Краевые задачи для эллиптических систем в областях с кусочно-гладкой границей

К разрывным краевым задачам интерес у математиков проявился давно. Это и естественно, так как разрывные задачи являются не только логическим развитием теории гладких задач, но и из — за того, что к разрывным задачам приводит общирный класс прикладных задач механики сплошной среды, теории упругости и т. д.

Разрывные краевые задачи теории аналитических функций и их обобщений, теории упругости давно общирно изучены. Ссылками можно, например, ознакомиться по известным монографиям И. Н. Векуа [3], Ф. Д. Гахова [4], И. Н. Мусхелешвили [19]. Среди плоских разрывных задач весьма важное место занимают задачи с угловыми точками, т. е. задачи, где граница имеет конечное число угловых точек. Одним из первых такую задачу рассматривал И. О. Радон [23]. Он, как и многие его последователи, задачи Дирихле и Неймана для уравнения Лапласа свел к интегральным уравнениям.

К задачам типа Римана, Римана — Гильберта для аналитических и обобщенно аналитических функций как в гладком, так и в общем случае решающую роль играет индекс задачи или эквивалентного ей сингулярного интегрального уравнения [3], [4], [19], [20].

Исследование граничных задач существенно усложняется, когда в граничные условия входят не только искомые функции, но и их производные.

Переход от гладких задач к разрывным задачам, в частности с угловыми точками, требует ввода и изучения новых функциональных пространств. Наиболее подходящими являются функциональные пространства с весовой нормой, которые наиболее правильно учитывают особенности решения и его производных в нерегулярных точках границы.

Одной из первых работ, посвященных краевым задачам на плоскости в областях с угловой точкой на границе, была работа Я. Б. Лопатинского [16]. Он свел краевую задачу с постоянными коэффициентами к интегральному уравнению, получил условия нормальной разрешимости краевой задачи в пространствах Ск{0). Лопа-тинский сводит общую граничную задачу для эллиптической системы с постоянными коэффициентами в плоской области с границей, содержащей конечное число угловых точек к системе сингулярных интегральных уравнений и изучая эту систему с помощью Ф — операторов, находит явную формулу для ее индекса [16].

Значительным этапом в теории краевых задач с угловыми точками на границе явилась работа В. А. Кондратьева [12]. Большое число работ, посвященных изучению общих краевых задач в областях с особенностями на границе типа угловой или конической точки, опубликовали В. Г. Мазья и Б. А. Пламеневский [18], [21].

Задачи прикладного характера с дискретными особенными точками на границе для эллиптических систем изучались многими авторами, в частности, О. А. Олейник, А. П. Солдатовым, Н. А. Жура и др.

Следует отметить, что во многих из указанных работ по краевым задачам для эллиптических систем нет формул для индекса. Формулы для индекса эллиптических задач даны в работах А. П.

Солдатова и М. М. Сиражудинова [24], [30].

В работе А. П. Солдатова [30] рассматривается общая краевая задача для эллиптических систем с постоянными матричными коэффициентами, охватывающая с единой точки зрения широкий круг локальных и нелокальных краевых задач. Дается метод эквивалентной редукции этой задачи к системе граничных уравнений. Рассмотрения ведутся в областях с кусочно — гладкой границей и в пространствах с весом. Установлены критерии нетеровости и формула индекса этой задачи и описана асимптотика ее решений в окрестности угловых точек.

В первой главе настоящей работы рассматриваются вопросы нетеровости краевых задач для однородных эллиптических систем. Она состоит из пяти параграфов.

В первых двух параграфах приводятся некоторые вспомогательные определения и понятия, которые используются в работе, а также определения и некоторые свойства весовых пространств Соболева и Гельдера, где рассматриваются краевые задачи.

В третьем параграфе рассматривается следующая краевая задача:

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ г-з+1.

3−1 у = /е Х? г (<2), (1).

3−1 где ах,., аг+1 — квадратные матрицы порядка причем г+1.

Коэффициенты системы и краевых условий действительные функции, ф — ограниченная область плоскости с кусочно — гладкой границей, J — конечное подмножество граничных точек, куда включаются все угловые точки и точки разрыва коэффициентов граничных условий, причем гладкие части границы принадлежат С°°, связные части границы гомеоморфны окружности. Здесь Хрг (Я), У^кк (дЯ ¿-Г), (О) — некоторые весовые пространства Соболева или Гельдера.

