Статистическое распределение и законы сохранения

В предыдущем параграфе было доказано, что величина у сохраняет постоянное значение. Это позволяет сделать вывод о неизменности функции распределения замкнутой системы в фазовом пространстве. В самом деле, по самому смыслу функции распределения, её значения в каждой точке фазового пространства пропорциональны плотности точек фазового пространства, поэтому из постоянства у следует сохранение и функции распределения. Другими словами выражение (1.7) эквивалентно утверждению, что функция распределения p (p, q) является интегралом движения замкнутой системы в фазовом пространстве.

Отсюда немедленно следует, что р и q должны входить в р(p, q) нс произвольным образом, а лишь в виде таких комбинаций, которые не изменяются в процессе движения системы, то есть являются интегралами движения.

Рассмотрим теперь систему, состоящую из двух частей, взаимодействием между которыми можно пренебречь. Согласно § 2 Введения, для такой системы, в силу статистической независимости ее частей, должно выполняться равенство.

где p_l2(p, q) ~ функция распределения системы в целом, р,(р, с/), p₂(p, c/) — функции распределения ее частей.

Из (1.9) следует, что

го есть логарифм функции распределения есть величина аддитивная. Таким образом, логарифм функции распределения должен быть не просто интегралом движения, но и аддитивным интегралом движения.

Как известно из классической механики существует всего семь независимых сохраняющихся величин, имеющих аддитивный характер: полная энергия системы/?, три проекции её импульса Ри три проекции момента импульса М. Единственная аддитивная функция, которая может быть из них построена имеет вид.

причём р, 6, с должны быть одинаковы для всех частей данной замкнутой системы.

Очевидно, что, а определяется из условия нормировки р, а семь величин р, б, г могут быть найдены, но семи известным значениям Е, Р, М — полностью определяя статистические свойства замкнутой системы, отдельные части которой не взаимодействуют друг с другом. Эти семь сохраняющихся величин заменяют собой то невообразимое множество начальных условий, которое требовалось бы при механическом подходе.