Центральные скалярные и векторные поля

Рассмотрим некоторые поля, наиболее часто встречающиеся в физике. Продемонстрируем также простейшие методы вычислений на примерах этих полей.

Определение 1. Скалярное поле называется центральным, если оно зависит только от радиуса.

.

Пример 1. Найти градиент центрального поля .

Решение. Имеем.

.

Пример 2. Вычислить оператор Лапласа для центрального скалярного поля.

Решение.

.

Пример 3. Электрический заряд создает поле, потенциал которого определяется формулой.

.

Показать, что это поле является гармоническим.

Решение. Используя формулу.

.

получим .

Предлагается тот же результат получить непосредственным вычислением, как в примере 2.

Замечание 1. Потенциал поля тяготения (гравитационный потенциал) определяется формулой.

.

Следовательно, это поле также является гармоническим.

Определение 2. Векторное поле называется центральным, если оно имеет вид.

.

т.е. зависит только от расстояния и направлено по радиусу.

Пример 4. Найти дивергенцию и ротор центрального векторного поля.

Решение.

.

.

Вывод: Центральное векторное поле всегда является потенциальным.

Пример 5. Найти такую функцию, при которой центральное поле является гармоническим.

Решение. Напомним, что векторное поле называется гармоническим, если выполняются условия.

.

Для центрального векторного поля ротор всегда равен нулю. Запишем уравнение для дивергенции.

.

Решением этого уравнения будет функция.

.

где — произвольная постоянная.

Ответ: Центральное векторное поле вида является гармоническим.