Пространства Х$г (<2), хр+г (Я), когда задача рассматривается над весовыми пространствами Соболева определены равенствами х ••• х = («))', у-(дд а) = з) = я)». где N такое, что? х г = 2ТУ, а когда задача рассматривается над пространствами Гельдера, они даются равенствами х-+г (я) = я-+" (<�э) х • • • х #-+>¦"?) = (н-^(я))е, = х ••¦ х = у-(дд з) = я^^^ао з) х ••¦ х и^г+^ея з) = та г+1.

Получен критерий полунетеровости задачи (1), (2):

Ф о (х е ЯЛ е м2 {0}). (з).

Теорема 1. Задача (1), (2) тогда и только тогда полунетеровая с конечномерным ядром, или, что эквивалентно, имеет место априорная оценка ВуУ3″ Лк№ .7)11 + II" — х-+г-Я)1 где с > 0 — константа, не зависящая от V Е когда выполнено эллиптичности (3), условие Шапиро — Лопатинского в каждой точке <9ф условие Шапиро Лопатинского для продолжений В в точки 3, и условие: на прямой Яе (гЛ) = (Зт нет точек спектра пучка Г (Х), т е J.

Здесь^Т (Л) — эллиптический пучок, полученный преобразованием Меллина операторов, А и В после перехода к полярным координатам (р, по переменной р.

Идея доказательств этой теоремы и теорем 3 и 4 ниже заимствованы из [21].

В § 5 приводятся некоторые свойства решений задачи (1), (2):

Теорема 2. Пусть /Зт? Е такое, что на прямой Ке (г'А) = (Зт нет точек спектра £2/т (), т 6 J. Тогда справедливы утверждения: a) Пусть V € Хр+г+1((^) — решение задачи (1), (2), где f е.

V € ¿-Г). Тогда V е b) Пусть V? — решение задачи (1), (2), где / € ч> б (Ж^^ЦдЯХ^Г, причем 1 < Р1 <

00. Тогда V? ¦ c) Пусть V е {УУ?+г+1(<�Э))г- — решение задачи (1), (2), где / €.

Ч>? (к$-г+1 № при&tradeУ = 2 /Р-V? {Н™'ф'){Сд)У для достаточно больших р.

Здесь^Г (А) — эллиптический пучок, полученный заменой, А на, А и В на В при переходе к новой системе координат посредством диффеоморфизма.

Доказана следующая теорема:

Теорема 3. В условиях теоремы 1 ядро оператора задачи (1), (2) и ядро сопряженного оператора не зависят от п, р, ?1 (п = 0,1,.- 1 < р < +оо, 0 < /2 < 1). Кроме этого ядра не меняются при переходе от (весовых) пространств Соболева к пространствам Гельдера.

В этом же параграфе получен критерий нетеровости задачи (1), (2).

Теорема 4. Для нетеровости задачи (1), (2) необходимо и достаточно выполнения условия эллиптичности (3), условия Шапиро — Лопатинского в каждой точке J, условия Шапиро — Ло-патинского для продолжений В в точки J, и условия: на прямой Яе (¿-Л) = (Зт нет точек спектра пучка еШт{), т? J. При выполнении этих условий индекс задачи не зависит от п, р, ц (1< р < +ооО < ц < 1), а также от пространств, над которыми рассматривается задача (они могут быть как весовыми пространствами Соболева, так и Гельдера).

Во второй главе рассматриваются необходимые и достаточные условия нетеровости и формулы для индекса краевых задач для однородных эллиптических систем. Вторая глава состоит из пяти параграфов. В первых четырех параграфах рассматриваются краевые задачи, порядки краевых условий которых меньше порядка системы, то есть рассматриваются краевые задачи вида: Г+1 / Ь / я V" 1 г)(д), (4) к+1 / я ^ к+1-л^ я чМ § ь'° Ш (?) и = ^ €^х ^ (5).

Коэффициенты системы и краевых условий действительные функции. Матрицы Ь>5,., Ь°+1 — прямоугольные N X? — матрицы, принадлежащие С°°(д (д причем они имеют левые и правые продолжения (каждое класса С°°) в точки 3.

Пространства, над которыми рассматривается задача, это весовые пространства I — вектор-функций Соболева или Гельдера. Они получены заменой пространств из (1), (2) на соответствующие конечномерные расширения (подробнее см. гл. I, § 1).

Получены необходимые и достаточные условия нетеровости и формула для индекса.

