремум

в замкнутой области, ограниченной линиями

.

Решение Сначала находим частные производные первого порядка заданной функции

;

.

Так как частные производные не равны нулю, то функция не имеет стационарных точек.

Исследуем функцию на границе области. Уравнения

определяют на плоскости треугольник OAB.

На отрезке OA, где у=2, имеем ,

. Задача сводится к отысканию наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке. Так как z'=1>0, то функция всюду возрастает на отрезке. Следовательно, достигает своих наибольшего и наименьшего значений на концах отрезка, т. е. в точках, А и О, соответственно. Находим

z (А)=z (-1,2)=-8,

z (O)=z (2,2)=-5.

На отрезке ОВ где х=2, имеем, ,

. Задача сводится к отысканию наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке. Так как z'=-2<0, то функция всюду убывает на отрезке. Следовательно, достигает своих наибольшего и наименьшего значений на концах отрезка, т. е. в точках В и О, соответственно. Находим

z (В)=z (2,-1)=,

z (O)=z (2,2)=-5

На отрезке АВ где, т. е., имеем

,

. Задача сводится к отысканию наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке. Так как z'=3>0, то функция всюду возрастает на отрезке. Следовательно, достигает своих наибольшего и наименьшего значений на концах отрезка, т. е. в точках, А и В, соответственно. Находим

z (В)=z (2,-1)=1

z (А)=z (-1,2)=-8

Выбирая из всех полученных значений исходной функции наибольшее и наименьшее значения, имеем

и .

Ответ: и .

8. Найдите частные производные второго порядка от функций

8.1; 8.2 .

Решение

8.1

Найдем сначала частные производные первого порядка

=

.

.

Тогда

.

.

.

.

8.2

Найдем сначала частные производные первого порядка

.

.

Тогда

.

.

.

.

9. Даны комплексные числа и. Найдите

. Ответы представьте в алгебраической форме Решение

.

.

.

10. Постройте множество точек D комплексной плоскости, удовлетворяющих условию ?2

Решение Преобразуем выражение под знаком модуля:

.

Найдем модуль этого выражения

.

Получилось вот такое неравенство Таким образом, область D представляет собой круговое кольцо, ограниченное окружностью, с центром в точке (-1;1) радиусом r=2.

Список использованной литературы Высшая математика. Ч. Ш: учебное пособие / А. В. Козловских; Томский политехнический университет 2-е изд., перераб. доп. — Томск: Изд-во Томского политехнического университета, 2007. — 91 с.