Теорема 10. Задача (4), (5) тогда и только тогда нетеровая, когда выполнены условия всюду на (6) сЫЩт±-0)^0, те^, (7) где = С^Ть и на прямой Яе (= (3^ — к, = (Зт., нет корней определителя концевого символа т = т3-? 3. При выполнении этих условий индекс задачи дается формулой в та л/ = ЫД^Ко — ]Г к («ГР ут1) — н (2 к — г + 2) (т -1)/2. 1 где I — число уравнений системы (4), г — порядок системы, к — порядок краевых условий, 5 —- число точек J.

Пусть (3 = {(Зт}и 7 = {7Т} допустимые весовые порядки, то есть на прямых Яе (= (Зт, Яе (= 7 Т, т 6 ?7, нет нулей det⁰©, и пусть выполнены условия (6), (7). Тогда индексы задачи (4), (5) связаны равенством.

ШСЬгбу — тйя/р = ^ 5 Т, где ^ — оператор задачи (4), (5) при /3 = 7, ±-БТ равен числу нулей т = г, — € J (с учетом кратности) между прямыми.

Де = (Зт — к, = 7 Г — к. Знак «—» соответствует случаю (Зг ^ 7 Т, а «+» — (Зт ^ 7 Т.

Здесь и далее Т = (Т±- 3 Т2), 2Л/© ~ это матрицы специальным образом определяемые по коэффициентам системы и краевых условий (подробнее см. п. 3, § 2, гл. I), Т — (7 ¡-Т2) — блочная матрица, состоящая из двух блоков Т1 и Т2.

Аналогичные результаты получены и для соответствующей Нелинейной задачи. Затем рассматривается задача (4), (5) для правильно эллиптических систем, где коэффициенты системы и краевых условий не обязательно действительные. Доказана.

Теорема 12. Задача (4), (5) для правильно эллиптической системы тогда и только тогда нетеровая, когда выполнены условия (6), (7), где, Но = (Сто ТОоТЬ) и условие: на прямой Яе (= ^ — к, Рз = Аг, — 5 нет корней <1е1 г = т, — 6 ?7. При выполнении этих условий индекс задачи дается формулой г?(2к — г + 2)(т — 1)/2, где Ni = G0 1 T, = G0T2. Теорема дополняется и второй частью, аналогичной теореме 10.

В § 4 рассматриваются краевые задачи для однородных эллиптических систем, краевые условия которых имеют разные порядки.

Пусть Q — многосвязная область плоскости с кусочно-гладкой границей, состоящей из замкнутых контуров Lq, ., Lm, причем Lq содержит внутри себя остальные и пусть Ti,., Г8 — гладкие (класса С°°) дуги, составляющие границу dQ, причем s = J — число точек J.

Пусть.

Iji — число краевых условий на Г^, i = 1,., s, порядка k^- qi— число различных порядков краевых условий на Г^- S.

Y] ?ji = rl, k = max {kji j = 1,.qi, i = 1,., s}. 3=1.

Рассмотрим M — линейную задачу.

Av = / G X^r)(Q), v s (9).

Re (B (x, = Y^ (dQ J), (10) где В — квадратная матрица поряка lr. Доказана.

Теорема 13. Задача (9), (10) тогда и только тогда нетеровая, когда выполнены условия (6), (7), где К0 = (GqT j GqT2), Т = (7 | Т2), и условие: на прямой Re (= (3j — k, fij = f3Tj, нет корней det т = Tj G J. При выполнении последних индекс задачи дается формулой s ind = Ind^-1 К —? Ind0jk{ JTP (0 yf) s * J=1 (И).

— r?(2k-r + 2)(m- 1). i=i j=1.

И, наконец, в § 5 рассматриваются задачи порядки краевых условий которых не меньше порядка системы.

Рассматривается Ж-линейная задача (9), (10), где к = гпах к7- ^ г. Пусть выполнены условия г^НУ,? = г,., к + 1, т е (12) где к — любое целое число, ей N ф 0 всюду на (13) det К (т ± 0) ф 0 т? а, (14) det ^© ф 0 на прямой Яе^ = ?3^ — к, т, Е 3,.

15) где N = (СгТ 1, ОТ2) — — концевой символ. Справедлива.

Теорема 15. Пусть выполнены условия (12). Для нетеровости задачи (9), (10) с к ^ г необходимо и достаточно выполнения условий (13) — (15). При выполнении этих условий индекс задачи дается равенством в та ^ = Мг^-'к — У^ЧОК з=1 ч в Яг е Е Е {ел — +1} - ЕЕ (кмь.

3=г т 6 3 ^ ^ * ' г=1 ?=1.

-¿-з^ г+, 1)(к + г) -^(к2 + к + г)(т-1),? где [а] — целая часть числа а.

Кроме этих теорем доказаны и ряд других теорем, которые являются частными случаями сформулированных.

Третья глава посвящена приложению этих результатов к задаче Дирихле и одной задаче из геометрии.

Рассмотрим задачу Дирихле для эллиптической системы I уравнений порядка (г = 2г', г' 6 К) с действительными коэффициентами «= /. *ри в. 3=1 (16) дги = г = о,. ., г/2 — 1, на где ^ — нормаль к границеа^? С°°(ф) — квадратные матрицы порядка I. Получены условия необходимые и достаточные для нетеровости задачи и формула для индекса: det N ф 0 всюду на сЫ «Г/© ф 0 при Яе С = Рт3 — г/2 + 1. Индекс задачи определяется равенством та = 1пагк~1N — На ^^-Н^к-ЩО))-^ (гр) — 5Л,.

1^ р>о ' где ±Sj равен числу нулей (включая кратности) определителя концевого символа ае1 <^°© между прямыми Ие (= —е, Ые? = рт — т/% + 1, т = ^ Е 3. (Знак «+», когда (Зт ^ г/2 -1-е, «-» — рт < г/2 — 1 — е.).

Здесь к^{гр) = 0, если гр не есть нуль функции с!^ и к^ (гр) равняется кратности нуля в противном случае.

В § 2 рассматривается краевая задача дщ + + ВуУу = е (17).

Ьд^йх + С1У1 + ??1¹ — адгю 2 — С2² — 2 =.

18) где а, 6, С1, С2, .

Задача (17), (18) возникает при исследовании жесткости поверхностей и как нерешенная указана в монографии И. Н. Векуа [3, стр. 288].

Задачу (17), (18) в случае многосвязной области с гладкой границей решил М. М. Сиражудинов [24]. В этом случае для нетеровости задачи (17), (18) необходимо и достаточно, чтобы.

8 г (—а&) ф 0 на.

При этом индекс задачи дается равенством.

I = 21пс1 (аЬ) — 6(т — 1).

Справедлива следующая.

Теорема 17. Для нетеровости задачи (17), (18) необходимо и достаточно выполнение условий: 1) (аЬ) (ж) ф 0 всюду на дЯ J;

3) на прямой = /3Т — 1 нет корней функции веЬ (0 = (1 — е2и,*)2(е***А + еш*В + 1), (19) где, А а6сц-&|.

В = 1а-б-а+б^ а-Ь-а+Ь+' а-Ь-а+Ь+.

В случае (Зт. = 1—?, т./ е 3, где? — достаточно малое фиксированное число такое, что в полосе 0 < |Де£| < е нет нулей функции (2.5), индекс задачи дается равенством.

1пс1-££/ = б — б (га — 1), где.

8 =.

Г, А аЬ ао.

А в случае произвольного /Зт, т е 3, индекс задачи дается равенством 1п (1££/ ± т^.

Рт ~ 1).

7 Г 1 .

Здесь «+» соответствует случаю, когда ¡-Зт < 1-е, «—» —¡-Зт > 1-е.

Минус и плюс в индексах функций означает предельные значения слева и справа в точке т? 3.

1. Агранович М. С., Вишик М. И. Эллиптические задачи с параметром и параболические задачи общего вида // УМН. Т. 49, № 3. 1964. С. 53−160.

2. Бицадзе А. В. Краевые задачи для эллиптических уравнений второго порядка. М. гНаука, 1966.

3. Векуа И. Н. Обобщенные аналитические функции. М.:Наука, 1988.

4. Гахов Ф. Д. Краевые задачи. М:.ГИФМЛ, 1963.

5. Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. М.:Наука, 1988.

6. Данилюк И. И. Нерегулярные граничные задачи на плоскости. М.:Наука, 1975.

7. Жура Н. А. О краевой задаче для эллиптических систем в областях с кусочно гладкой границей // ДУ. Т. 25, № 5.1989. С. 839 843.

8. Жура Н. А., Солдатов А. П. Смешанно-контактная задача плоской теории упругости в областях с кусочно гладкой границей // ДУ. Т. 24, № 1. 1988. С. 55−64.

9. Жура Н. А. Краевые задачи типа Бицадзе-Самарского для глиптических в смысле Дуглиса-Ниренберга систем // ДУ. Т. 28, № 1. 1992. С. 91−91.

10. Жура Н. А. Нелокальная краевая задача для стационарной системы Стокса в многосвязной области // ДУ. Т. 27, № 1. 1991. С. 51−59.

11. Кондратьев В. А., Олейник О. А. Краевые задачи для уравнений с частными производными в негладких областях // УМН. Т. 38, № 2. 1983. С. 3−76.

12. Кондратьев В. А. Краевые задачи для эллиптических уравнений в областях с угловыми и коническими точками // Тр. Моск. мат. общества. Т. 16. 1967. С. 202−292.

13. Крейн С. Г. Линейные уравнения в банаховом пространстве. М.: Наука, 1971.

14. Ладыженская О. А. Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости. М., 1970.

15. Лопатинский Я. Б. Об одном типе сингулярных интегральных уравнений // Теоретич. и прикл. матем., Львов, вып. 2 1963. С. 53−57.

16. Лопатинский Я. Б. Теория общих граничных задач. Киев: Наук. думка, 1984.

17. Магнарадзе Л. Г. Основные задачи плоской теории упругости для контуров с угловыми точками // Тр. Тбилисск. матем. инта. Т.4. 1938. С. 43−76.

18. Мазья В. Г., Пламеневский Б. А. Об эллиптических краевых задачах с разрывными коэффициентами на многообразиях с особенностями // ДАН. Т. 210, № 3. 1973. С. 529−532.

19. Мусхелешвили Н. И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. М.:Наука, 1966.

20. Мусхелешвили Н. И. Сингулярные интегральные уравнения. М.:Наука, 1968.

21. Назаров С. А., Пламеневский Б. А. Эллиптические задачи в областях с кусочно-гладкой границей. М.:Наука, 1991.

22. Прёсдорф 3. Некоторые классы сингулярных уравнений М.: Мир, 1979.

23. Радон И. О. О краевых задачах для логарифмического потенциала // УМН. Т. 1, вып. 3−4. 1946. С. 96−124.

24. Сираоюудинов М. М. Краевые задачи для общих эллиптических систем на плоскости // Изв. РАН, сер. матем. Т. 61, № 5. 1997.

25. Сиражудинов М. М. О задаче Римана-Гильберта для эллиптических систем первого порядка в многосвязной области / / Ма-тем. сб. Т. 184, № 11. 1993. С. 39−62.

26. Солдатов А. П. Эллиптические системы высокого порядка // ДУ. Т. 25, № 1. 1989. С. 136−144.

27. Солдатов А. П. Общая краевая задача для эллиптических систем // ДАН СССР. Т. 311, № 3. 1990. С. 539−543.

28. Солдатов А. П. Общая краевая задача (к- 1)-го порядка для эллиптических уравнений // ДАН СССР. Т. 311, № 1. 1990. С. 3943.

29. Солдатов А. П. Смешанная задача теории упругости в областях с кусочногладкой границей // ДУ. Т. 23, № 1. 1987. С. 161−167.

30. Солдатов А. П. Метод теории функций в эллиптических задачах на плоскости. 2. Кусочногладкий случай // Изв. РАН. Сер. матем. Т. 56, № 3. 1992. С. 566−604.

31. Солдатов А. П. Сингулярные интегральные операторы и краевые задачи теории функций. М.:ВШ, 1991.

32. Солонников В. А. Об общих краевых задачах для систем, эллиптических в смысле А. Дуглиса и Л. Ниренберга. I // Изв. АН СССР. Т. 28, № 3. 1964. С. 665−706.

33. Солонников В. А. Об общих краевых задачах для систем, эллиптических в смысле А. Дуглиса и Л. Ниренберга. II // Тр. матем. ин-та им. Стеклова. Т. СИ. 1966. С. 233−297.

34. Сиражудинов М. М., Магомедов А. Г., Магомедова В. Г. Краевые задачи эллиптических систем на плоскости. II. // Изв. РАН, сер. матем. № 3. 2000.

35. Сиражудинов М. М., Магомедов А. Г., Магомедова В. Г. Краевые задачи эллиптических систем на плоскости. II. // Деп. ВИНИТИ. № 2365-В97. 1997.

36. Магомедов А. Г. Задача Дирихле в областях с кусочно гладкой границей. // Тезисы международной научной конференции, посвященной 275-летию РАН. Махачкала, 1999. С. 366.